• En fonction du contexte, on numérote en général les termes à partir du rang 0 ou du rang 1.

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Chap.1 :

SUITES GEOMETRIQUES

PARTIE 1 : Notations et vocabulaire des suites (programme de 1

^ère

STI 2D)

Définition :

Une suite numérique réelle est une liste ordonnée de nombres réels.

Chacun de ces nombres est un terme de la suite.

On donne un numéro, appelé indice ou rang, à chaque terme en fonction de sa place dans la suite.

Remarques : • En fonction du contexte, on numérote en général les termes à partir du rang 0 ou du rang 1.

• On peut aussi définir une suite comme une fonction de IN dans IR.

Exemple : La suite des puissances de 2 est : ………

Notations :

Le terme de rang n d’une suite u est noté u_n.

Si le premier terme de la suite est u0, alors la suite est notée (un)n!IN . Si le premier terme de la suite est u1, alors la suite est notée (un)n_"1 . Quand il n’y a pas d’ambiguïté, on note la suite (u_n).

Il existe deux façons de définir une suite :

• On peut définir une suite de façon explicite ou par son terme général.

Exemple : On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :

1 3 2

2 +

= - n u_n n .

Pour calculer les termes de la suite, il suffit de remplacer n dans l’expression de un par la valeur correspondante : u₅ = ………

On dit alors que

1 3 2

2+

= - n

u_n n est le terme général de la suite.

• On peut définir une suite par une relation de récurrence et son premier terme.

Exemple : On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : îí ì

-

=

³

=

+ 3 2

0, pour

2

1 0

n

n u

u n

u .

Dans ce cas, on ne peut calculer les termes que consécutivement :

1=

u ………

2=

u ………

3 =

u ………

4=

u ……… Ti2D / SUITES

GEOMETRIQUES Format Cours Définition et notations

(2)

PARTIE 2 : Suites géométriques

Définition :

On appelle suite géométrique, toute suite (un) définie par récurrence par îí ì

´

=

³ u_n₊ q u_n n

u

1 0

0,

pour

où q est un nombre réel appelé raison de la suite et u0 est un nombre réel.

Remarque : On passe d’un terme au suivant en multipliant par q :

0 _q 1 _q 2 _q 3 _q ... _q _n _q _n 1 _q ...

u ¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾®_´ u _´ u _´ u _´ _´ u _´ u ₊ ¾¾®_´ Exemple : On considère la suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u₀=2.

1=

u ……… u₂=^………

Propriété :

On considère une suite géométrique (un) de premier terme u0 et de raison q. Pour tout entier naturel n : u_n =u₀´qⁿ.

Exemple : Dans l’exemple précédent, pour tout entier naturel n, on a : ………

On peut alors calculer facilement : u₁₀ = ………

Remarque : Pour démontrer qu’une suite (un) est géométrique, on peut utiliser deux méthodes :

• On met en évidence que, pour tout entier naturel n, un peut s’écrire sous la forme u_n =u₀´qⁿ. • On démontre que, pour tout entier naturel n,

n n

u u ₊₁

est constant (ne dépend pas de n).

Exemples : • Démontrer que la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par

n

un ÷

ø ç ö è

´æ

= 3

5 2 est géométrique.

………

• Démontrer que la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par u_n =5´3ⁿ^-² est géométrique.

………

Exemples de représentations graphiques :

u_n =2ⁿ

n

vn ÷

ø ç ö èæ -

= 2 1

n

wn ÷ ø ç ö è

=æ 4 1

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(3)

PARTIE 3 : Limites d’une suite géométrique

Pour étudier la limite d’une suite géométrique, on admettra le résultat suivant : Propriété :

On considère un nombre réel q strictement positif.

Si q>1 alors =+¥

+¥

® n

nlimq . Si q<1 alors lim =0

+¥

® n

n q .

Remarque : si q=1 alors lim =1

+¥

® n

n q .

Exemples : ´ =

+¥

®

n

nlim 3 2 ……… ÷ =

ø ç ö è

´æ

+¥-

®

n

n 3

5 1

lim ………

÷ = ø ç ö èæ-

+¥ ´

®

n

n 5

4 1

lim ……… - ´ =

+¥

®

n

n 4

7

lim 3 ……… - ´ - =

+¥

®

n

nlim 2 ( 0,3) ……

PARTIE 4 : Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique

Propriété :

Pour tout nombre réel q différent de 1, on a :

q q q

q q

n n

-

= - + + +

+ ⁺

1 1

...

1

2 1.

Démonstration : On note s_n =1+q+q²+ ... +qⁿ et on a : -q´s_n =……….

Si on ajoute membre à membre les deux égalités, on obtient :………

Donc, si q¹1, on obtient : ………

Remarques : • La somme 1+q+q²+ ... +qⁿ se note

å

= n

i

qi 0

qui se lit « somme de i allant de 0 à n de qⁱ »

• Si q=1, cette somme vaut s_n =1+1+1+...+1.

C’est la somme de n+1 termes tous égaux à 1 donc s_n =n+1. Théorème :

Si (un) est géométrique de premier terme u0 et de raison q différente de 1, on a : q

u q u u

u u u

n n

n

i

i -

= - + + + +

= ⁺

å

= ⁰ ¹ ² ^... ⁰¹₁ ¹ 0

Remarque : On peut retenir que :

) raison ( 1

) raison ( ) 1 rme premier te (

termes de nombre

0 -

´ -

å

=

= n

i

ui

Exemple : Une entreprise propose à un technicien impliqué dans un projet innovant une prime qui peut prendre deux formes : • Un montant annuel initial de 1000 € augmenté chaque année de 2% pendant 5 ans.

• Un montant annuel initial de 975 € augmenté chaque année de 3% pendant 5 ans.

Quelle proposition permet au technicien de bénéficier du total le plus avantageux sur l’ensemble des six années où la prime est versée ?

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