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TS Fonction logarithme népérien (2) : reprise et approfondissement
I. Nombre de Néper 1°) Rappel de la définition
e est l’unique réel strictement positif tel que ln e = 1.
2°) Démonstration de l’existence et de l’unicité de e (ROC)
x 0 e +
Variation de la fonction ln +
–
La fonction ln est continue sur ]0 ; +[.
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +[.
Le corollaire du TVI s’applique.
ln (]0 ; +[) = ]– ; +[
1 ]– ; +[
L’équation ln x = 1 admet donc une unique solution dans l’intervalle sur ]0 ; +[.
II. Approximation affine tangente au voisinage de 1 1°) Formule au programme
Il existe une fonction telle que pour tout réel h > – 1, ln 1
h
hh
h avec
lim0 0
h h
.
Développement limité de la fonction ln en a = 1 à l’ordre 1.
de Taylor 2°) Démonstration (ROC) Rappel :
Pour une fonction f dérivable en a, il existe une fonction telle que f a
h
f a
hf'
a h
h et0
lim 0
h h
. Ici :
ln
f est dérivable sur * donc en particulier en a = 1.
On applique la formule d’AAT.
1
2
0 1
ln 1h ln1hln' 1 h h avec
0
lim 0
h h
3°) Application
Formule
Pour h « proche de 0 », on a : ln 1
h
h. Exemple
ln 1, 004 0, 004
Illustration graphique
O i j
Commentaire
Il y a deux formules d’AAT.
- Formule avec le signe = : valable pour tout réel h > – 1.
- Formule avec le signe : valable pour h « proche » de 0.
III. Composée d’une fonction suivie de la fonction logarithme népérien 1°) Dérivée
u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que x I u x
0. f : x lnu x
1 y x
Cln : yln x h
ln 1h
1 + h 1
h
h h
3 u est définie sur I à valeurs dans l’intervalle ]0 ; +[.
La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +[.
Donc le théorème de composition pour les fonctions dérivables s’applique :
u ln I ]0 ; +[
I x
ln ou
' x u x'
ln'u x
' 1 u x u x
' u x
u x
On retient :
ln o u
' u'u ou
lnu
' u'u .
On retient :
ln o u
' u' u ou
lnu
' u' u. (dérivée logarithmique de u)
2°) Extension à un cas plus général
u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que x I u x
0. f : x ln u x
f est définie sur I.
Comme u est dérivable sur I, u est continue sur I, donc u est de signe constant sur I.
1er cas : x I u x
0. I x f x
lnu x
Ix
' u x'
f x
u x
2e cas : x I u x
0. I x f x
lnu x
On pose v x
u x
. f = ln o vOn applique le 1°.
4 I
x
' v x'
f x
v x
' u x u x
' u x
u x
On remarque que, dans les deux cas, on obtient la même expression sans valeur absolue.
I x
' u x'
f x
u x
On retient :
ln o '
u'u u ou
ln u
' u' u . 3°) Cas particuliers
f : x ln | x | D f = * f'
x 1x
(Faute à ne pas faire : f'
x 1 x )
f : x ln | ax + b | (où a et b sont deux réels tels que a0)
D f = \ b a
f est dérivable sur \ b a
\ b
x a
f'
x aax b
Attention
S’il n’y a pas de ln, on a un problème pour la dérivée de la fonction f : x x21 .
x21 si x
; 1
1 ;
f x
x21 si x
1 ; 1
5 On se place sur ]– ; – 1[,]– 1 ; 1[ et ]– ; – 1[ .
On étudie ensuite directement la dérivabilité en 1 et en – 1.
IV. Théorèmes de croissance comparée du logarithme népérien et des fonctions puissances entières
(rapports de force) 1°) En +
n* (n 1). ln
lim ?
x n
x x
F.I. du type «
».
1er cas : n1 (déjà traité)
lim ln 0
x
x x
(limite de référence) 2e cas : n1 soit n 2
x *
1
ln ln 1
n n
x x
x x x
1
lim ln 0
lim 1 0
x
x n
x x
x
donc par limite d’un produit ln
lim 0
x n
x x
.
2°) En 0+
n* (n 1). xlim0
xnlnx
?
F.I. du type « 0 ».
1er cas : n1 (déjà traité)
0
lim ln 0
x x x
(limite de référence) 2e cas : n1 soit n 2
x *
xnlnx
xlnx
xn1
0 1 0
lim ln 0
lim 0
x n x
x x x
donc par limite d’un produit xlim0
xnlnx
0 .
6 3°) Récapitulatif (deux nouvelles limites de référence)
n*
lim lnn 0
x
x x
0
lim nln 0
x x x
(car si 0 < x < 1, alors ln x < 0)
4°) Compléments
0
limln ?
x
x x
0
0
lim ln
lim 0
x
x
x x
donc par limite d’un quotient
0
limln
x
x x
On sait que
0
limln 1 1
x
x x
(limite de référence)
lim ln 1
x
x x
?
1 1 1
ln 1 ln ln 1 ln 1
ln 1 ln
lim lim lim lim 0
x x x x
x x
x x x x x
x x x x x
