TS La fonction logarithme népérien

(1)

TS La fonction logarithme népérien

Plan du chapitre :

I. Rappels

II. Commentaires

III. Propriétés immédiates (conséquences de la définition)

IV. Propriété liée à l’ordre

V. Propriétés algébriques

VI. Dérivée de la fonction logarithme népérien

VII. Étude de la fonction logarithme népérien

VIII. Limites de référence

IX. Fonctions associées à la fonction logarithme népérien

X. Fonctions logarithmes de base quelconque

XI. Puissances réelles

Au XVII^e siècle, on déterminait la position des grands voiliers par des calculs astronomiques qui étaient facilités par l’usage des tables de « logarithmes ». Ces tables permettaient de « changer » des calculs avec des multiplications en calculs avec des additions.

Le livre dans lequel figuraient ces tables servait ainsi à déterminer et à noter sa position mais aussi à noter d’autres informations : la météo, l’état du navire, le moral de l’équipage… Ce journal de bord s’appelait un

« log-book ». On a conservé ce terme et lorsque son support a changé, que ce journal s’est écrit sur Internet, il s’est dénommé « web-log » qui par contraction a donné le mot « blog ».

John Napier (1550-1617) est un mathématicien écossais plus connu sous le nom francisé de Néper.

Il lui a fallu près de 20 ans pour mettre au point sa découverte des logarithmes. Il publie sa découverte en 1614 et donne une table des logarithmes.

I. Rappels 1°) Définition

On a démontré dans le chapitre sur la fonction exponentielle que la fonction exp est strictement croissante sur

, et quee^x _x_{  } ete^x_x_{  } 0.

D’après la version généralisée du TVI qui sera vue plus tard, on peut donc dire que pour tout réel y0, il existe un unique réelx tel que e^xy.

Ce nombrex est appelé lelogarithme népérien dey. On le noteln y.

2°) Exemples e01 donc ln1 0 . e1e donc ln e1.

e est appelé lenombre de Néper ou labase du logarithme népérien.

Pour d’autres valeurs, on utilise la calculatrice (qui donne en général des valeurs approchées).

On n’utilise pas de parenthèses lorsque l’on a un nombre seul.

3°) Remarque

Le logarithme népérien d’un réel négatif ou nul n’existe pas dans (la calculatrice affiche un message d’erreur du type « erreur : non real answer » lorsque l’on est en mode réel ; néanmoins, lorsque l’on est mode complexe, la calculatrice affiche un résultat complexe lorsqu’on lui demande le calculer le logarithme d’un réel

strictement négatif*, ce résultat sera interprété beaucoup plus tard dans le supérieur lors de l’étude des fonctions complexes). Ce résultat est un nombre complexe qui sera interprété plus tard dans le supérieur avec les fonctions complexes.

*Par exemple, le calcul de ln – 1 sur la calculatrice en mode réel donne « erreur : non real answer ».

 

4°) Exercice

Donner l’ensemble de définition des fonctions : f :x^{ln 3– x}

 

^{g :}^x^^ln



^x^{– 1}



^x⁴





 ^{f x}

 

^existe^Û³^{ }^x ⁰

Ûx3



^{; 3}



f    D

(2)

 ^{g x}

 

^existe^Û



^x¹



^x⁴



⁰

Ûx 4 ou x1 (tableau de signes non utile)



^; ⁴

 

^{1 ;}



g       D

Il est intéressant de tracer les courbes représentatives des fonctionsf etg ; on peut ainsi vérifier d’une certaine manière, les ensembles de définition que l’on a trouvé précédemment.

5°) Vocabulaire

La fonction exp établit une bijection de dans^*_.

Cela signifie que tout élément de^*_ admet un unique antécédent dans par la fonction exp.

La fonction ln est la bijection réciproque de la fonction exp ; elle est définie sur^*_ à valeurs dans.

exp x y ln La fonction ln « renverse » les flèches.

On peut déjà observer graphiquement sur l’écran de la calculatrice que les courbes des fonctions exponentielles et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la première bissectrice dans le plan muni d’un repère normé (a fortiori orthonormé). Cette propriété est générale pour une bijection et sa bijection réciproque.

II. Commentaires 1°) Aspect historique

Historiquement, la fonction logarithme népérien est apparue avant la fonction exponentielle. La fonction logarithme népérien est apparue au XVII^e siècle avec Néper et Briggs. La fonction exponentielle est apparue au XVIII^e siècle avec Euler.

