Soit ( vn ) la suite définie par

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Exercice 1

On considère la suite ( u_n ) définie par : u₀ = 6 et ∀ n ∈ u_n+1 = 1

3 un − 2.

1. u₁ = 1

3 × 6 − 2 = 2 − 2 = 0 u₂ = 1

3 × 0 − 2 = 0 − 2 = − 2 u₃ = 1

3× ( − 2 ) − 2 = − 2 3 − 6

3 = − 8

3 u₄ = 1

3 × ( − 8

3 ) − 2 = − 8 9 − 18

9 = − 26 9 2. Soit ( v_n ) la suite définie par : ∀ n ∈ v_n = u_n + 3.

a ) v₀ = u₀ + 3 = 6 + 3 = 9 v₁ = u₁ + 3 = 0 + 3 = 3 v₂ = u₂ + 3 = − 2 + 3 = 1 v₃ = u₃ + 3 = − 8

3 + 9 3 = 1

3 v₄ = u₄ + 3 = − 26

9 + 27 9 = 1

9 b ) v_n+1 = u_n+1 + 3 = 1

3 un − 2 + 3 = 1

3 un + 1 = 1

3 ( un + 3 ) = 1 3 vn. Pour passer du terme v_n à son suivant v_n+1 on multiplie par 1

3 . Donc ( v_n ) est une suite géométrique de raison q = 1

3 .

c ) Le terme général de la suite géométrique ( v_n ) est donné par la formule vn = v0 × qⁿ = 9 × ( 1

3 )ⁿ = 3² / 3ⁿ = _{n 2} 3

1− Et un = vn − 3 = _{n 2} 3

1− − 3

d ) v_n+1 − vn = _{n 1 2} 3

1−

+ − _{n 2} 3

1− = _{n 1} 3

1− − _{n 2} 3

1− = _{n 2} 3

1− × ( 1

3 − 1 ) = − 2 3 × _{n 2}

3 1− . Or − 2

3 < 0 et 3_{n 2}

1− > 0 donc v_n+1 − vn < 0.

Donc la suite ( v_n ) est une suite strictement décroissante.

u_n+1 − un = v_n+1 − 3 − ( vn − 3 ) = vn+1 − 3 − vn + 3 = v_n+1 − vn = − 2 3 × _{n 2}

3 1− .

De la même façon, u_n+1 − un < 0. Donc la suite ( u_n ) est une suite strictement décroissante.

e ) v_n = _{n 2} 3

1− donc lim v_n = 0 u_n = v_n − 3 donc lim un = − 3.

3. Soit V_n = v₀ + v₁ + v₂ + … + v_n et U_n = u₀ + u₁ + u₂ + … + u_n.

a ) La formule donnant la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est :

V_n = v₀ × q 1

q 1 ^{n 1}

−

− ⁺ = 9 ×

3 1 1

3 1 _n1₁

−

− ₊

= 9 × 3

1 3

3 1 _n1₁

−

− ₊

= 9 × 3

2 × ( 1 − _{n 1} 3

1+ ) = 27

2 × ( 1 − _{n 1} 3

1+ )

b ) U_n = v₀ − 3 + v1 − 3 + v2 − 3 + … + vn − 3 = Vn − ( n + 1 ) × 3 = 27

2 × ( 1 − _{n 1} 3

1+ ) − 3 ( n + 1 )

4. lim _{n 1} 3

1+ = 0 donc lim ( 1 − _{n 1} 3

1+ ) = 1 donc lim 27

2 × ( 1 − _{n 1} 3

1+ ) = 27

2 d'où lim Vn = 27 2 lim ( n + 1 ) = + ∞ donc lim − 3 ( n + 1 ) = − ∞ donc lim Un = − ∞ .

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Exercice 2 1.

2. ( ÄOA₁ , ÄOA₂ ) = π

6 + 2 k π donc l'angle polaire est égal à π 6 .

Pour calculer OA₂, j'utilise la formule de trigonométrie dans le triangle rectangle en A₂ nommé OA₁A_2.

cos π 6 = adj

hyp = OA₂ OA₁ ⇔ 3

2 × 1 = OA2. Donc les coordonnées polaires du point A₂ sont [ 3 2 ; π

6 ].

De la même façon, l'angle ( ÄOA₁ , ÄOA₃ ) = ( ÄOA₁ , ÄOA₂ ) + ( ÄOA₁ , ÄOA₂ ) = π

6 + π6 = 2π 6 = π3 . Donc l'angle polaire est égal à π

3 .

Et la longueur OA₃ vérifie cos π 6 = adj

hyp = OA₃

OA₂ ⇔ 3 2 × 3

2 = OA3 = 3

4 = 0,75.

Donc les coordonnées polaires du point A₃ sont [ 3 4 ; π

3 ].

3. Pour tout entier naturel n non nul, on note αn une mesure de ( ÄOA₁ ; ÄOA_n ).

a ) α 2 = ( ÄOA₁ ; ÄOA₂ ) = π

6 + 2 k π d'après l'énoncé.

α 3 = ( ÄOA1 , ÄOA3 ) = π

3 + 2 k π d'après la question précédente.

b ) α n + 1 = ( ÄOA₁ ; ÄOA_{n + 1} ) = ( ÄOA₁ ; ÄOA_n ) + ( ÄOA_n, ÄOA_n+1) = α n + π 6 . Donc pour passer de α n à α n+1 , on ajoute π

6 . Donc la suite est arithmétique de raison π 6 . Donc le terme général est donné par la formule α n = α 2 + ( n − 2 ) π

6 . En particulier α 15 = π

6 + 13 × π 6 = 14π

6 = 7π 3 = 7π

3 − 6π3 = π3 . Donc la mesure principale de α 15 est π

3 .