2°) si = 0 alors donc = 2

1^ère S – DC 2019 – corrigé – page 1/4

1^ère S Devoir commun 2019

Exercice 1 ( 6 points = 0,25 + 2,25 + 1 + 1,25 + 1,25 )

1°) si = 3 alors %2 = 3%2 = 1 ≠ 0 donc = − = −3.

2°) si = 0 alors %2 = 0%2 = 0 donc = 2 × = 2 × 0 = 0. si = 1 alors %2 = 1%2 = 1 ≠ 0 donc = − = −1.

si = 2 alors %2 = 2%2 = 0 donc = 2 × = 2 × 2 = 4. si = 4 alors %2 = 4%2 = 0 donc = 2 × = 2 × 4 = 8. Donc la loi de probabilité de est donnée par le tableau ci-dessous :

jeton 0 1 2 3 4

gain 0 −1 4 −3 8

( = ) 30

100 = 0,3 25

100 = 0,25 20

100 = 0,2 15

100 = 0,15 10

100 = 0,1 3°) ( ) = 0 × 0,3 + (−1) × 0,25 + 4 × 0,2 + (−3) × 0,15 + 8 × 0,1 = 0,9

4°) ( ) = 0× 0,3 + (−1)× 0,25 + 4 × 0,2 + (−3)× 0,15 + 8× 0,1 − 0,9

= 4 − 0,81 = 10,39 σ( ) = 10,39 ≃ 3,22

5°) () = ( − 2) = ( ) − 2 = 0,9 − 2 = −1,1

Si on mise 2 € pour jouer, et qu’on joue un grand nombre de fois, on perd en moyenne 1,1 €.

Exercice 2 ( 7 points )

Partie I ( 3,5 points = 1 + 2,5 )

°) !() =+ 96 − 4

!^#() =(2 + 96)( − 4) − (+ 96) × 1

( − 4) =2− 8 + 96 − 384 − − 96

( − 4) = − 8 − 384

( − 4)

$°) − 8 − 384 ; Δ = (−8)− 4 × 1 × (−384) = 1600 _' =−(−8) − √1600

2 × 1 = 8 − 40

2 = −16 ; ^' =−(−8) + √1600

2 × 1 =8 + 40 2 = 24

4 24 +∞

− 8 − 384 − 0 +

( − 4) 0 + | +

!′() || − 0 +

!() || ||

|| 144

Partie II ( 3,5 points = 0,5 + 1 + 1 + 1 )

1°) Aire disponible = ( − 2 × 2)(6 − 2 × 3) = ( − 4)(6 − 6)

$°) 7) Aire disponible = 600 ⇔ ( − 4)(6 − 6) = 600 ⇔ 6 − 6 = 600

− 4 ⇔ 6 = 600 − 4 + 6 donc 6 = 600

− 4 +6( − 4)

− 4 = 600 + 6 − 24

− 4 =6 + 576 − 4

1^ère S – DC 2019 – corrigé – page 2/4

;) < 6 6 576

4 6 576

4 6 96

4 6 !

c) 6 = 0 donc l’aire de la page complète <() est minimale lorsque !() est minimal, donc pour =24.

On a alors 6 6 24 576 24 4 36.

Les dimensions de la page sont donc 24 cm de large et 36 cm de haut.

Exercice 3 ( 10 points )

Partie I ( 3 points = 0,75 + 0,75 + 1 + 0,5 ) 1° A_' 4

4 A_B 4

4 1 4

5 A 4

4 A_' 4

4 C 45D 4 205 4

5

4 165

4 5

16 5 4 2° A_E ≃ 1,647 A_'B≃ 1,813 A_'E ≃ 1,872 A_B ≃ 1,903

3°)

4°) La suite (A_F) semble strictement décroissante et semble converger vers −2.

