2. La fonction racine carrée est continue dans R

MPSI B Année 2017-2018. Corrigé DM 7 le 01/12/17 29 juin 2019

Problème

1. Il s'agit d'une application immédiate des propositions relatives aux opérations sur les fonctions admettant des limites nies.

2. La fonction racine carrée est continue dans R

. D'après les propriétés de la fonction partie entière, elle est réglée. Les points de discontinuités de f

sont les x tels que r √

x soit entier c'est à dire tous les x de la forme

n

r

avec n ∈ N Pour chaque point de discontinuité, le saut est +1 .

3. La question précédente permet de former les discontinuités de chaque fonction : fonction discontinuités coecient

f

2 8 2

f

1 ( √

2 − 1)

-1

f

1 4 9 -1

On range les points de discontinuité par ordre croissant : 1 < 2 < 4 < 1

( √

2 − 1)

< 8 < 9

Entre deux discontinuités, la fonction g est constante. À chaque traversée d'une dis- continuité, la fonction f

correspondante augmente de 1. On obtient le graphe de g en partant de l'origine et en reportant les sauts en tenant compte du signe et du coecient (voir gure 1).

4. Par dénition d'une partie entière : r √

x − 1 < f

(x) ≤ r √ x

En combinant ces inégalités avec les coecients pour les trois fonctions, il vient : 2(a √

x − 1) − b √ x − c √

x <g(x) < 2a √

x − (b √

x − 1) − (c √ x − 1) (2a − b − c) √

x − 2 <g(x) < (2a − b − c) √ x + 2

Mais 2a − b − c = 0 et g(x) ∈ Z donc − 2 < g(x) < 2 entraîne g(x) ∈ {− 1, 0, 1 }.

1

−1

1 2 4

1 ( √

(2)−1)

8 9

Fig. 1: graphe de g

5. L'ensemble des points de discontinuité de g est l'union des ensembles de points de discontinuité de f

, f

, f

. Ces ensembles sont (d'après la question 2.) :

2p

, p ∈ Z

q

3 − 2 √

2 , q ∈ Z

r

, r ∈ Z

Ils sont deux à deux disjoints car √

2 ,

− √ 2 et √

2 − 1 sont irrationnels. On peut alors appliquer le résultat de linéarité du saut démontré en question 1. On en déduit qu'en un point de discontinuité de f

, le saut est +2 alors qu'en un point de discontinuité de f

ou f

le saut est − 1 .

6. Raisonnons en distinguant plusieurs cas et en exploitant le fait que g ne prend que les valeurs − 1 , 0 et 1 avec des sauts +2 ou − 1 et qu'aucun des trois ensembles de discontinité n'est majoré (il existe donc des discontinuités de chaque type après un réel arbitraire) :

Si g(A) = − 1 , le premier saut de discontinuité est forcément +2 . La fonction prend alors la valeur +1 . Le saut suivant est obligatoirement − 1 et la fonction g prend alors la valeur 0 .

Si g(A) = 0, le premier saut de discontinuité est forcément − 1 . La fonction prend la valeur − 1 et on se retrouve dans le cas précédent.

Si g(A) = +1 , le premier saut de discontinuité est forcément − 1 . La fonction prend la valeur 0 et on se retrouve dans le cas précédent.

La fonction g prend donc les trois valeurs sur tout intervalle [A, + ∞ [ .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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