Par ailleurs, la suite est croissante donc ∀n≥N on a un ≥uN, et donc un≥A (on aun ≥uN ≥A)

L1 MPI 2013/2014

S1 Math´ematiques

Corrig´e de l’examen du 13 Janvier 2014

Questions de cours.

a)Soit (un)n une suite de nombres r´eels. Rappeler la d´efinition math´ematique de lim

n→+∞un= +∞.

∀A∈R,∃N ∈N,∀n≥N, u_n≥A.

b)D´emontrer que “Toute suite croissante et non major´ee tend vers +∞”.

Soit (un)n une suite. On suppose que (un)n est croissante et non major´ee. SoitA∈R. Puisque (u_n)_n n’est pas major´ee, il existeN ∈N tel queu_N ≥A. Par ailleurs, la suite est croissante donc

∀n≥N on a u_n ≥u_N, et donc u_n≥A (on au_n ≥u_N ≥A). On a montr´e que pour tout A ∈R il existait N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on ait un ≥ A. C’est pr´ecis´ement la d´efinition de u_n→+∞.

Exercice 1. Soit z₀=−4 +i4√ 3.

a) Mettrez0 sous forme exponentielle.

On commence par calculer le module dez0. On a

|z0|= q

(−4)²+ (4√

3)²=√

16 + 16×3 =√

64 = 8.

On cherche ensuite un argumentθdez0. En ´ecrivantz0 = 8

−¹₂ +i

√3 2

, on doit avoir cos(θ) =−¹₂ et sin(θ) = ^√₂³. On en d´eduit que θ = ^2π₃ (modulo 2π). La forme exponentielle de z₀ est donc z0= 8e^i2π3 .

b) R´esoudre dans Cl’´equation z³ =z₀. On exprimera les solutions sous forme exponentielle.

On cherche z=re^iα, avec r≥0, tel quez³ =z0 soit : (re^iα)³ = 8e^i2π3 ⇔ r³e^i3α= 8e^i2π3 ⇔

r³ = 8, r≥0 3α= ^2π₃ + 2kπ, k∈Z ⇔

r = 2, r ≥0 α= ^2π₉ +^2kπ₃ , k∈Z . Pour avoir l’ensemble des solutions il suffit de prendrek∈ {0,1,2} et on trouve ainsi

S ={2e^i2π9 ,2e^i8π9 ,2e^i14π9 }. Exercice 2. On consid`ere la fonction f : [−1,1]→R d´efinie par

f(x) =





 1 x

p1 +x²−p 1−x²

si x6= 0,

0 si x= 0.

a) Montrer quef est continue sur [−1,1].

La fonction x7→ ¹_x est d´efinie et continue sur R^∗. Par ailleurs la fonction X 7→ √

X est d´efinie et continue sur [0,+∞[, les fonctions x 7→ 1 +x² et x 7→ 1−x² sont d´efinies et continues sur R, et

pour toutx∈[−1,1] on a 1 +x² ≥0 et 1−x² ≥0. Par produit et compos´ee de fonctions continues, la fonctionf est continue sur [−1,1]\{0}. Il reste `a ´etudier la continuit´e en 0.

Six6= 0, on a

f(x) = 1 x

p1 +x²−p 1−x²

= 1

x × (1 +x²)−(1−x²)

√1 +x²+√

1−x² = 2x

√1 +x²+√

1−x². On en d´eduit que lim

x→0f(x) = 0 =f(0) et doncf est bien continue en 0.

Au final, f est continue sur [−1,1].

b) Justifier que f est d´erivable sur ]−1,0[∪]0,1[ et calculerf⁰(x).

On raisonne comme au a) en rempla¸cant “continue” par “d´erivable”. La seule diff´erence est que la fonction X 7→√

X n’est d´erivable que sur ]0,+∞[, i.e. pas en 0. Comme 1 +x² et 1−x² sont strictement positifs sur ]−1,1[, on en d´eduit quef est d´erivable sur ]−1,0[∪]0,1[ comme produit et compos´ee de fonctions d´erivables.

On calcule ensuitef⁰ :

f⁰(x) = −1 x²

p1 +x²−p 1−x²

+ 1

x

2x 2√

1 +x² − −2x 2√

1−x²

= −1 x²

p

1 +x²−p 1−x²

+ 1

√1 +x² + 1

√1−x².

c) Montrer que f est d´erivable en 0 et que f⁰(0) = 1. En d´eduire quef⁰ est continue sur ]−1,1[.