La fonction ln a été inventée à la fin du XVI^e siècle pour aider les astronomes dans leurs calculs à une époque où les moyens de calcul étaient très limités (il n’y avait pas de calculatrice !) : elle permettait de transformer toute multiplication en addition comme nous le verrons avec la propriété fondamentale.

John Néper publie son ouvrageMirifici logarithmorum canonis descriptio en 1614.

L’ouvrage a un retentissement considérable dans le monde scientifique.

Néper a mis vingt ans pour calculer ses tables de logarithmes.

2°) Expression

Nous admettrons que, comme la fonction exp*, la fonction ln n’admet pas d’expression à l’aide des symboles usuels.

*Remarque : Avec les limites, il existe pourtant une « expression » :

0

e lim

!

k n k x

n k

x k



  





mais cette « formule » n’est pas considérée comme une formule explicite.

On dit que la fonction ln est une fonctiontranscendante. Elle n’a pas de formule explicite par opposition aux fonctions algébrique (les mathématiciens ont démontré qu’il n’existe pas de formule explicite, résultat difficile).

C’est ce qui fait la complexité de cette fonction (et ce qui explique qu’elle ne soit étudiée qu’à partir de la terminale). Les mathématiciens ont certainement été troublés par cela.

On retiendra que la fonction ln fait partie de la famille des fonctions transcendantes comme les fonctions sinus, cosinus, tangente, Arccosinus, Arcsinus, Arctangente…

Nous verrons plus tard dans le cours que la fonction ln a pour dérivée la fonction « inverse »x 1 x sur



^{0 ;}^{ }



qui, elle, est algébrique et même rationnelle (ce qui est remarquable). On dit qu’elle fait partie de la famille des fonctions transcendantes à dérivée rationnelle.

3°) Calculatrice et logarithme népérien

La calculatrice utilise un algorithme de calcul (algorithme C.O.R.D.I.C.) pour donner le début de l’écriture décimale du logarithme népérien d’un réel.

4°) Utilisation

La fonction logarithme népérien, comme la fonction exponentielle, est une fonction d’une très grande importance.

Les fonctions logarithme népérien et exponentielle ont de nombreuses applications aussi bien en mathématiques (primitives, calculs d’aires…) qu’en sciences physiques (radioactivité, pH d’une solution…). Les applications mathématiques de la fonction logarithme népérien et exponentielle seront vues dans la suite du cours.

III. Propriétés immédiates (conséquences de la définition) 1°) Propriété 1 [équivalence fondamentale]

x *_

   y ylnxÛe^yx

2°) Propriété 2

x *_

  e^ln^xx

On dit, en mauvais langage, que le e « annule » le ln.

Cette propriété permet de simplifier des expressions.

Exemple : eln 22

(3)

 x ln e^xx

On dit, en mauvais langage, que le ln « annule » le e.

Cette propriété permet de simplifier des expressions.

Exemple :

 

²

ln e 2

IV. Propriété liée à l’ordre 1°) Propriété



^{a b}^,

  

^* ²

   lnalnb Ûab lnalnb Ûab 2°) Démonstration

lnalnbÛe^ln^ae^ln^b (propriété de la fonction exponentielle) Ûab

lnalnbÛe^ln^ae^ln^b Ûab 3°) Interprétation

La deuxième inégalité de la propriété permet de dire que la fonction ln est strictement croissante sur^*_. Nous le reverrons avec la dérivée dans le paragrapheVII.

Cette propriété est liée à la notion de bijection.

4°) Application aux équations et inéquations avec ln

 Exemple 1 :

Résoudre dans l’équation lnx2 (1).

Condition d’existence : On doit avoir x0.

On résout l’équation (1) dans^*_. (1)Û xe² qui convient care²0

Soit S₁ l’ensemble des solutions de (1).

 

²

1 e

S 

 Exemple 2 :

Résoudre dans l’équation^{ln 2}



^x^{ }¹



^{ln 5}



^^x



^(2).

Conditions d’existence : On doit avoir 2 1 0

5 0

x x

  

  

 soit

1 2 5 x x

 

 



soit enfin 1 2 x 5.

On résout l’équation (2) dans l’intervalle 1 2; 5

 

 

 . (2)Û2x  1 5 x

Û3x6

Ûx2 qui convient car 1

2 ; 5

2

 

  

Soit S₂ l’ensemble des solutions de (2).

2

 

2 S 

 Exemple 3 :

Résoudre dans l’inéquation ^ln



^x²^¹



^^ln

^

^x^³

^

^(3).

Conditions d’existence : On doit avoir

2 1 0 (toujours vrai) 3 0

x x

  

  

 soit x 3.

