En d´eduire lim x→0 sin(x) x

TS 8 DS 3 : D´erivabilit´e, trigonom´etrie 19 novembre 2016 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : Restitution organis´ee des connaissances (10 minutes) (1¹/₂ points) 1. ´Ecrire la d´efinition du nombre d´eriv´ee de la fonctionf :x→sin(x) en 0 `a l’aide d’un taux d’accroissement.

2. En d´eduire lim

x→0

sin(x) x .

Exercice 2 : Quelques exercices classiques (30 minutes) (5¹/₂ points) 1. R´esoudre les ´equations et in´equations suivantes dans [0; 2π[ :

(a) cos(x) =

√ 3

2 (b) sin(2x) =−¹₂ (c) 1 +√

2 cos(x)>0 2. D´eriver les fonctions suivantes sans vous occuper de l’ensemble de d´erivabilit´e.

(a) f(x) = sin⁴(x) (b) g(x) = 1

(x²+ 2)³ 3. (a) Rappeler la formule de sin(a+b).

(b) En d´eduire l’expressions de sin(2x) en fonction de cos(x) et sin(x).

Exercice 3 : ´Etude d’une fonction trigonom´etrique (20 minutes) (3¹/₂ points) Soit f d´efinie surR parf(x) = cos(−4x+π).

1. D´eriver, sans ´etudier la d´erivabilit´e,f. 2. Montrer quef est p´eriodique de p´eriode ^π₂. 3. ´Etudier la parit´e de f.

4. Sur quel intervalle peut-on restreindre l’´etude de f?

Exercice 4 : Probl`eme (40 minutes) (7¹/₂ points)

Soit f la fonction d´efinie sur ]− ∞; 1] parf(x) =x√ 1−x.

Partie A : ´Etude de f

1. ´Etudier la limite de f en −∞.

2. Montrer quef est d´erivable sur ]− ∞; 1[ et que f⁰(x) = 2−3x 2√

1−x ; 3. Dresser le tableau de variations def.

4. Montrer que l’´equation f(x) =− ¹

3√

3 admet une unique solutionα1 sur ]− ∞; 1]

5. Donner un encadrement deα₁ `a 10<sup>−2</sup> pr`es.

On admet que f admet deux autres solutionsα₂ etα₃ `a l’´equation f(x) = ¹

3√ 3. On sait de plus que 0< α₂ < ²₃ < α₃ <1.

Partie B : D´etermination deα1, α2 et α3

On poseu= ³₂ x−¹₃ .

1. Montrer que l’´equation (E) : x√

1−x− ¹

3√

3 x√

1−x+ ¹

3√ 3

= 0 est ´equivalente `a (E⁰) : 8u³−6u−1 = 0. (on pourra utiliser que (a+b)³=a³+ 3a²b+ 3ab²+b³) 2. On pose pour toutui= ³₂ αi−¹₃

pour i∈ {1; 2; 3}.

Montrer qu’il existe un unique r´eelθ₁ dans [0;π] tel queu₁ = cos(θ₁).

On admet qu’il existe aussiθ₂ etθ₃ tel queu₂ = cos(θ₂) et u₃ = cos(θ₃).

3. Prouver que, pour tout r´eelθ : cos (3θ) = 4 cos³(θ)−3 cos(θ) .

4. D´eduire les questions pr´ec´edentes que l’´equation (E⁰) ´equivaut `a l’´equation cos(3θ) = ¹₂. 5. (a) R´esoudre cos(3θ) = ¹₂ dans [0;π].

(b) En d´eduire les valeurs exactes de α1,α2 etα3.

Exercice 5 : Prise d’initiative (15 minutes) (2 points)

Soient f etg les fonctions d´efinies sur l’intervalle ]0; +∞[ par f(x) = sin(x)

x et g(x) = _x¹. On note Cf et Cg

leurs courbes repr´esentatives.

D´emontrer queCf etCg ont une tangente commune en chacun de leurs points d’intersection.