A1741. Divisibilités à la chaîne **
Trouver un entier m positif, si possible le plus petit, auquel on sait associer un entier n distinct de m tel que n + k divise m + k pour toute valeur entière de k comprise entre 0 et 23 (bornes incluses).
PROPOSITION Thérèse Eveilleau
Il faut donc avec k=0 que n divise m.
On a donc n<m.
--- Si 0 k 5
Nous avons
5 ! + 1 = 121 fonctionne car avec n=1, nous avons 121 + 0 divisible par 1+0 = 1 ;
121 + 1 divisible par 1+1 = 2 ; 121 + 2 divisible par 1+2 = 3 ; 121 + 3 divisible par 1+3 = 4 ; 121 + 4 divisible par 1+4 = 5 ; 121 + 5 divisible par 1+5 = 6 ;
Mais le plus petit est 3*4*5 car 60 est le PPCM de 1, 2, 3, 4 , 5 et 6.
---
Notons que m=23 ! +1 fonctionne car avec n=1, nous avons : 23 ! + 1 + 0 divisible par n+0 = 1
23 ! + 1 + 1 divisible par n+1 = 2 .
23 ! +1 + k divisible par n+k = 1 + k ..
23 ! + 1 + 23 divisible par n + 23 = 24.
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Si d divise a et b, alors d divise a+b.
Ici pour 0 k 23 donc 1 k 24
.23 ! est divisible par tous les entiers K=k+1 pour k de 1 à 23, donc divisible par 3 et 8, donc aussi par 24=3*8.
AVEC 1 K 24 K divise K toujours vrai K divise 23 ! toujours vrai Donc K divise 23 ! + K SOIT avec K = k+1
(23 ! + 1) + k divisible par 1+k, 0 k 23
Comme avec l’exemple de k=5, nous allons essayer de trouver un nombre plus petit qui fonctionne, donc le plus petit nombre divisible par tous les entiers de 1 à 23.
Le plus petit est obtenu en choisissant le PPCM des 23 premiers nombres entiers SOIT 5*7*9*11*13*16*17*19*23 = 5 354 228 880
La réponse à la question est 1 + 5*7*9*11*13*16*17*19*23 SOIT m =5 354 228 881
Alors on prend n=1.
