Cours

Séquence 3 : Fonctions de référence

I) Fonction carré

Définition :

La fonction carré est la fonctionf définie surRpar f(x) =x²

Exemple 1 : Déterminer f(3).

f(3) = 3²= 9

Exemple 2 : Résoudre algébriquementf(x)=3.

f(x) = 3 x²=3 x= −p

3 oux=p 3

Définitions :

• La représentation graphique de la fonction carré s’appelle une parabole.

• L’origine du repère, est le sommet de la parabole.

Propriétés :

• La fonction carré est paire (f(x)=f(−x)).

• La représentation graphique de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Propriétés :

• Sur ]− ∞; 0] , la fonction carré est strictement décroissante.

• Sur [0;+∞[ , la fonction carré est strictement croissante.

x Variation

de f

−∞ 0 +∞

0 0

Exemple :

Comparer les nombres : a. (−3)²et (−2)² b. 4²et 6² c. (−8)²et 10² a. Sur ]− ∞; 0] , la fonction carré est strictement décroissante. Donc : (−3)²> (−2)²

b. Sur [0;+∞[ , la fonction carré est strictement croissante. Donc : 4²< 6²

c. En utilisant la parité, on a que (−8)²= 8². Or sur [0;+∞[ , la fonction carré est strictement croissante.

Donc 8²<10². On peut en déduire que (−8)²<10².

II) Fonctions polynômes du second degré

1) Première définition

Définitions :

• On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie surRpar une expression algébrique de la formef(x) =ax²+bx+c oùa,betcsont des réels aveca6=0.

• On dit quef est donné sous forme développée.

• Les réelsa,betcsont appelés coefficients de la fonction polynôme.

Remarque :

Une fonction polynôme de degré 2 s’appelle également fonction trinôme du second degré.

Exemple :

f(x) = 8x²+7x−10 La fonction f est une fonction polynôme du second degré oùa= 8 ,b= 7 etc =−10 g(x) = 6x+7 La fonctiong n’est pas une fonction polynôme du second degré mais une fonction affine.

2) Forme canonique Propriété :

Toute fonction polynômef de degré 2 de forme développéeax²+bx+cadmet une écriture de la forme a(x−α)²+β, oùα= − b

2a etβ=f(α).

Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.

Exemple :

Soitf définie surRparf(x) = 4x²−24x+41 . Déterminer la forme canonique def.

α=−b 2a = 24

2×4=24

8 =3 β=f(α)=f(3)=4×3²−24×3+41

=36−72+41

=5 La forme canonique de f est donc :f(x)=4(x−3)²+5

3) Variations et représentation graphique

Propriété admise :

Soitf une fonction polynôme de degré 2 définie surRpar f(x) =ax²+bx+c, de forme canonique f(x) =a(x−α)²+β.

• Dans un repère du plan, la représentation graphique de la fonction f est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées (α;β).

• Cette parabole admet un axe de symétrie : la droite d’équationx=α.

Propriété admise :

Soitf une fonction polynôme de degré 2 définie surRpar f(x) =ax²+bx+c, de forme canonique f(x) =a(x−α)²+β.

• Siaest positif alors :

f est strictement décroissante sur ]−∞;α] et strictement croissante sur [α;+∞[ . f admet un minimum égal àβatteint enx=α.

• Siaest négatif alors :

f est strictement croissante sur ]−∞;α] et strictement décroissante sur [α;+∞[ . f admet un maximum égal àβatteint enx=α.

Illustration des propriétés :

a< 0 a> 0

x

Variation de f

−∞ α= −b

2a +∞

f(α)=β f(α)=β

x

Variation de f

−∞ α= −b

2a +∞

f(α)=β f(α)=β

La parabole est tournée "vers le bas" La parabole est tournée "vers le haut"

4) Équations du second degré

Définitions :

• Une équation du second degré à coefficients réels est une équation de la formeax²+bx+c=0 avec a, b et c trois réels tels quea6=0.

• Une solution de cette équation est appelée une racine du trinômeax²+bx+c.

Définition :

Le nombreb²−4acest appelé le discriminant du trinômeax²+bx+c. Il est noté∆.

Exemple :

Soitf une fonction définie surRpar f(x)=9x²+8x−1. Déterminer le discriminant def.

Ici,a= 9,b= 8 etc=−1. ∆=b²−4ac=(8)²−4×9×(−1)=64+36=100. Le discriminant est égal à 100.

Propriété :

Soit∆le discriminant du trinômeax²+bx+c.