On résout l’inéquation (3) dans l’intervalle



^{3 ;} 



. (3)Ûx²1x3

Ûx² x 2 0 Ûx– 1 ou x2

Soit S₃ l’ensemble des solutions de (3).

   

3 3 ; 1 2 ;

S      

(4)

 Exemple 4 :

Résoudre dans l’équation

 

^ln^x²^^{2 ln}^x^{ }⁸ ⁰^(4).

Conditions d’existence :

On résout l’équation (4) dans l’intervalle^*_. On pose Xlnx.

(4) s’écrit X²2X 8 0 (4').

(4')Û X 4 ou X2 Or Xlnx.

Donc :

(4)Ûlnx 4 ou lnx2 Û xe^⁴ ou xe²

Soit S₄ l’ensemble des solutions de (4).



⁴ ²



4 e ; e

S  ^

 Exemple 5 :

Résoudre dans l’inéquation

 

^ln^x²^{2 ln}^x ⁸ ⁰ (5).

Conditions d’existence :

On résout l’inéquation (5) dans^*_. On pose Xlnx.

(5) s’écrit X²2X 8 0 (5').

(5')Û X 4 ou X2 Or Xlnx.

Donc :

(5)Ûlnx 4 ou lnx2 Û xe^⁴ ou xe²

Soit S₅ l’ensemble des solutions de (5).

4 2

5 0 ; e e ;

S  ^      Bilan :

On retiendra que pour les équations et inéquations avec ln on doit commencer par chercher l’ensemble de résolution.

On fera bien la distinction entre la notion d’ensemble de résolution d’une équation avec la notion d’ensemble de définition d’une fonction (même s’il y a une similitude entre les deux).

5°) Signe du logarithme népérien d’un nombre

 Si x1, alors lnx0.

 Si 0 x 1, alors lnx0.

 Si x1, alors lnx0.

Signes d’expression : lnx1

On peut utiliser deux inéquations et une équation ou utiliser le signe d’une expression de la forme ^{f x}

 

^^{f a}

 

ou ^{f a}

 

^{f x}

 

oùf est une fonction strictement monotone sur un intervalleI et a est un élément deI.

V. Propriétés algébriques

1°) Propriété 1 (propriété fondamentale)

· Énoncé



^{a b}^,

  

^*^ ²

   ^ln

 

^ab ^ln^a^ln^b

On dit que le logarithme népérien transforme les produits en sommes (alors que l’exponentielle transforme les sommes en produits).

· Exemple

 

ln 3 ln 4 ln 3 4 ln12

On peut utiliser la propriété dans les deux sens.

· en exercice

Vérifier quea0 etb0.

Sia0 etb0, alorsab est strictement positif et ^ln

 

^ab ^^ln^_

  

^^a ^^b^_^^ln

 

^^a ^^ln

 

^^b ^.

(5)

On peut dire que poura etb non nuls de même signe (strictement positif ou strictement négatif), lnabln ab ln a ln b .

On a la même chose pour la racine carrée d’un produit :

Poura etb de même signe (positifs ou nuls ou négatifs ou nuls), on a ab ab  a  b .

 

ln ab existe dans le cas oùab0 c’est-à-dire dans les deux cas suivants :

·a0 etb0 ;

·a0 etb0.

Il faut prendre garde que^ln

 

^ab n’existe pas dans le cas où ab0 c’est-à-dire dans les deux cas suivants :

·a0 etb0 ;

·a0 etb0.

Il est important de bien prendre conscience de ce point.

· Démonstration

  eln^ab ab

ln ln ln ln

e ^a^ ^be ^ae ^bab

D’après la propriété d’égalité de deux exponentielles,^ln

 

^ab ^^ln^a^^ln^b^.

· Généralisation



^{a b c}^{, ,}

  

^*^ ³

   ^ln

 

^abc ^^ln^a^^ln^b^^ln^c



a a1, 2, ...,a_n

  

^*_ ⁿ

   ln



a a1 2 ... a_n



lna1lna2 ... lna_n

· Énoncé a *_

  1

ln ln a

a 

· Exemple ln1 ln 2

2 

1 1

a a

ln a 1 ln1

a

  

 

 

prop. 1 propriété lna ln1 0

 a On en déduit que 1

ln lna

a  . 3°) Propriété 3

· Énoncé



^{a b}^,

  

^*^ ²

   lna ln ln

a b

b 

· Exemple ln3 ln 3 ln 2

2 

· en exercice

Vérifier quea0 etb0.

