La propriété est vraie au rang 1

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65 Cours et exercices/2110se02 Démonstration par récurrence.doc/0907 ©pa2009

Démonstration par récurrence

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1 : 1³+ … + (2n − 1)³ = n²(2n²− 1).

Soit P(n) la propriété : 1³+ … + (2n − 1)³ = n²(2n²− 1).

Initialisation :

Si n = 1, le membre de gauche vaut 1³ = 1, alors que le membre de droite vaut 1²(2 × 1²−1) = 1. La propriété est vraie au rang 1.

Hérédité :

Supposons que la propriété P(n) soit vraie pour un entier n ≥ 1, c'est-à-dire que 1³+ … + (2n − 1)³ = n²(2n²− 1) (hypothèse de récurrence).

Alors :

1³+ … + (2n − 1)³+ [2(n + 1) − 1]³

= n²(2n²− 1) + (2n + 1)³ par application de l’hypothèse de récurrence.

= 2n⁴− n²+ 8n³ + 12n²+ 6n + 1

= 2n⁴ + 8n³+ 11n²+ 6n + 1

D’autre part, l’expression du membre de droite au rang n + 1 est : (n + 1)²[2(n + 1)²− 1]

= (n²+ 2n + 1)(2n²+ 4n + 1)

= 2n⁴+ 4n³+ n² + 4n³+ 8n²+ 2n + 2n²+ 4n + 1

= 2n⁴ + 8n³+ 11n²+ 6n + 1 Ainsi, P(n) implique P(n + 1).

Finalement, la propriété P(n) est vraie au rang 1 et héréditaire, donc :

pour tout entier naturel n ≥ 1 : 1³+ … + (2n − 1)³ = n²(2n²− 1).

Remarques

Une démonstration par récurrence se fait en deux étapes :

L’initialisation consiste à vérifier la propriété à un rang initial convenable.

Dans la deuxième étape (bien analyser ce passage), il ne s’agit pas de démontrer P(n), ni P(n + 1), ni de les admettre. L’hérédité consiste à démontrer l’implication P(n) ⇒ P(n + 1).