Si∆>0, alors l’équationax²+bx+c=0 admet deux solutions réelles distinctes : x₁=−b−p

∆

2a etx₂=−b+p

∆ 2a

Propriété :

Si∆=0, alors l’équationax²+bx+c=0 admet une unique solution réelle :x₀=−b 2a

Propriété :

Si∆<0, alors l’équationax²+bx+c=0 n’admet pas de solution réelle.

Exemple :

Résoudre dansRl’équation 3x²−3x−6 = 0.

Étape 1 : Détermination du discriminant :

∆=b²−4ac=(−3)²−4×3×(−6)=9+72=81 > 0. ∆>0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes.

Étape 2 : Résolution de l’équation : x₁= −b−p

∆

2a =3−p 81

2×3 = 3−9 6 = −6

6 =−1 x₂= −b+p

∆

2a = 3+p 81

2×3 = 3+9 6 = 12

6 = 3 Les solutions de l’équation sont−1 et 3.

5) Forme factorisée

Propriété :

Soitf une fonction polynôme de degré 2 définie surRpar f(x) =ax²+bx+c.

• Si∆>0 alors pour tout nombre réelx, f(x)=a(x−x₁)(x−x₂) oùx₁etx₂sont les racines def.

• Si∆=0 alors pour tout nombre réelx, f(x)=a(x−x₀)²oùx₀est la racine double def. On dit quef est donnée sous forme factorisée.

Exemple :

Soitf le polynôme du second degré définie surRpar f(x)=3x²−3x−6.

D’après un exemple précédent, les racines de ce polynôme sont−1 et 3.

On peut donc factoriser le polynômef : f(x) =a(x−x₁)(x−x₂)

f(x) = 3(x−(−1))(x−3) f(x) = 3(x+1)(x−3)

6) Signe d’un polynôme du second degré

∆>0

x Signe de

f(x)

−∞ x₁ x₂ +∞

signe dea 0 signe de−a 0 signe dea

∆=0

x Signe de

f(x)

−∞ x₀ +∞

signe dea 0 signe dea

∆<0

x Signe de

f(x)

−∞ +∞

signe dea

Exemple : Soit f le polynôme du second degré définie surRpar f(x)=5(x−3)(x+7). Résoudref(x)<0 Les racines de ce polynôme sont 3 et−7. Icia= 5 > 0.

x Signe de

f(x)

−∞ −7 3 +∞

+ 0 − 0 +

S = ]-7 ; 3[

III) Fonction racine carrée

Rappels :

1) La racine carrée d’un nombre réel positifa, notéep

a, est l’unique réel positif dont le carré vauta.

2) Soientaetbdeux réels positifs.

pab=p a×p

b et sib6=0 ,

ra b =

pa pb .

Définition :

La fonction racine carrée est la fonctionf définie sur [0;+∞[ parf(x) =p x.

Courbe représentative de la fonction racine carrée :

Propriété :

Sur [0;+∞[ , la fonction carré est strictement croissante.

x Variation

de f

0 +∞

0 0

Exemple :

Comparer les nombres : a.p

3 etp

5 b.p

4.5 etp 7.5 a. Sur [0;+∞[ , la fonction racine carrée est strictement croissante. Donc :p

3 <p 5 b.Sur [0;+∞[ , la fonction racine carrée est strictement croissante. Donc :p

4.5 <p 7.5

IV) Fonction sinus

Définition :

La fonction sinus, notée sin, est la fonction définie surRparx7→si n(x).

Courbe représentative de la fonction sinus surR:

Propriété :

Pour tout réelx,si n(x)=si n(x+2π) et plus généralementsi n(x)=si n(x+2kπ) aveckentier relatif . On dit que la fonction sinus est périodique de période 2π.

Propriété :

Pour tout réelx,si n(x)= −si n(x). On dit que la fonction sinus est impaire.

Remarque :

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine.

Propriété :

La fonction sinus est croissante surh 0;π

2 i

et décroissante sur l’intervallehπ 2;πi

x Variation

de si n

0 π

2 π

−1

−1

1 1

−1

−1

V) Fonction cosinus

Définition :

La fonction cosinus, notée cos, est la fonction définie surRparx7→cos(x).

Courbe représentative de la fonction cosinus surR:

Propriété :

Pour tout réelx,cos(x)=cos(x+2π) et plus généralementcos(x)=cos(x+2kπ) aveckentier relatif . On dit que la fonction cosinus est périodique de période 2π.

Propriété :

Pour tout réelx,cos(x)=cos(−x). On dit que la fonction cosinus est paire.

Remarque :

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Propriété :

La fonction cosinus est décroissante sur [0;π]

x Variation

de cos

0 π

1 1

−1

−1

Rappels :

Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus :

Cercle trigonométrique :