Sia0 etb0, alors ^ln^a ^ln ^a ^ln

 

^a ^ln

 

^b

b b

 

     

· Démonstration 1 a a b b

ln 1

ln a

b a

b

 

    prop. 1

ln l 1

n n

l a

b b

a 

prop. 2 ln

lna a ln b  b

(6)

· Énoncé a *_

   n  ^ln

 

^aⁿ ^ⁿ^ln^a

· Exemple

 

²

ln 9ln 3 2 ln 3

· Démonstration 1^er cas :n0

fois n ...

n

a    a aa

  ^ ^

ln aⁿ ln a a  ... a prop. 1

 

termes

ln ln .. n

n .

l ⁿ l

n

a a a

a   

 

ⁿ

n l

l aⁿ n a 2^e cas :n0 On pose :m n. On am0.

n m 1

a a m

a

  

 

¹

ln aⁿ ln _m a

 

   prop. 2

 

^l

n n

l aⁿ   a^m

0

m donc le 1^er cas s’applique.

 

ⁿ

ln aⁿ  ml a

 

ⁿ

n l

l aⁿ n a 3^e cas :n0

0 1

a  (par définition)

 

⁰

ln a ln10

On peut donc écrire :^ln

 

^a⁰ ^^{0 ln}^a

Bilan :  n ^ln

 

^aⁿ ^ⁿ^ln^a

· Énoncé a *_

  1

ln ln

a2 a

· Exemples ln 3 1ln 3

2 0 a etb0

 

ln 1ln

a b 2 a b

On a

 

^a ²^^a donc, par passage au logarithme népérien,

 

²

ln a   lna prop. 4

2 ln alna ce qui donne immédiatement 1

ln ln

a2 a. N.B. :Nous verrons plus tard que pour tout réela0, on a :

1

aa2.

La propriété de ce paragraphe est une généralisation de la règle donnée au 4°) pour les exposants entiers relatifs.

Généralisation aux racines n-ièmes :

Pourn entier naturel supérieur ou égal à 2 eta réel strictement positif, on a 1 lnⁿa lna

n .

(7)

6°) Formulaire récapitulatif

 

ln ab lnalnb ln1 ln a

a  lna ln ln

a b

b 

 

ln aⁿ nlna

ln 1ln

a2 a

7°) Application aux puissances du nombre e

 n ln eⁿnln en ln1 1

e  ln e 1

2

8°) Application à la résolution d’inéquations avec des puissances (fonction logarithme et valeur seuil) Exemple :

Déterminons les entiers naturelsn tels que

 

^{0, 9} ¹

2

n (1).

Méthode :

On « prend » le logarithme népérien des deux membres.

On a l’impression que l’on complexifie mais en fait on simplifie le problème (comme souvent en mathématiques, on complexifie pour simplifier).

(1)Û^ln

 

^0,9 ^ln¹

2

 n

 

Û 1

ln 0, 9 ln n  2

: ln 0, 9 ( ln 0, 90 car 00, 9 1 ) Û

ln1 2 ln 0,9 n

Avec la calculatrice, on trouve ln1

2 6, 578...

ln 0, 9 . Or n.

Donc les entiers naturelsn cherchés sont supérieurs ou égaux à 7.

VI. Dérivée de la fonction logarithme népérien

1°) Rappel [définition d’une fonction dérivable en un réel et du nombre dérivé]

On dit qu’une fonctionfest dérivable ena lorsque le quotient ^{f x}

 

^{f a}

 

x a



 admet une limite finie lorsquex tend versa.

Dans ce cas, la limite est appelée le nombre dérivé def ena.

On la note ^f^'

 

^a ^.

Le rapport ^{f x}

 

^{f a}

 

x a



 est appelé taux de variation def entrea etx.

2°) Démonstration

 

^ln

f x  x

On considère un réela fixé dans^*_.

On forme le rapport ^{f x}

 

^{f a}

 

x a



 oùx est un réel strictement positif avec xa.

   

ln ln

f x f a x a

x a x a

  

 

   

f x f a x a

y b x a



 



 en posant ylnx etblna

   

e^y e^b f x f a

x a

y b

 



   

1

e^y e^b f x f a

x a

y b

 



Lorsquex tend versa,y tend versb (obtenu grâce à la continuité de la fonction logarithme népérien qui est admise cette année).

e e

 

exp'

y b

y b b

y b ^

 

 car la fonction exp est dérivable sur, donc en particulier enb.

Or exp'exp (la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même).

Donc^exp'

 

^b ^exp

 

^b ^e^b^a.

