Première STG Exercices sur le chapitre 7 : E9. 2007 2008
E9 Problèmes divers.
N ° 38. On considère la suite arithmétique ( un ) de terme initial u0 = 4 et de raison 7.
1. Donnons le sens de variation de cette suite.
La raison de cette suite est strictement positive. Donc la suite ( un ) est une suite strictement croissante.
2. Exprimons un en fonction de n. un = u0 + na = 4 + 7n.
3. Utilisons le résultat précédent pour résoudre l'équation un = 200.
un = 200 ⇔ 4 + 7n = 200 ⇔ 7n = 200 − 4 = 196 ⇔ n = 196 7 = 28.
L'ensemble des solutions est { 28 }.
Il existe donc un terme de la suite égal à 200 : le terme u28. 4. Résolvons l'équation un = 300.
un = 300 ⇔ 4 + 7n = 300 ⇔ 7n = 300 − 4 = 296 ⇔ n = 296
7 ≈ 42,29.
L'ensemble des solutions est { 296 7 }.
Existe - t - il un terme de la suite égal à 300 ?
Non car u42 = 4 + 7 × 42 = 4 + 294 = 298 et u43 = 4 + 7 × 43 = 4 + 301 = 305.
N ° 39. On place un capital égal à 2 000 € au taux annuel de 3 % ) intérêts simples.
On pose C0 = 2 000 et on note Cn le capital ( en euros ) acquis au bout de n années ( avec n entier naturel non nul ).
1. C1 = 2 000 + 2000 × 3
100 = 2 000 + 60 = 2 060 C2 = 2 060 + 2000 × 3
100 = 2 060 + 60 = 2 120.
2. Démontrons que la suite ( Cn ) est une suite arithmétique.
On passe du terme Cn à son suivant Cn+1 en ajoutant 2000 × 3 100 = 60.
Donc la suite ( Cn ) est une suite arithmétique de raison a = 60.
Son terme initial est C0 = 2 000 et sa raison est égale à 60.
3. a ) Exprimons, en fonction de n, le capital acquis au bout de n années.
La formule donnant le terme de rang n d'une suite arithmétique de raison a est Cn = C0 + na = 2 000 + n × 60 = 2000 + 60n.
3. b ) Calculons le capital acquis au bout de 10 ans.
Au bout de 10 ans, n = 10 donc C10 = 2000 + 60 × 10 = 2000 + 600 = 2600.
Le capital acquis au bout de 10 ans est égal à 2600 €.
3. c ) Cn ≥ 4 000 ⇔ 2000 + 60n ≥ 4000 ⇔ 60n ≥ 2000 ⇔ n ≥ 200
6 ⇔ n ≥ 33,33.
C'est au bout de 34 années que le capital acquis sera supérieur ou égal au double du capital initial.
C34 = 2000 + 60 × 34 = 2000 + 2040 = 4 040.
