Racine carrée
Ci-dessous, le cours que je dispensais en 3ème (ancien programme).
Partie importante à comprendre :produit et quotient de deux racines et simplification d’écriture.
1 Définition
Définition :a≥0, √
aest le nombre positif dont le carré est égal àa.
On lit : racine carrée dea.
Conséquence : aveca≥0,√ a2=a.
Exemple :√
9 = 3(car32= 9)
√
0 = 0 √
1 = 1
r16 25 = 4
5
√0,25 = 0,5 (car0,52= 0,25)
Remarque : les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée car un nombre au carré ne peut pas être négatif.
En effet :
Sia≥0, alorsa2≥0, car ” + ”×” + ” = ” + ” Sia <0, alorsa2≥0, car ”−”×”−” = ” + ” Exemple :√
−4n’existe pas. Aucun nombre au carré ne vaut −4 Développer :
A= (x+√
11)2=x2+ 2×x×√ 11 +√
112=x2+ 2√
11x+ 11 B= (√
2x−3)2= √ 2x2
−2×√
2x×3 + 32= 2x2−6√ 2x+ 9 C= (√
5−√ 7)(√
5 +√
7) = √ 52
− √ 72
= 5−7 =−2 Factoriser :
D=x2−2√
2x+ 2 =x2−2×x×√
2 + 22= x−√ 22
identité remarquable :(a−b)2=a2−2ab+b2 E= 5x2−7 = (√
5x)2−√
72= √ 5x−√
7 √ 5x+√
7
identité remarquable :(a−b)(a+b) =a2−b2
2 Propriétés
2.1 Signe de √ b
2Propriétés :
Sibest un nombre positif, alors √ b2=b.
Sibest un nombre négatif, alors√
b2=−b.
Attention :−bn’est pas forcément un nombre négatif,−bdésigne l’opposé deb.
Démonstration : Par définition, on a :√
b2=davecd≥0 etd2=b2. Commed2=b2, on a alorsd=boud=−b (voir cours sur les éqations)
1er cas : sibest positif, alors on prendd=bcarddoit être positif. On a donc√ b2=b.
2ème cas : sibest négatif, alors on prendd=−b carddoit être positif. On a donc√
b2=−b.
Exemple :√
32= 3 (√ 32=√
9 = 3) p(−5)2=−(−5) = 5 (p
(−5)2=√ 25 = 5)
√
106=p
(103)2= 103 (p
(103)2=√
1 000 000 = 1000 = 103)
1
2.2 Produit et quotient de deux racines carrées
Propriété :Poura≥0et b≥0: √ a×√
b=√ a×b
√a
√b = ra
b Démonstration :
√ a×√
b2
=√ a×√
b×√ a×√
b= (√ a)2√
b2
=ab.
et √ ab2
=abpuisque ab≥0 On a donc√
a×√ b2
=√ ab2
et on peut conclure car
√a√
b≥0et √
ab≥0.
Démonstration : √
√a b
2
=
√a
√ b ×
√a
√
b = (√ a)2
√b2 = a b.
et comme a
b >0, on a aussi : ra
b 2
= a b.
On peut donc conclure de la même façon qu’à la question précédente.
Exemple :√
9×4 =√ 9×√
4 = 3×2 = 6, or on a bien9×4 = 36et √ 36 = 6.
Exemple : r9
4 =
√9
√4 = 3
2, or on a bien 3 2 ×3
2 =3×3 2×2 =9
4 d’où r9
4 =3 2. Attention : on n’a pas le même type de résultat pour l’addition :√
a+b6=√ a+√
b Contre exemple :√
16 + 9 =√
25 = 5 mais√ 16 +√
9 = 4 + 9 = 13, d’où√
16 + 96=√ 16 +√
9.
3 Applications
3.1 Simplification d’écritures
Méthode : On utilise les propriétés pour écrire les nombres sous la formea√
boùaet b sont des nombres entiers avecb le plus petit possible.
Pour cela, on cherche à décomposer les nombres sous forme de produit avec un carré parfait.
Rappel : Exemple :√
200 =√
100×2 =√
100×√ 2
| {z }
on utilise√ab=√ a×√
b
= √
102×√
2 = 10√ 2
| {z } on utilise√a2=a cara>0
.
Exemple :√
75 + 6√ 3 =√
25×3 + 6√ 3 =√
25×√ 3 + 6√
3 = 5√ 3 + 6√
3 = 11√ 3.
3.2 Equation du type x
2= a
Propriété : L’équationx2=aoùxest l’inconnue possède0,1ou2solutions suivant le signe dea.
a <0 : pas de solution a= 0: l’unique solution est0 a >0 : il y a deux solutions :√
aet −√
a (/ !\ attention à ne pas oublier la solution négative.) Démonstration :
a <0 : un carré ne peut être négatif, l’équation n’a donc pas de solution
a= 0:x2= 0, c’est à dire :x×x= 0, or un produit est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul, doncx= 0.
a >0 :x2=a x2−a= 0 x2−√
a2= 0 (x−√
a)(x+√ a) = 0 un produit est nul si au moins un des facteurs est nul. Doncx−√
a= 0 oux+√ a= 0 doncx=√
aou x=−√ a.
Exemples :
L’équationx2= 0 a une solution :0. L’équationx2=−3n’a pas de solution L’équationx2= 5 a deux solutions :√
5 et−√ 5.
L’équation(x+ 3)2= 25a deux solutions : x+ 3 = 5 et x+ 3 =−5 x= 5−3 et x=−5−3
x= 2 et x=−8
2