(8)

Donc e^y e^b

y b a

y b ^

 

 et par suite,

   

1

x a

f x f a

x a ^ a

 

 .

Comme le résultat de la limite est finie, on en déduit que la fonction ln est dérivable ena et que le nombre dérivé de ln ena est 1

a. Ainsi,^ln'

 

^a ¹

a Autres démonstrations :

- Dans le supérieur, on verra le théorème de dérivation d’une bijection réciproque qui permet de démontrer plus rapidement que la fonction ln est strictement croissante et dérivable.

- En admettant que la fonction ln est dérivable et en utilisant la relation



^ln^exp

 

^x ^x. 3°) Propriété

La fonction ln est dérivable sur^*_ et x ^*_ ^f^'

 

^x ¹

x.

Il est surprenant de voir qu’une fonction aussi compliquée que la fonction logarithme népérien (fonction transcendante) puisse avoir une dérivée aussi simple (la fonction inverse x1

x est une fonction rationnelle.

Il existe d’autres fonctions transcendantes dont la dérivée est rationnelle.

C’est le cas par exemple le cas de la fonction Arctangente qui sera étudiée dans le supérieur.

Sa dérivée est la fonctionx

2

1 1x .

VII. Étude de la fonction logarithme népérien 1°) Définition

La fonction logarithme népérien est la fonctionf :x lnx.

2°) Domaine de définition

* ln

D

« à valeurs dans » (sans talon) On peut noter f : ^*_ 

x lnx

« a pour image » (avec talon) 3°) Dérivée

Nous avons démontré que la fonctionf est dérivable sur^*_ et que x ^*_ ^f^'

 

^x ¹

x.

4°) Tableau de variation

x 0 + Signe de ^f^'

 

^x +

Variation de la fonctionf

+

– 5°) Limite en +

lim ln

x x

     

Démonstration : On se donne un réelA.

On pose Be^A.

Si xB, alors lnxlnB c’est-à-dire lnxA. Par définition, on obtient lim ln

x x

     . 6°) Limite en 0⁺

lim ln0

x _ x

   

Démonstration :

On effectue un changement de variable.

On pose 1

Xx Û 1 x X (x® 0⁺) Û (X® +)

lnx ln 1

 X prop. 2

lnx lnX

 

lim ln

X X

       (d’après le5°)) D’où

0

lim ln

x

 x

   

(9)

Conséquence graphique : La courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet la droite d’équation x0 c’est-à-dire l’axe des ordonnées pour asymptote verticale.

7°) Tableau de valeurs (avec la calculatrice)

x 0,1 0,5 1 2 3 4 5

lnx

(valeurs arrondies au dixième) – 2,3 – 0,7 0 0,7 1,1 1,4 1,6 8°) Représentation graphique

O 1 e

1

i j

9°) Tangente particulière au point d’abscisse 1

   

^{ln ' 1} ¹ ¹

 1

La tangente au point d’abscisse 1 a pour coefficient directeur 1.

10°) Tangente particulière au point d’abscisse e

L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse e s’écrit :

   

ln ' e e



ln e

y x 

 

1 e 1

ye x  e 1 1 y  x

e yx

Cln : ylnx

Cette tangente passe donc par l’origine du repère.

D’où le tracé de la tangente (on joint l’origine du repère au point d’abscisse e).

11°) Symétrie Propriété :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (ou normal, c’est-à-dire dont les deux vecteurs de base ont la même norme), les courbes

C

_exp^et

C

_ln sont symétriques par rapport à la droited’équation yx.

Rappel : Dans un repère normal



^{O, ,}^{i j}^{ }



, la droite d’équation yx est la bissectrice intérieure de l’angle

O

x y (qui est un angle aigu ou obtus).

Démonstration :

Pour tout réela strictement positif, on a : e^ln^aa.

Donc les points M



^a^{; ln}^a



^{et N}



^{ln ;}^{a a}



sont symétriques par rapport à la droite et appartiennent respectivement aux courbes représentatives de la fonction ln et de la fonction exp.

Cette propriété est à relier au fait que les fonctions exp et ln sont réciproques l’une de l’autre.

Il en est de même des courbes des fonctions « carré » et « racine carrée » sur



^{0 ;}^{ }



^.

VIII. Limites de référence

1°) 1^ère limite de référence (croissance comparée) lim ln 0

x

   x 

Démonstration :

On rencontre une F.I. du type « 

 », on va utiliser une méthode par changement de variable.

