En d´eduire lim x→0 sin(x) x

TS7 DS 3 21 novembre 2019 Dur´ee 120 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Exercice 1 : Restitution organis´ee des connaissances (10 minutes) (2 points) 1. ´Ecrire la d´efinition du nombre d´eriv´ee de la fonctionf :x→sin(x) en 0 `a l’aide d’un taux d’accrois-

sement.

2. En d´eduire lim

x→0

sin(x) x .

Exercice 2 : Exercices classiques (30 minutes) (5 points)

1. R´esoudre les ´equations et in´equations suivantes sur [0; 2π[ : (a) sin(x) =

√ 3

2 (b) cos(2x) =−¹₂ (c) 1 +√

2 sin(x)>0 2. D´eriver les fonctions suivantes sans vous occuper de l’ensemble de d´erivabilit´e.

(a) f(x) = (x²+ 2)³ (b) g(x) = 2 (x²+ 2)³

(c) h(x) =xcos(x)

3. Soitf d´efinie surRparf(x) = 3x+ 5.

(a) D´eterminer une primitiveG def. (b) D´eterminer la primitiveF deftel queF(0) = 0.

Exercice 3 : ´Etude d’une fonction trigonom´etrique (30 minutes) (5 points) Soitf la fonction d´efinie surRparf(x) = cos(2x)+1 dont on a trac´e ci-dessous une courbe repr´esentative :

−^π₂ ^π₂ ^3π

−π π 2

1.

2.

0 f

1. (a) Conjecturer graphiquement (en indiquant la d´emarche) la parit´e de f; (b) Justifier cette parit´e.

2. (a) Conjecturer graphiquement (en indiquant la d´emarche) la p´eriodicit´e de f; (b) Justifier cette p´eriodicit´e.

3. Justifier que l’on peut restreindre l’´etude def `a [0;^π₂].

4. (a) D´eriverf sur [0;^π₂] ;

(b) En d´eduire le tableau de variations def sur [0;^π₂].

Exercice 4 : Petit probl`eme (30 minutes) (5 points)

On consid`ere la fonction f d´efinie surR parf(x) =√ x²+ 4 1. Justifier quef est d´efinie et d´erivable sur R;

2. D´emontrer quef est paire ; 3. ´Etudier la limite def en +∞;

4. (a) D´eterminerf⁰(x) pour tout r´eel x;

(b) En d´eduire les variations de f sur [0 +∞[.

5. D´eterminer l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de f au point d’abscisse 3 ;

6. D´eduire (sans calcul mais en justifiant la d´emarche) des questions pr´ec´edentes le tableau de variations def surRet l’´equation de la tangente au point d’abscisse−3.

Exercice 5 : Prise d’initiative (20 minutes) (3 points)

Soit g une fonction d´efinie et d´erivable sur R.

Que peut-on dire (en fonction deaetb) des variations def :x7→g(ax+b) si on sait quegest strictement croissante sur R.