Or a donc P(0) est vraie

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2016–2017 Devoir maison n^o04 – mathématiques

Correction

Exercice 1

1. SoitP(n): « a_n620 000 ».

Nous démontrons que pour toutn ∈N,P(n)est vraie à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

Initialisation : Soit n= 0, alorsP(0) : « a₀ 620 000 ».

Or a0 = 7 000620 000, donc P(0) est vraie.

Étape de récurrence : On suppose que pour un certain entiern >0,P(n)est vraie.

On doit alors démontrer queP(n+ 1) est vraie, donc que a_n+1 620 000.

Or par hypothèse de récurrence, a_n 620 000, donc0,8a_n616 000, puis 0,8an+ 4 000620 000, autrement ditan+1 620 000.

AinsiP(n+ 1) est vraie.

Conclusion : On a démontré que P(0) est vraie et que P est héréditaire. Donc d’après le principe de récurrence, quelque soit n∈N, P(n) est vraie, autrement dita_n 620 000.

2. On exprime : a_n+1−a_n = 0,8a_n+ 4 000−a_n =−0,2a_n+ 4 000.

Or on sait d’après la question précédente que a_n 620 000.

Donc −0,2a_n>−4 000 (produit par un nombre négatif), puis −0,2a_n+ 4 000>0.

Ainsi a_n+1−a_n>0, autrement dit la suite a est bien croissante.

3. (a) On exprime : u_n+1

u_n = 20 000−a_n+1

20 000−a_n (définition de u)

= 20 000−0,8a_n−4 000

20 000−a_n (définition de a)

= 16 000−0,8a_n 20 000−a_n

= 0,8×20 000−0,8a_n 20 000−a_n

= 0,8(20 000−a_n)

20 000−a_n (factorisation du numérateur)

= 0,8

Le résultat étant constant, on en déduit que u est géométrique de raison q= 0,8.

(b) D’après la question précédente on peut alors écrire : u_n=u₀×qⁿ= (20 000−a₀)×0,8ⁿ= 13 000×0,8ⁿ.

Or u_n = 20 000−a_n, donca_n= 20 000−u_n = 20 000−13 000×0,8ⁿ. Exercice 2

À partir des données on peut calculer : P(C∩E) =P(C)×P^C(E) = 2 5 ×3

4 = 3 10. Par suite, on sait que l’on a aussi P(C∩E) = P(E)×PE(C).

Donc 3

10 =P(E)× 3

7, doncP(E) = 3 10× 7

3 = 7 10.