On pose ylnx Ûxe^y (x® + ∞)Û (y® + ∞)

ln e^y x y x 

1 e^y y



D’après le cours sur la fonction exponentielle

 

^{2 , on a :} ^lim ^e^y

y^{  } y    donc ln

lim 0

x

   x  .

(10)

Interprétation graphique :

La limite ln

lim 0

x

   x  permet de dire que la courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une branche parabolique de direction (Ox) en +.

2°) 2^e limite de référence

 

0

lim ln 0

x

x x

  

Démonstration :

On rencontre une F.I. du type « 0  ».

1^ère méthode :

On va utiliser une méthode par changement de variable.

On pose 1

Xx Û 1 xX (x® 0⁺) Û (X® +)

Réécriture : 1 1

ln ln

x x

X X



 

1 lnX

 X  lnX

  X

lim ln 0

X

   X

 

 

 

D’où

 

0

lim ln 0

x _ x x

 

2^e méthode :

On pose ylnx Û xe^y (x® 0⁺) Û (y® –)

ln e^y x xy

D’après le cours sur la fonction exponentielle, on a : _y^lim_{  }

 

^y^e^y ^⁰^donc

^ ^

0

lim ln 0

x

x x

   .

3°) 3^e limite de référence : utilisation du nombre dérivé de la fonction ln en 1

 

0

limln 1 1

h

 h

 

On rencontre une FI du type « 0 0 ».

Démonstration :

On procède par une méthode par taux de variation.

On considère la fonctionf :x lnx.

On effectue une réécriture.

   

ln 1 h f 1 h

h h

 



Or ln1 0 .

On l’introduit de force pour faire apparaître un taux de variation.

     

ln 1 h f 1 h f 1

h h

  



Or comme la fonctionf est dérivable sur



^{0 ;} 



, par définition du nombre dérivé def en 1, on a :

     

0

1 1

lim ' 1

h

f h f

h f



   .

Or ^{ }^x



^{0 ;}^{ }



f'

 

x ¹

x donc ^f^{' 1}

 

^¹

Conclusion :

 

0

limln 1 1

h

 h

 

On peut aussi retenir

0

lim ln 1 1

h

x

 x 

 .

IX. Fonctions associées à la fonction logarithme népérien

On considère une fonctionu : I® (fonction définie sur I à valeurs dans) dérivable telle que I

 x ^{u x}

 

^⁰ (on dit queu est à valeurs strictement positives).

On s’intéresse à la fonctionf : I® . x^ln^_^{u x}

 

^_

(11)

1°) Propriété (découle de la formule de dérivée d’une composée)

u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que  x I u x

 

0. La fonctionf :x^ln^_^{u x}

 

^_ est définie et dérivable sur I et x I

   

 

' u x'

f x

u x . On retient :

 

^ln^u ^' ^u^'

 u . On pourra noter que f lnu. Démonstration :

Rappel de la formule de dérivation d’une composée.

u etv sont deux fonctions définies et dérivables sur des intervalles.

On notef la fonction définie par ^{f x}

 

^{ }^{v u x}_

 

^_^.

On suppose quef est définie sur un intervalle I.

La fonctionf est alors dérivable sur I et la dérivée def est donnée par ^f^'

 

^x ^^{u x}^'

 

_{ }^{v u x}^'^

 

^_^.

On prend ici pourv la fonction ln.

On sait quev est dérivable sur^*_ et que x ^*_ v x'

 

¹

x.

On en déduit que x I ^f^'

 

^x ^^{u x}^'

   

^^{u x}¹ ^soit ^{ }^x ^I

   

 

' u x'

f x

u x iu.

2°) Vocabulaire

Le quotient u'

u est appelé ladérivée logarithmique deu (vieux nom, que l’on utilisait beaucoup autrefois en sciences physiques avec les calculs d’erreurs en particulier).

On n’oubliera pas queu désigne une fonction dans cette formule.

3°) Exemple f :x^ln



^x²^{ }^x ¹



 x x²  x 1 0 (en effet, x² x 1 est un polynôme du second degré dont le discriminant est égal à – 3 donc strictement négatif, et par conséquent, toujours du signe de x² c’est-à-dire strictement positif) doncf est définie sur.

D’après la règle,f est dérivable sur et x 

 

2

2 1

' 1

f x x x x

 

  .

4°) Cas particulier

a etb sont deux réels tels quea0.

On notef la fonction définie par ^{f x}

 

^^ln



^{ax b}^



^.

(^{f x}

 

existe si et seulement siax b 0)

La fonctionf est dérivable sur son intervalle de définition et x

D

_f ^f^'

 

^x ^a

ax b

 .

