TS 8 DS 2 : Continuit´e, Complexe 15 octobre 2016 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Quelques exercices classiques (25 minutes) (5 points) 1. R´esoudre les ´equations enzdansC. On donnera les formes alg´ebriques des
solutions.
(a) 3z−5i= ¯z (b) z2+ 3z+ 3 = 0 2. Soient trois pointsA,B,C d’affixe zA=i,zB=
√2
2 +
√2
2 iet zC =−i.
(a) Placer ces points dans un rep`ere orthonorm´e direct (O;~u;~v) ;
(b) Calculer l’affixe du point D tel queABCD soit un parall´elogramme.
Placer ce point.
3. D´eterminer les limites suivantes : (a) lim
x→−∞
px2+ cos(x) (b) lim
x→3 x <3
x+ 5 x−3
Exercice 2 : Probl`eme complexe (40 minutes) (7 points) Dans le plan complexe (P) muni d’un rep`ere orthonormal direct (O;~u;~v) d’unit´e graphique 4 cm, on consid`ere le pointAd’affixe a=−1 et l’application f, du plan (P) dans lui mˆeme, qui point M d’affixez, distinct deA, associe le point M0=f(M) d’affixe z0 tel que :z0= iz
z+ 1. 1. D´eterminer l’affixe des points M tel queM0=M.
2. SoitB le point d’affixe b=−12 +i.
(a) Calculer sous forme alg´ebrique l’affixe b0 du point B0 image de B par f.
(b) ´Etablir que le pointB0 appartient au cercleC de centreO et de rayon 1.
On posez=x+iy, avec x ety des r´eels tels que (x;y)6= (−1; 0).
3. D´emontrer que si x=−12, alors le pointM0 appartient au cercle C. 4. (a) V´erifier que la partie imaginaire dez0 est ´egale `a :
Im(z0) = x2+y2+x (x+ 1)2+y2.
(b) En d´eduire la nature des ´el´ements caract´eristiques de l’ensemble (Γ) des points M distincts de A donc l’image M0 appartient `a l’axe des abscisses.
Exercice 3 : Probl`eme analyse (55 minutes) (8 points) Partie A :
Soit u la fonction d´efinie sur l’intervalle ]0; +∞[ paru(x) = 2x√ x+√
x−2.
1. Justifier que la fonction u est strictement croissante sur ]0; +∞[.
2. D´eterminer la limite de uen +∞.
3. (a) D´emontrer que l’´equation u(x) = 0 admet une unique solution α sur ]0; +∞[.
(b) `A l’aide de la calculatrice, d´eterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.
4. En d´eduire le signe deu(x) en fonction de x.
5. Montrer l’´egalit´e √
α= 2 2α+ 1. Partie B :
Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle ]0; +∞[ parf(x) =x2+ (2−√ x)2. 1. D´eterminer la limite de f en +∞.
2. V´erifier que, pour tout r´eel x∈]0; +∞[,f0(x) = u(x)
√x , o`u u est la fonction de la partie A.
3. En d´eduire les variations de f sur ]0; +∞[
Partie C :
Dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O;~i;~j), on note :
• Γ la courbe repr´esentative de la fonctionx7→√ x;
• A le point de coordonn´ees (0; 2) ;
• M le point de Γ d’abscissex appartenant `a ]0; +∞[.
1. Montrer que la distance AM est donn´ee par la fonction g definie par g(x) =p
f(x)
2. (a) Montrer que les fonctions f etg ont les mˆemes variations sur ]0; +∞[
(b) Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ, not´e P, dont on pr´ecisera les coordonn´ees.
3. Montrer queAP = α 2α+ 1
√
4α2+ 2α+ 17
4. Prise d’initiative : La droite (AP) est-elle perpendiculaire `a la tangente Γ enP?
Rappel : si le produit des coefficients directeurs est−1, alors les droites sont perpendiculaires
