3°) Calculs des premiers termes de la suite : U1 = 5
9 ; U2 = 9
13 et U 3=
13 17
4°) Construction de U1 , U 2 et U3 .
On construit sur la figure I 4°) la droite d'équation y = x. On place sur l'axe des abscisses U0 = 5.
On mène à partir de ce point la droite parallèle à l'axe des ordonnées jusqu'à rencontrer (Cf.).
On obtient sur l'axe des ordonnées U1 = f (U0).
On mène depuis U1 la droite parallèle à l'axe des abscisses jusqu' à rencontrer la droite d'équation y = x Afin de reporter sur l'axe des abscisses la valeur d’U1identique à celle figurant sur l'axe des ordonnées.
On recommence le processus pour construire U2 et U3.
5°) Graphiquement la suite U semble tendre vers + 1, abscisse du point d'intersection de (Cf) avec la droite D’équation y = x.
III EXPRESSION DU TERME GENERAL DE LA SUITE U.
1°)a) Calculs des premiers termes de la suite V : V0 = 4
1 ; V1 = 4
5 ; V2 = 4
9 et V3 = 4 13.
2°) a) Pour tout entier naturel n on a : Vn+1 =
1 1 1
Un avec Un+1 = 2 - Un
1 on a Un+1 – 1 = 1 - Un
1 .
Soit Un+1 - 1 = Un Un1
d’où Vn+1 =
1 Un
Un .Avec Vn + 1 =
1 1
Un + 1 =
1 Un
Un . L’égalité demandée en résulte.
b) Soit P la propriété le terme général Vn est de la forme indiquée.
La propriété est vérifiée pour la plus petite valeur de n = 0.
Supposons la propriété vraie au rang n et montrons qu’elle l’est encore au rang n+ 1 c’est A dire que pour tout entier naturel n : Vn+1 = ( n + 1 )+
4
1 = n + 4 5 .
Pour entier naturel n on a Vn+1 = Vn + 1 (Relation de récurrence) Vn = n +
4
1 (Hypothèse de récurrence).
On a donc Vn+1 = ( n + 1 ) + 4
1 = n + 4 5 .
Vn est bien de la forme indiquée. La propriété est démontrée au rang n+ 1.
Le principe du raisonnement par récurrence permet de conclure
3°) Expression du terme général de la suite U.
Pour tout entier naturel n on a : Vn =
1 1
Un soit Vn ( Un - 1 ) = 1 ou VnUn – Vn = 1 soit U n = Vn
Vn 1
Avec l’expression de Vn en fonction de n on a : Un =
1 4
5 4
n n .
Remarque : Contrôler les valeurs de U0 , U1, U2.
4°)a) En écrivant Un sous la forme suivante : 5 4 n
n
4 + 1
Lorsque n tend vers +∞
n
1 tend vers 0 et Un tend vers 1.
On retrouve le résultat de la question II 5°) b) U2009=
1 2009 4
5 2009 4
X
x =
8037 8041
