Donc la fonction ln est une fonction strictement croissante sur ] 0

Terminale STG Chapitre 7 : annexes. Page n ° 1 2007 2008

2 Sens de variation, signe et courbe représentative.

La fonction ln est définie et dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et on a f ' ( x ) = 1 x . Or pour tout x de ] 0 ; + ∞ [ on a 1

x > 0 donc f ' ( x ) > 0 .

Donc la fonction ln est une fonction strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [.

Autrement dit ln ( a ) et ln ( b ) sont rangés dans le même ordre que a et b.

Notation : a < b ⇔ ln ( a ) < ln ( b ).

Tableau de variation :

x 0 +∞

signe de f ′ +

f

Courbe représentative

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On sait que a < b ⇔ ln ( a ) < ln ( b ).

Donc en donnant à b la valeur 1, on obtient : a < 1 ⇔ ln ( a ) < ln ( 1 ) ⇔ ln ( a ) < 0 Et en donnant à a la valeur 1, on déduit que : 1 < b ⇔ ln ( 1 ) < ln ( b ) ⇔ 0 < ln ( b ).

D'où le tableau de signes de la fonction ln

x 0 1 +∞

ln ( x ) − 0 +

Exemple 1 : résolvons l'équation ln ( 3 − 2x ) = 0.

ln ( 3 − 2x ) = 0 ⇔ 3 − 2x > 0 et ln ( 3 − 2x ) = ln ( 1 ) ⇔ 3 > 2x et 3 − 2x = 1 ⇔ 3

2 > x et − 2x = 1 − 3

⇔ x < 3

2 et x = 1. Donc l'ensemble des solutions est { 1 }.

Exemple 2 : résolvons l'inéquation ln ( x + 2 ) > 0.

ln ( x + 2 ) > 0 ⇔ x + 2 > 0 et ln ( x + 2 ) > ln ( 1 ) ⇔ x > - 2 et x + 2 > 1 ⇔ x > - 2 et x > - 1.

Donc l'ensemble des solutions est ] - 1 ; + ∞ [.

3 Propriétés de la fonction logarithme népérien.

Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = ln ( ax ) − ln ( x ) où a est un nombre réel strictement positif.

Alors f est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et f ' ( x ) = a ax − 1

x = 1 x − 1

x = 0 avec x > 0.

Donc la fonction f est une fonction constante sur ] 0 ; + ∞ [.

Et f ( 1 ) = ln ( a ) − ln ( 1 ) = ln ( a ).

Or f est une fonction constante sur ] 0 ; + ∞ [ donc pour x > 0 on a f ( x ) = f ( 1 ) ⇔ ln ( ax ) − ln ( x ) = ln ( a )

⇔ ln ( ax ) = ln ( a ) + ln ( x ).

En donnant à x la valeur b, on obtient ln ( ab ) = ln ( a ) + ln ( b ).

Supposons que a = 1

b alors cette égalité s'écrit ln ( 1

b × b ) = ln ( 1

b ) + ln ( b ) ⇔ ln ( 1 ) = ln ( 1

b ) + ln ( b ) ⇔ 0 = ln ( 1

b ) + ln ( b ) ⇔ ln ( 1

b ) = − ln ( b ).

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs, alors ln ( a

b ) = ln ( a × 1

b ) = ln ( a ) + ln ( 1

b ) = ln ( a ) − ln ( b ).

ln ( a⁰ ) = ln ( 1 ) = 0 = 0 × ln ( a ) ln ( a¹ ) = ln ( a ) = 1 × ln ( a )

ln ( a² ) = ln ( a × a ) = ln ( a ) + ln ( a ) = 2 × ln ( a )

ln ( a³ ) = ln ( a × a² ) = ln ( a ) + ln ( a² ) = ln ( a ) + 2 ln ( a ) = 3 ln ( a ).

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Donc de proche en proche, pour tout nombre a réel strictement positif, et pour tout nombre n relatif, on a ln ( aⁿ ) = n ln ( a ).

ln ( a ) = ln ( ( a )² ) = 2 ln ( a ) ⇔ ln ( a ) = 1

2 ln ( a ).

4 Dérivée de la fonction f ( x ) = ln ( ax + b ).

f ( x ) = ln ( 3x − 5 ). Déterminons Df .

D_f = { x ∈ / 3x − 5 > 0 } = { x ∈ / 3x > 5 } = { x ∈ / x > 5

3 } = ] 5

3 ; + ∞ [.

Etudions le sens de variation de f sur D_f. f est dérivable sur D_f et on a f ' ( x ) =

5 x 3

3− ^.

Or sur D_f : 3x − 5 > 0 et 3 > 0 donc f ' ( x ) > 0.

Donc f est une fonction strictement croissante sur D_f. Puis dressons son tableau de variation sur D_f.

x 5

3 +∞

signe de f ′ +

f

5 Equation f ( x ) = k.

f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [ -2 ; 2 ].

f ( - 2 ) = 21 et f ( 2 ) = - 11.

Or 10 ∈ [ - 11 ; 21 ].

D'après le théorème du cours, l'équation f ( x ) = 10 admet une unique solution dans l'intervalle [ - 2 ; 2 ].

Autre façon d'apprendre le cours :

x a α b

signe de f ′ +

f ( b )

f f ( α )

f ( a )

x a α b

signe de f ′ −

f ( a )

f f ( α )

f ( b )