On retiendra ^ln



^{ax b}



^' ^a

   ax b

   .

5°) Extension à un cas plus général

u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que x I ^{u x}

 

^⁰^.

f :xln u x

 

f est définie sur I.

Commeu est dérivable sur I,u est continue sur I, doncu est de signe constant sur I.

1^er cas : x I ^{u x}

 

^⁰

I

 x f x

 

 lnu x

 

 I

 x

   

 

' u x'

f x

u x 2^e cas : x I ^{u x}

 

^⁰

I

 x ^{f x}

 

^^ln^_^^{u x}

 

^_

On pose v x

 

 u x

 

. ln

f ^v

On applique le 1°).

(12)

I

 x

   

 

' v x'

f x

v x

   

' u x u x





   

' u x

u x



On remarque que, dans les deux cas, on obtient la même expression sans valeur absolue.

I

 x

   

 

' u x'

f x

u x

On retient :



^ln^ ^'^u



^^u_u^'^ou



^ln ^u



^'^^u_u^'^.

6°) Cas particuliers

·f :xln x

* f 

D

^f^'

 

^x ¹

x

(Faute à ne pas faire : ^f^'

 

^x ¹

 x )

·f :xln axb (oùa etb sont deux réels tels quea0)

f \

b a

 

  

 

D



fest dérivable sur \ b a

 

 

 

 .

\ b

x a

 

   

 

 ^f^'

 

^x ^a

ax b

 

·Attention

S’il n’y a pas de ln, on a un problème pour la dérivée de la fonctionf :x x²1 .

2 1

x  si ^{x   }



^{; 1}

 

^^{1 ;}^{ }



 

f x 

2 1

x  si^x^{ }



^{1 ; 1}



On se place sur



^{  }^{; 1}



^,



^^{1 ; 1}



^et



¹^;^{ }



^.

On étudie ensuite directement la dérivabilité en 1 et en – 1.

X. Fonctions logarithmes de base quelconque 1°) Définition

a est un réel strictement positif tel quea1.

On appellefonction logarithme de base ala fonction log_a:x ln ln x a.

On a donc : ln

log^a ln x x

 a. 2°) Cas particuliers

ae ln e1 x *_

  _e ln

log ln

ln e x x x

Lafonction logarithme de base e est la fonction logarithme népérien.

Le nombre de Néper e s’appelle d’ailleurs aussi la base du logarithme népérien.

a10 x *_

  ₁₀ ln

log ln10

x x

log10x est noté log x.

(logarithme décimal de x) log ln

ln 10 x x

Sur calculatrice, on utilise la touche de calcul log . Application en chimie :

Le potentiel hydrogène d’une solution aqueuse est défini par pH log H O ₃ ^, la concentration en ions hydronium devant être exprimée enmol.L^¹.

(13)

3°) Propriété

 Énoncé :

On a :^loga

 

a ¹.

Plus généralement, n ^log^a

 

^aⁿ ^ⁿ^.

 Démonstration :

 

^ln

log 1

a ln a a

 a

 

^ln ^ln

log ln

n n a

a n a

a  a 

lna n

 Cas particulier du logarithme décimal :

On retiendra que log10 1 et que n ^{log 10}

 

ⁿ ^ⁿ^.

3°) Propriétés algébriques

x et y sont deux réels strictement positifs.

n

 

log_a xy log_axlog_ay log_a1 log_ax

x 

log_ax log_a log_a

x y

y 

 

log_a xⁿ nlog_ax

log 1log

a x2 ax

Exemple de démonstration :

 

ln

 

ln ln ln ln

log log log

ln ln ln ln

a a a

xy x y x y

xy x y

a a a a

      

N.B. : On peut remplacera par n’importe quel nombre strictement positif différent de 1.

4°) Exercice

Résoudre l’équationlog ₂x3 (1).

Conditions d’existence : On doit avoir x0. On résout l’équation (1) dans l’intervalle



^{0 ;}^{ }



^.

Résolution :

(1) Û ln ln 2 3

x Ûlnx3ln 2 Ûlnxln 2³ Ûx8

Donc l’ensemble des solutions de (1) est^S^

 

⁸ ^.

5°) Sens de variation

 Sia1, la fonction log_a est strictement croissante sur ^*_.

 Si 0 a 1, la fonction log_a est strictement décroissante sur ^*_. 6°) Une application du logarithme décimal

Le but de ce paragraphe est de trouver une formule donnant le nombre de chiffres d’un entier naturel.

