TS Fiche TP 3 2013-2014
Étudier les limites en +∞des fonctions :
• g:x7−→ 3 + 2x x2−3; 3 + 2x
x2−3 se comporte en +∞comme 2x x2 = 2
x= 2×1 x.
En effet, la limite en +∞d’une fonction rationnelle est la même que celle obtenue comme le quotient des termes de plus haut degré.
Or lim
x→+∞
1
x= 0 donc lim
x→+∞
2
x = 0 par opération sur les limites.
On a donc lim
x→+∞g(x) = 0
• h:x7−→
√x+ 2x 1−5x ;
Attention la fonctionhn’est pas une fonction rationnelle, la propriété du rapport des termes de plus nhaut degré ne s’applique pas. On décide donc de factoriser le terme « dominant » au numérateur et au dénominateur, il s’agit ici dexdans les deux cas :
Pourx >0,
√x+ 2x 1−5x = x
√1x+ 2 x 1x−5 =
√1x+ 2
1 x−5 Par opérations sur les limites :
x→lim+∞
√1x= 0 (R) donc lim
x→+∞
√1x+ 2 = 2 et
x→lim+∞
1
x = 0 (R) donc lim
x→+∞
1
x−5 =−5
(quotient)
x→lim+∞
√1x+ 2
1
x−5 =−2 5
on a donc lim
x→+∞h(x) =−2 5
• k:x7−→√x−√ x+ 1.
Attention,kn’est pas une fonction polynôme, donc on ne peut pas appliquer la propriété du cours.
On utilise la technique de la quantité conjuguée : Pourx >0,√x−√
x+ 1 = (√x−√
x+ 1)×
√x+√ x+ 1
√x+√
x+ 1 = x−(x+ 1)
√x+√
x+ 1 = −1
√x+√ x+ 1 Le problème réside dans le terme √
x+ 1.
x→lim+∞
x+ 1 = lim
x→+∞
x= +∞ et
y→lim+∞
√y= +∞
(composition)
x→lim+∞
√x+ 1 = +∞
x→lim+∞
√x= +∞
(somme)
x→lim+∞
√x+ 1 +√x= +∞
X→lim+∞−1 X = 0
(composition)
x→lim+∞
−1
√x+√
x+ 1 = 0
On a donc lim
x→+∞k(x) = 0
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