De plus, arg zA−zB zC−zB =arg(i)=π 2 et arg zA−zB zC−zB = (−−→BC;−−→BA) donc par conséquent : (−−→BC;−−→BA) =π 2 Le triangleABC est rectangle et isocèle enB

TS Correction Fiche TP 9 _2011-2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;−→u;−→v).

1. Placer les pointsA,B et Cd’affixes respectives :

z_A=−11 + 4i,z_B=−3−4i etz_c= 5 + 4i.

O ~u

~v A(−11 + 4i)

B(−3−4i)

C(5 + 4i) E

D

b b b

bb

2. z_A−z_B

z_C−z_B = −11 + 4i + 3 + 4i

5 + 4i + 3 + 4i =−8 + 8i

8 + 8i =i(8i + 8) 8 + 8i = i Or

z_A−z_B z_C−z_B

=|i|= 1 et

z_A−z_B z_C−z_B

= |z_A−z_B|

|z_C−z_B| = AB

BC donc par conséquent :AB=BC. De plus, arg

z_A−z_B z_C−z_B

=arg(i)=π 2 et arg

z_A−z_B z_C−z_B

= (−−→BC;−−→BA) donc par conséquent : (−−→BC;−−→BA) =π 2 Le triangleABC est rectangle et isocèle enB.

3. La rotationr_B de centre B et d’angle π

4 a pour écriture complexe :z^′−z_B = e^iπ4(z−z_B).

AinsiE=r_B(C)⇔z_E−z_B= e^iπ4(z_C−z_B) ce qui après calcul donnez_E=−3 + (8√ 2−4)i.

4. L’homothétieh_B de centreB et de rapport

√2

2 a pour écriture complexe :z′−z_B =

√2

2 (z−z_B).

AinsiD=h_B(E)⇔z_D−z_B =

√2

2 (z_E−z_B) ce qui après calcul donnez_D=−3 + 4i.

On peut calculerDA,DB et DC et constater que les longueurs sont égales.

DA=|z_A−z_D|=....et etc....

On peut aussi rappeler que dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypothénuse.

On calcule l’affixe du milieu de [AC] et l’on constate que c’est l’affixe deD. Pour l’affixe du milieu : z_A+z_C

2 =...=z_D

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