Les nombres entiers naturels à 1 chiffre sont compris entre10 (large) et⁰ 10 (strict).¹ Les nombres entiers naturels à 2 chiffres sont compris entre10¹ (large) et10² (strict).

….

Les nombres entiers naturels àn chiffres sont compris entre10^n¹ (large) et 10ⁿ (strict).

Par exemple, 10³2317 10 ⁴.

On considère un entier naturel non nul A àn chiffres (n1).

On a :10ⁿ^¹A10ⁿ (1).

(1) donne ^{log 10}



ⁿ^¹



^^{log A}^^log10ⁿ car la fonction log est strictement croissante sur^*_. On a donc :n–1log An (2).

(2) permet de dire que n 1 E log A

 

d’oùnE log A

 

1.

On retiendra le résultat suivant dont il demandé de retenir la démonstration :

Le nombre de chiffres de l’écriture en base 10 dixd’un entier naturel A non nul est égal à^{E log A}

 

^¹^.

(14)

Exemples d’utilisation :



^A²⁵⁴⁰ log A40 log 25

55, log A 9176

Le nombre de chiffres de A est égal à 55 1 56  . On aurait pu obtenir ce résultat avec la calculatrice.

En effet, avec la calculatrice, on obtient l’affichage suivant pour le calcul de A :8.271806126 10 ⁵⁵. Il suffit d’ajouter 1 pour trouver qu’il y a 56 chiffres.



B2²⁰¹³ log B2013 log 2

605,9 3

log B 73 

Le nombre de chiffres de B est égal à 605 1 606  .

Pour B, il n’est pas possible d’utiliser la calculatrice pour trouver le nombre de chiffres de l’écriture en base 10 de B. Celle-ci est en dépassement de capacité.

Exercice :

1°) Quel est le nombre de chiffres (0 ou 1) noté^

 

ⁿ du développement d’un entiern1 en base 2 ? 2°) Exemple : Calculer



²⁰¹⁹



.

XI. Puissances réelles 1°) Définition

Pour touta0 et tout réel b, on notea^b le réele^b^ln^a. On retiendra que :a^be^b^ln^a.

2°) Exemples

2^

Par définition,2^e^^{ln 2}.

Avec la calculatrice en utilisant directement la touche d’exposant, on trouve : 2^8,8249...



 

^²^

La formule n’est pas applicable car 2 0 ;

 

^² ^ n’existe pas.

 La définition permet de définir en particulier des exposants fractionnaires (par exemple,

1

x3 ou

5

x7 pour 0

x ). Cela sera revu dans le cours sur les racinesn-ièmes.

En particulier, pour x0, on a :

1

x2 x.

3°) Cas des exposants entiers, lien avec la définition de 4^e n est un entier relatif quelconque.

ln ln

eⁿ ^ae ^aⁿaⁿ n

Pour un entier relatif, la définition du 1°) coïncide avec la définition connue.

4°) Signe d’une puissance réelle

 

^{a b}^, ^*

   a^b0

5°) Logarithme népérien d’une puissance

 

^{a b}^, ^*

   ^ln

 

^a^b ^^{ln e}

 

^b^ln^a ^^b^ln^a

6°) Cas particuliers

· ae e^xln ee^x

· a1

ln1 0

1^xe^x e 1

(15)

7°) Propriétés algébriques

a et b sont deux réels strictement positifs.

x et y sont deux réels strictement quelconques.

x y x y

a a a ^

 

^a^x ^y^^a^xy

 

^ab ^x^^{a b}^x ^x

x x

x

a a

b b

  

  

1 _x

x a

a

 

x x y y

a a

a

 

Démonstration de la 1^ère propriété :

ln ln

e e

x y x a y a

a a  

ln ln

y ex y

x a a

a a  ^

 ln

x y ex y a

a a  ^

x

x y y

a a a^

8°) Lien avec le logarithme de base a x *

y

  

 





 

*\ 1 a_

log_axyÛ ln ln

x y a Û ylnalnx Û^ln^x^^ln

 

^a^y

Û xa^y

log_axy Ûxa^y

(xlnyÛye^x)

Les fonctions log_a etxa^x sont réciproques l’une de l’autre.

Cas particulier 10 a

log

y x Ûx10^y

Application en chimie :

Le potentiel hydrogène d’une solution aqueuse est défini par pH log H O ₃ ^, la concentration en ions hydronium devant être exprimée enmol.L^¹.

On a donc pHlog H O ₃ ^. Par suite,H O₃ ^  10^^pH.