La fonctionf est d´erivable en 0 si et seulement si le taux d’accroissement ^f(x)−f(0)_x−0 admet une limite finie quand xtend vers 0. Cette limite est alors f⁰(0). Puisquef(0) = 0, en reprenant l’expression de f trouv´ee au a) on a, pourx6= 0,

f(x)

x = 2

√1 +x²+√ 1−x²

x→0

−→1.

On en d´eduit quef est d´erivable en 0 et que f⁰(0) = 1.

Pour montrer que f⁰ est continue sur ]−1,1[, en utilisant l’expression de f⁰ obtenue au b) et en raisonnant comme au a) on montre qu’elle est continue sur ]−1,0[∪]0,1[. Il reste `a montrer qu’elle est continue en 0. A nouveau, en utilisant l’expression de f⁰ calcul´ee au b) on trouve que

f⁰(x) = −1 x²

p1 +x²−p 1−x²

+ 1

√1 +x² + 1

√1−x²

= − 2

√1 +x²+√

1−x² + 1

√1 +x² + 1

√1−x²

x→0

−→1 =f⁰(0).

On en d´eduit quef⁰ est aussi continue en 0 et donc sur ]−1,1[.

d) D´eterminer l’ensemble des x ∈]−1,1[ tels que f⁰(x) = 0. En d´eduire que f est strictement croissante.

On utilise l’expression def⁰ trouv´ee au b). On a, pour x∈]−1,1[\{0}, f⁰(x) = 0

⇐⇒ − 1 x²

p1 +x²−p 1−x²

+ 1

√1 +x² + 1

√1−x² = 0

⇐⇒ −√

1 +x²−√ 1−x²

×√

1 +x²×√

1−x²+x²√

1−x²+x²√ 1 +x² x²×√

1 +x²×√

1−x² = 0

⇐⇒ −p

1 +x²−p 1−x²

×p

1 +x²×p

1−x²+x²p

1−x²+x²p

1 +x²= 0

⇐⇒ −(1 +x²)p

1−x²+ (1−x²)p

1 +x²+x²p

1−x²+x²p

1 +x² = 0

⇐⇒ p

1 +x²−p

1−x² = 0

⇐⇒ 1 +x²= 1−x² car x∈]−1,1[

⇐⇒ x= 0.

Or x6= 0 doncf⁰ ne s’annule pas sur ]−1,1[.

Pour montrer quef est strictement croissante il suffit de montrer quef⁰ est strictement positive (on a alors f strictement croissante sur ]−1,1[ et donc sur [−1,1] par continuit´e en −1 et en 1).

Soit on reproduit le calcul ci-dessus avec des in´egalit´es. Une autre fa¸con est de dire que f⁰ est continue sur ]−1,1[, ne s’annule pas et v´erifief⁰(0) = 1>0. Si on avaitx₀tel quef⁰(x₀)<0 alors par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires appliqu´e `a la f⁰ (on utilise ici la continuit´e de f⁰) cette derni`ere devrait s’annuler entrex0 et 0 ce qui n’est pas le cas. Conclusionf⁰(x)>0 pour tout xet doncf est strictement croissante.

e) Montrer que f est bijective de [−1,1] dans son ensemble image f([−1,1]) et d´eterminer ce dernier.

La fonctionf est continue d’apr`es a) et strictement monotone d’apr`es d), elle est donc bijective de [−1,1] sur son ensemble image. Comme elle est strictement croissante, ce dernier est

f([−1,1]) = [f(−1), f(1)] = [−√ 2,√

2].

f )On notef⁻¹la fonction r´eciproque def. Justifier quef⁻¹ est d´erivable en0et calculer(f⁻¹)⁰(0).

(On ne cherchera pas `a calculer la fonction f⁻¹.)

Pour que f⁻¹ soit d´erivable en 0, il suffit que f soit d´erivable en f⁻¹(0) et que f⁰(f⁻¹(0)) 6= 0.

On a alors (f⁻¹)⁰(0) = 1

f⁰(f⁻¹(0)). Ici on a f(0) = 0 donc f⁻¹(0) = 0. La fonction f est bien d´erivable en ce point et on a, cf c), f⁰(f⁻¹(0)) = f⁰(0) = 1 6= 0 donc f⁻¹ est d´erivable en 0 et (f⁻¹)⁰(0) = 1

f⁰(f⁻¹(0)) = 1.

Exercice 3. On se propose de montrer que la suite (u_n)_n∈N∗ d´efinie par un=

Xn k=0

1 k!= 1

0! + 1

1!+· · ·+ 1 n!

converge et de calculer sa limite. On rappelle que 0! = 0⁰ = 1.

