Thème 2 – La démonstration par récurrence

Terminale S Suites 1

Thème 2 – La démonstration par récurrence

Définition 1 : Axiome

Un axiome est une affirmation de base que l’on considère comme vraie. D’un ensemble d’axiomes, on peut déduire toute une branche des mathématiques.

L’un des axiomes les plus célèbres est sans doute dû à Euclide. Il affirme que par un point donné passe une unique parallèle à une droite donnée.

Les entiers naturels sont ceux que l’on rencontre “dans la nature”. Ils permettent de dénombrer les élé- ments d’une collection : un arbre, deux pieds, trois crayons, etc... Leur ensemble, notéN, peut être défini de plusieurs façons. L’une d’elles, proposée par Peano en 1889, est basée sur 3 axiomes où intervient la notion de successeur.

Définition 2 : définition axiomatique des entiers naturels de Peano

Axiome 1 : Il existe un entier naturel, noté 0, qui n’est le successeur d’aucun autre.

Axiome 2 : Tout entier naturel admet un successeur unique.

Axiome 3 : L’ensemble des entiers naturels, notéN, est l’ensemble qui contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments.

Le troisième axiome fournit un outil de démonstration essentiel en mathématiques : la récurrence. On considère une propriété qui dépend d’un entier natureln. On souhaite montrer qu’elle est vraie pour tous les entiers relatifs, ou au moins à partir d’un certain rang. Pour cela, on procède en trois étapes.

Méthode : : Plan d’une preuve par récurrence

1. Initialisation : On démontre la propriété pour un rang initial, souventn= 0 oun= 1.

2. Hérédité : On démontre que si la propriété est vraie pour un quelconque rang k, alors elle est vraie pour son successeur, le rang suivant k+ 1. Dans cette étape, on suppose donc que la propriété est vraie pour un rangk inconnu. Cette supposition est l’hypothèse de récurrence.

3. Conclusion : On a prouvé que la propriété est vraie pour un rang initial, et que si elle est vraie pour un rang elle est vraie pour le suivant. Elle est donc vraie pour tout entier naturel à partir du rang initial.

Quand le rang initial estn= 0, l’ensemble des valeurs denpour lesquelles la propriété est vraie contient donc 0 et le successeur de chacun de ses éléments. D’après le troisième axiome de Peano, cet ensemble est donc l’ensembleN, donc la propriété est vraie pour tout entier naturel.

Remarque : Le principe de la démonstration par récurrence s’apparente à l’effet dominos. Pour faire tomber une chaîne de dominos placés verti- calement les uns derrière les autres, il faut d’une part s’assurer qu’un domino qui tombe fera bien tomber le suivant (hérédité) et d’autre part pous- ser le premier domino (initialisation).

Exemple 1 : Récurrence avec une égalité

Soit (un) la suite définie paru0= 0 et pour tout entier natureln,un+1= 2un+ 1. Montrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a un= 2ⁿ−1.

1. Initialisation : Pourn= 0,

• d’une partu0= 0

• d’autre part 2⁰−1 = 1−1 = 0.

donc la propriété est vraie au rang 0.

2. Hérédité : On suppose qu’il existe un rangktel queuk = 2^k−1. Il faut montrer que la propriété est vraie au rangk+ 1.

u_k+1 = 2uk+ 1

HR= 2(2^k−1) + 1

dvp= 2×2^k−2 + 1

prop= 2^k+1+ 1 donc la propriété est donc vraie au rangk+ 1.

3. Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entiern>0.

∀ninN, un= 2ⁿ−1

Exemple 2 : Récurrence avec une somme

Démontrons par récurrence que pour tout entiern>1, 1 + 2 +. . .+n=

Xn

i=1

i=n(n+ 1)

2 .

1. Initialisation : Pourn= 1,

• d’une partPi=n i=1i= 1

• d’autre part ^1×(1+1)₂ = 1.

La propriété est vraie au rang 0.

2. Hérédité : On suppose qu’il existe un rangk tel que 1 + 2 +. . .+k=Pk

i=1i= ^k(k+1)₂ .Il faut montrer que la propriété est vraie au rangk+ 1.

k+1X

i=1

i = [1 + 2 +. . .+k] + (k+ 1)

= Xk

i=1

i+ (k+ 1)

= k(k+ 1)

2 + (k+ 1)

= k(k+ 1)

2 +2(k+ 1) 2

= k(k+ 1) + 2(k+ 1) 2

= (k+ 1)(k+ 2) 2 La propriété est donc vraie au rangk+ 1.

3. Conclusion : La propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entiern>1.

∀n>11 + 2 +. . .+n= Xn

i=1

i=n(n+ 1)

2 .

Exemple 3 : Récurrence avec une inégalité

Soitaun réel strictement positif. Démontrons par récurrence que pour tout entier natureln, (1 +a)ⁿ>

1 +na.

1. Initialisation : Pourn= 0,

• d’une part (1 +a)⁰= 1

• d’autre part 1 + 0×a1.

La propriété est vraie au rang 0.

2. Hérédité : On suppose qu’il existe un rang k tel que (1 +a)^k > 1 +ka Il faut montrer que la propriété est vraie au rangk+ 1.

(1 +a)^k(1 +a) > (1 +ka)(1 +a) (1 +a)^k+1 > 1 +a+ka+ka² orka²est positif donc 1 +a+ka+ka²>1 +a+ka= 1 + (k+ 1)adonc

(1 +a)^k+1>1 + (k+ 1)a La propriété est donc vraie au rangk+ 1.

3. Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel.

∀a∈R^+∗, ∀n∈N(1 +a)ⁿ>1 +na