TS Correction Fiche TP 8 2011-2012
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;−→u;−→v).
1. ∆ =b2−4ac= (−2)2−4×4 =−12<0. Ainsi l’équationz2−2z+ 4 = 0 deux solutions complexes conjuguées qui sont :
z1=−b+ i√
−∆
2a = 2 + 2i√ 3
2 = 1 + i√ 3 z2=z1= 1−i√
3 2. z1= 1 + i√
3 = 2 1
2 + i
√3 2
= 2eiπ3 et z2=z1= 2e−iπ3 car eiθ= e−iθ 3. SoitA,E etF les points d’affixes respectivesa= 2,e= 1−i√
3 etf = 1 + i√ 3.
(a) Points dans le repère (O;−→u;−→v).
O ~u
~v
A F
E
b
bb
(b) f
a =1 + i√ 3
2 = eiπ3 or arg f
a
= (−→OA;−−→OF) (2π). Comme arg f
a
=arg(eiπ3) =π
3 et donc : (−→
OA;−−→
OF) =π 3(2π)
• OA=|zA|= 2
• OF =|zF|=|1 + i√ 3|=
q 12+ (√
3)2= 2 doncOA=OF. On en déduit que le triangle OAF est équilatéral . (1 angle de π
3 et 2 côtés de la même longueur) (c) Nature du quadrilatèreOEAF?
Dans la symétrie par rapport à la droite (OA), commezE =zF,E est le symétrique deF par rapport à la droite (OA). On a donc OF =F A=OE =AE et le quardilatère OEAF est un losange (4 côtés de la même longueur)
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