L.S.Marsa Elriadh Fonction logarithme népérien
M : Zribi
4 èmeSc Fiche
1
El Amine
A) Définition et premières conséquences.
Définition de la fonction ln
On appelle fonction logarithme népérien, notée ln, la fonction qui à tout réel x strictement positif associe le réel
x
1
lnx= 1 tdt
Conséquences
● ln 1 = 0 et ln e = 1.
B) Propriétés algébriques.
Pour tous réels strictement positifs a et b, et tout entier relatif n
Remarque : la première propriété (relation fonctionnelle caractéristique) s’étend à un nombre quelconque de réels strictement positifs.
Si a1, a2, …, an sont des réels strictement positifs alors ln(a × a × ...× a ) = lna + lna + ...+ lna1 2 n 1 2 n C) Variations et courbe de la fonction x lnx.
1- La fonction ln est définie sur ]0 ;[
2-
x 0
lim
ln x etlim
x ln x
3- La fonction ln est dérivable sur ]0 ;[ et ln’ (x) = 1
x Or 1 0
x si x 0 donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;[.
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El Amine 5- T.D.V
6- Courbe représentative ( C)
L’axe des ordonnées est asymptote à la courbe ( C ).
Equation de la tangente en A(1; 0) : y = x - 1.
Equation de la tangente en B(e; 1) : y = 1 x e .
D) Equations et inéquations.
La fonction ln étant strictement croissante sur
0;
:1- pour tous réels a 0 et b0 :
ln a ln b a b ln a ln b a b 2- signe du réel ln x
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El Amine
0 x 1 0
x 1 0
x 1 0
lnx
lnx lnx
E) Des limites à connaître.
x
ln x 0
lim
x lim
x 0 xlnx 0 -lim
x 0 ln(1+x)x 1
F) Fonction composée ln O u.
1- Dérivée de ln O u
Théorème : si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction composée ln O u est dérivable sur I et :
(ln(u))' u' u
2- Primitive de u'
u
Théorème : si u est une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle I, alors une primitive de u'
u sur I est :
ln O u si u est strictement positive sur I ; ln O - u si u est strictement négative sur I.
G) Croissances comparées des fonctions logarithme et puissance.
Théorème
« En et en 0 toute puissance de x l’emporte sur ln x » Pour tout entier n strictement positif,
lnxn
lim x
x 0 et lim x lnx = 0n
x0
