Universit´e Paris-Dauphine DUGEAD 1`ere ann´ee - UV 13
DFR Gestion et ´Economie Appliqu´ee Ann´ee 2005-2006
Corrig´ e du devoir test n
◦1 : 2 d´ ecembre 2005
Exercice 1. Soitf : [a, b]→Rune fonction C1 et convexe sur [a, b] o`uaetbsont deux r´eels strictement positifs v´erifiant a < b.
1. La fonctionf de classeC1 est convexe sur [a, b] si et seulement si
∀x∈[a, b], ∀y∈[a, b], f(x)≥f0(y)(x−y) +f(y). (1) 2. En rempla¸cant dans l’in´egalit´e (1), x parQ ety parQ0 et en divisant par Q(on peut
car Q≥a >0), on obtient f(Q)
Q ≥f0(Q0)
1− Q0 Q
+f(Q0)
Q . (2)
En soustrayant de chaque cˆot´ef(Q0)/Q0et en mettant en facteur (1−Q0/Q), on obtient la relation d´esir´ee :
∀(Q, Q0)∈[a, b]2, f(Q)
Q −f(Q0) Q0 ≥
1− Q
Q0 f0(Q0)−f(Q0) Q0
.
3. (a) Pour chaque production Q ∈ [a, b], le coˆut moyen de fabrication, not´e fM(Q), et le coˆut marginal de fabrication, not´efm(Q), sont d´efinis par
fM(Q) = f(Q)
Q et fm(Q) =f0(Q), ceci car Q >0.
(b) En rempla¸cant dans la relation (2) la quantit´e Q0 parQ?, on obtient
∀Q∈[a, b], fM(Q)−fM(Q?)≥
1−Q? Q
(fm(Q?)−fM(Q?)) = 0.
Donc pour chaque productionQ, on afM(Q)≥fM(Q?), i.e. la fonctionfM atteint son minimum sur [a, b] enQ?.
Exercice 2.
1. L’ensemble A est l’intersection de la boule ouverte de centre (3,−2) et de rayon 2, du demi-plan ferm´e d’´equationx+y−2≤0 et du demi-plan ouvert d’´equationx+y+2>0.
Etant qu’intersection de convexes, l’ensemble´ Aest convexe. Cet ensemble est born´e car il est inclus dans la boule (ferm´ee) de centre (3,−2) et de rayon 2.
2. L’ensembleBest la r´eunion du demi-plan ferm´e d’´equationy≥0 et du demi-plan ouvert d’´equation x+y+ 2>0. Cet ensemble n’est pas convexe. En effet, prenonsA= (2,0) et B = (0,−2). Ces deux points appartiennent `a B mais (1/2)A+ (1/2)B = (1,−1) n’appartient pas `aB.
1
3. Rappelons que |2x−2| ≥0 quelque soit x∈R, donc
(x, y) ∈ C ⇐⇒ |2x−2|<1⇐⇒ −1<2x−2<1.
Ainsi l’ensemble C est l’intersection du demi-plan ouvert d’´equation 2x−3 < 0 et du demi-plan ouvert d’´equation 2x−1>0. ´Etant qu’intersection de convexes, l’ensemble C est convexe.
Exercice 3. Soit f :x7→xexp{x2+ (1/x)}.
1. Le seul probl`eme r´eside dans le quotient 1/x, donc Df =]− ∞,0[∪]0,+∞[.
2. On consid`ere la fonction h:x7→x2+ (1/x) d´efinie sur Df. (a) Continuit´e.
• La fonction h est une fraction rationnelle, elle est donc C2 sur son domaine de d´efinition et donc sur ]0,+∞[.
• La fonction exp estC2 surR.
• L’ensemble imageh(]0,+∞[) est inclus dans R.
Par le th´eor`eme de composition, la fonction exp◦h est C2 sur ]0,+∞[. Comme produit de l’identit´e avec la fonction exp◦h, la fonction f estC2 sur ]0,+∞[.
(b) Limite en +∞. On a limx→+∞h(x) = +∞ donc, comme limy→+∞exp(y) = +∞, on obtient par composition que limx→+∞exp◦h(x) = +∞. Puis en tant que pro- duit de limites, on conclut que limx→+∞f(x) = +∞.
(c) Limite en 0+. On a limx→0+h(x) = +∞ donc, comme limy→+∞exp(y) = +∞, on obtient par composition que limx→0+exp◦h(x) = +∞. Puis par le th´eor`eme des puissances compar´ees, on conclut que limx→0+f(x) = +∞.
3. Soit g le polynˆome d´efini par x 7→ g(x) = x+ 2x3 −1. En tant que fonction poly- nomiale, g est d´erivable et g0(x) = 1 + 6x2 > 0 pour chaque x ∈ [0,+∞[. Ainsi la fonctiong eststrictement croissantesur [0,+∞[ et continue. Commeg(0) =−1 et limx→+∞g(x) = +∞, la fonction gr´ealise donc une bijection de [0,+∞[ sur l’ensemble image g([0,+∞[) = [−1,+∞[. Ainsi il existe un unique ant´ec´edent a ∈ [0,+∞[ de 0.
Commeg(0) =−1 etg(1) = 2, on peut d´eduire du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires (rappelons queg est continue sur [0,+∞[) que a∈]0,1[.
4. On a vu pr´ec´edemment quef est d´erivable sur ]0,+∞[. On peut donc calculer
∀x∈]0,+∞[, f0(x) = g(x)
x exp{x2+ (1/x)}.
Le signe de f0(x) co¨ıncide avec celui de g(x) pour x ∈]0,+∞[. Donc la fonction f est d´ecroissante sur ]0, a] et croissante sur [a,+∞[.
5. Puisque f est de classe C2 sur ]0,+∞[, la fonction f admet un d´eveloppement limit´e en 1 `a l’ordre 2, i.e. il existe une fonctionεd´efinie sur un voisinageV de 0, continue et nulle en 0, telle que
∀h∈V, f(1 +h) =f(1) +f0(1)h+1
2f(2)(1)h2+h2ε(h).
Commef(1) =e2,f0(1) = 2e2 etf(2)(1) = 7e2, on obtient
∀h∈V, f(1 +h) =e2+ 2e2h+7
2e2h2+h2ε(h).
2
6. On note ˆf1 l’approximation affine de f en 1, i.e. ˆf1(x) =f(1) +f0(1)x. Rappelons que l’´equation cart´esienne de la tangente `a la courbe repr´esentative de f au voisinage du point (1, f(1)) est donn´ee par y= ˆf1(x). D’apr`es le d´eveloppement limit´e def, on a
∀h∈V, f(1 +h)−fˆ1(h) =h2 7
2e2+ε(h)
.
Comme limh→0(7/2)e2+ε(h) = (7/2)e2 >0, au voisinage de 0 on a toujoursf(1 +h)− fˆ1(h)≥0, donc la courbe repr´esentative def est au dessus de sa tangente au voisinage du point (1, f(1)).
7. On calcule
∀x∈]0,+∞[, f(2)(x) = 4x6+ 6x4−4x3+ 1
x3 exp{x2+ (1/x)}.
Pour x≥1, on a x6 ≥x3, donc
∀x≥1, 4x6+ 6x4−4x3+ 1≥0 et on en d´eduit que la fonction f est convexe sur [1,+∞[.
3