1. Convergence de la suite (un)n. (voir aussi poly de cours, p. 38, Exemple 3.44)

a) Pour tout n∈N calculer u_n+1−u_n. En d´eduire que la suite (u_n)_n est strictement croissante.

Pour toutn∈Non a

un+1−un=

n+1X

k=0

1 k!−

Xn k=0

1

k!= 1 (n+ 1)!.

Commeun+1−un>0 pour toutn∈N on en d´eduit que la suite u est strictement croissante.

Soit (v_n)_n∈N∗ la suite d´efinie par v_n=u_n+_n×¹_n!.

b) Montrer que la suite(v_n)_n est strictement d´ecroissante.

Soit n∈N^∗. On calcule

v_n+1−v_n =

u_n+1+ 1

(n+ 1)×(n+ 1)!

−

u_n+ 1 n×n!

= (un+1−un) + 1

(n+ 1)×(n+ 1)! − 1 n×n!

= 1

(n+ 1)! + 1

(n+ 1)×(n+ 1)! − 1 n×n!

= n+ 2

(n+ 1)×(n+ 1)! − 1 n×n!

= n(n+ 2)−(n+ 1)² n(n+ 1)×(n+ 1)!

= − 1

n(n+ 1)×(n+ 1)! < 0.

Commev_n+1−v_n<0 pour tout n, on en d´eduit que la suite v est strictement d´ecroissante.

c) Montrer que lim

n→+∞vn−un= 0 et en d´eduire que la suite (un)n converge.

Pour tout n∈N^∗ on avn−un = _n×¹_n!. On en d´eduit quevn−un →0 (par exemple on peut dire quen!≥1 donc 0≤v_n−u_n≤ _n¹).

La suite u est croissante, la suitev est d´ecroissante et v−u tend vers 0, ce sont donc des suites adjacentes. Elles convergent donc toutes les deux et vers la mˆeme limite. En particulier la suite u converge.

2. Calcul de la limite.

Etant donn´´ e n∈N, on d´efinit la fonction fn: [0,1]→R par

fn(x) = e^−x Xn k=0

x^k k!.

a) Que vautf_n(0)? Exprimerf_n(1) en fonction de u_n.

On a 0⁰ = 1 et pour toutk≥1 on a 0^k= 0. On en d´eduit quef_n(0) = e⁻⁰P_n

k=0 0^k

k! = e⁻⁰×⁰_0!⁰ = 1.

Par ailleurs, pour tout entier kon a 1^k= 1 et doncf_n(1) = e⁻¹P_n

k=01^k k! = ^u_eⁿ.

b) Justifier que f_n est d´erivable et montrer que f_n⁰(x) =−e^{−x x}_n!ⁿ.

Pour tout entierkla fonctionx^k est d´erivable, et la fonction expontielle est d´erivable. Doncf_n est d´erivable comme somme et produit de fonctions d´erivables.

Si k ≥1 la d´eriv´ee de x^k est kx^k−1, et pour k = 0 la fonction x⁰ est constante ´egale `a 1 pour toutx donc sa d´eriv´ee est nulle. On en d´eduit que

f_n⁰(x) = −e^−x× Xn k=0

x^k

k! + e^−x× Xn k=1

kx^k−1 k!

= −e^−x× Xn k=0

x^k

k! + e^−x× Xn k=1

x^k−1 (k−1)!

= −e^−x× Xn k=0

x^k

k! + e^−x×

n−1

X

j=0

x^j

j! (on a pos´ej=k−1)

= −e^−x× Xn k=0

x^k k! −

n−1

X

k=0

x^k k!

!

= −e^−xxⁿ n!.

c) Enoncer le th´´ eor`eme des accroissements finis.

Soient a≤bet f : [a, b]→R une fonction continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[. Alors il existe c∈]a, b[ tel quef⁰(c) = f(b)−f(a)

b−a .

d) En appliquant le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction f_n sur [0,1] en d´eduire que

n→lim+∞un= e.

D’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis, il existec∈]0,1[ tel que f_n⁰(c) = f_n(1)−f_n(0)

1−0 ⇐⇒ −e^−c×cⁿ n! = u_n

e −1.

Attention, dans le th´eor`eme des accroissements finis le nombre cd´epend a priori de la fonction f.

En particulier ici c d´epend de n. Cependant on a c ∈]0,1[ et donc

−e^−c×cⁿ n!

= e^−c|c|ⁿ n! ≤ 1

n!. On en d´eduit par le th´eor`eme des gendarmdes que ^u_eⁿ −1 tend vers 0 et donc queu_n tend vers e.