[b Fonction racine carrée c\ Table des Matières

(1)

[b Fonction racine carrée c\

Table des Matières

I. Définition et propriétés 1

II. Variation 1

III.Représentation graphique 2

IV. Table de valeurs 2

IV. A.Représentation graphique de la fonction racine carrée . . . . 2

V. Position relative avec d’autres courbes 3

Stéphane Mirbel

d

Lycée Gay Lussac

d

Limoges dmath-adore.frd 0/

3

(2)

[b Fonction racine carrée c\

I. Définition et propriétés

Pour tout nombre positif x, il existe un unique nombre positif y tel que y

²

= x, on note y = p x.

∀ x ∈ [0; +∞ [, ∃ !y ∈ [0; +∞ [ tel que y

²

= x. On appelle fonction racine carrée f , la fonction qui au nombre réel positif x associe le nombre réel p x.

f : R

⁺

= [0 ; + ∞ [ → R

x 7→ y = f (x) = p x g Définition

• ∀ x ∈ [0; +∞ [, ¡ p x ¢

2

= x ;

• ∀ x ∈ ] − ∞ ; +∞ [, p

x

²

= | x | .

• Pour tout réel x positif, p x > 0.

• L’équation p x = 0 admet une unique solution x = 0.

g Propriétés

• Pour deux nombres réels positifs a et b , a 6= 0 et b 6= 0, on a p

a + b 6= p a + p

b .

• Pour tout nombre a et b positif, p

ab = p a × p

b et pour b non nul, r a

b = p a p b . g Propriétés

II. Variation

La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; + ∞ [.

x p x

0 +∞

00 g Théorème

tDémonstration 1

1. Soient a et b deux nombres réels positifs. Montrer que a − b =

³ p a − p

b ´ ³ p a + p

b ´ 2. Si a < b déterminer le signe de p a − p

b.

3. Conclure.

Stéphane Mirbel

d

Lycée Gay Lussac

d

Limoges dmath-adore.frd 1/

3

(3)

tExercice 1

Comparer les nombres suivants 1. p

2 et p 3 2. 1

p 5 et 1 p 5

III. Représentation graphique IV. Table de valeurs

Compléter le tableau de valeurs suivant :

x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 4 6,25 9

p x

IV. A. Représentation graphique de la fonction racine carrée Soit un repère orthogonal ³

O ; − → i , − → j ´

du plan.

La courbe de la fonction racine carrée a pour équation y = p x.

Graphe de la fonction racine carrée :

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Stéphane Mirbel

d

Lycée Gay Lussac

d

Limoges dmath-adore.frd 2/

3

(4)

V. Position relative avec d’autres courbes

tExercice 2

Soit un repère orthogonal du plan.

Sur le graphique suivant on a représenté trois courbes associées respectivement aux équations suivantes :

• y = x

²

• y = p x

0 1 2 3 4

1. Suivant les valeurs de x, conjecturer un ordre sur x, x

²

et p x.

2. Démontrer votre conjecture.

tExercice 3

Soit un repère orthogonal du plan.

Les courbes suivantes ont pour équation y = x, y = x

²

et y = p x. Soit un point M de la courbe d’équation y = p x. Quel est l’image M

^′

du point M par la symétrie d’axe la droite y = x ?

0 1 2 3 4