1^ère S – DC 2019 – corrigé – page 3/4

Partie II ( 3 points = 0,25 + 1 + 0,75 + 0,75 + 0,25 )

1°) G_B= 2 − 6 × 20

2 + 3 × 20 =−118

62 = −59 31 2°) a) H^#() =−6(2 + 3) − (2 − 6) × 3

(2 + 3) =−12 − 18 − 6 + 18

(2 + 3) = −18

(2 + 3)

0 +∞

−18 −

(2 + 3) +

H′() −

H() 1

b) Pour tout de ℕ, G_F = H() et la fonction H est strictement décroissante sur J0 ; +∞J donc la suite (G_F) est strictement décroissante.

La fonction H admet un maximum sur J0 ; +∞J égal à 1, donc pour tout de ℕ, on a G_F ⩽ 1 3°) a) Pour tout de J0 ; +∞J, H() + 2 =2 − 6

2 + 3 +4 + 6

2 + 3 = 6 2 + 3 ∈ J0 ; +∞J donc H() + 2 > 0

b) Pour tout de J0 ; +∞J on a H() + 2 > 0 donc H() > −2 donc pour tout de ℕ, on a G_F > −2.

Partie III ( 2 points = 1,25 + 0,5 + 0,25 ) 1°) Pour de ℕ,

− 4 4 +G_F

= − 4

P+2 − 6 2 + 3

= − 4

Q + $R

$ + SR + 2 − 62 + 3

= − 4 10 + 6

2 + 3

= −4 × 2 + 3 10 + 6

= −2 ×$× 2 + 3

$× (5 + 3)

= −2 ×2 + 3 5 + 3

=−4 − 6 5 + 3 2°) Pour de ℕ, G_FT' =2 − 6( + 1)

2 + 3( + 1) =2 − 6 − 6

2 + 3 + 3 =−4 − 6

5 + 3 = − 4 4 + G_F 3°) G_B =2 − 6 × 0

2 + 3 × 0 =2

2 = 1 = A^B et d’après la question précédente,

les deux suites (A_F) et (G_F) vérifient la même relation de récurrence donc elles sont égales.

Partie IV ( 2 points = 1,25 + 0,75 )

1°) L’un ou l’autre des algorithmes ci-dessous convient :

2°) G_YY= 2 − 6 × 99

2 + 3 × 99 ≃ −1,9799 ⩾ −1,98 et G^'BB =2 − 6 × 100

2 + 3 × 100 ≃ −1,9801 < −1,98 donc la valeur de que l’algorithme affichera est 100.

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Exercice 4 ( 4 points ) \]]]]]⃗ = _]]]]]⃗ + _`]]]]]⃗ + `\]]]]]⃗

= −2a_]]]]]⃗ + _`]]]]]⃗ + 32 `_]]]]]⃗

= −2a_]]]]]⃗ + _`]]]]]⃗ − 32 _`]]]]]⃗

= −2a_]]]]]⃗ − 12 _`]]]]]⃗

a ]]]]]⃗ = a_]]]]]⃗ + _ ]]]]]⃗

= a_]]]]]⃗ + 14 _`]]]]]⃗

On constate que ]]]]]⃗ = −2a \ ]]]]]⃗

donc les vecteurs \]]]]]⃗ et a ]]]]]⃗ sont colinéaires donc les droites (\) et (a ) sont parallèles.

Exercice 5 ( 3 points ) Soit !() = − + + 6

Δ = 1− 4 × (−1) × 6 = 25 ; _' = −1 − √25

2 × (−1) =−1 − 5

−2 = 3 ; = −1 + 5

−2 = −2 donc b (−2 ; 0) et ` (3 ; 0) donc b` = 5.

α =_'+

2 =3 + (−2)

2 =1

2 ; d = ! e1

2f = − e1 2f

+1

2 + 6 = −1 4 +1

2 + 6 = −1 4 +2

4 +24 4 =25

4 autre méthode :

!() = −+ + 6 = −(− ) + 6

= − ge −1 2f

− e1 2f

h + 6

= − e −1 2f

+1 4 + 6

= − e −1 2f

+25 4 donc α =1

2 ; d =25 4

aire du triangle =b` × β

2 = 5 × 254

2 =125

8 = 15,625 unités d′aire