Problème II.

MPSI B 2009-2010 Corrigé du DM 8 29 juin 2019

Problème I.

1. Il est clair par dénition que fn est strictement croissante dans [0,+∞[. Comme de plus fn(0) = −1 et fn(1) = n−1, le théorème de la valeur intermédiaire entraîne l'existence et l'unicité dean tel quef(an) = 0. On peut précisera1= 1et an∈]0,1[

pourn >0.

2. On remarque quef_n+1(x) =f_n(x) +xⁿ⁺¹ pour tout réelx. En particulier fn+1(an) =aⁿ⁺¹_n >0

Ce qui, avec la stricte croissance def et le théorème de la valeur intermédiaire entraîne an+1< an. La suite(an)n∈N^∗ est décroissante et minorée par 0. Elle converge vers un élément de[0, a2].

3. On a déja démontré en 1. quea2∈]0,1[. À cause de la décroissance, on en déduit 0< an< a2⇒0< aⁿ⁺¹_n < aⁿ⁺¹₂ .

Ceci entraîne, par le théorème d'encadrement, la convergence de(aⁿ⁺¹_n )_n∈N^∗ vers 0.

En utilisant l'expression de la somme des termes d'une suite géométrique, il vient

fn(an) = 1−aⁿ⁺¹_n

1−an −2 = 0⇒1−aⁿ⁺¹_n = 2−2an⇒an= 1

2(1 +aⁿ⁺¹_n ).

On en déduit la convergence de(an)_n∈N^∗ vers ¹₂. 4. Comme

fn(x) = 1−xⁿ⁺¹ 1−x −2 Lorsque0< x <1,(fn(x))_n∈N^∗ converge vers

1

1−x−2 = 2x−1 1−x







>0 six > 1 2

<0 six < 1 2 .

Considérons unεquelconque dans 0,¹₂

tel que 1

2+ε∈ 1

2,1

et 1

2−ε∈

0,1 2

.

Comme(fn(¹₂+ε))n∈N^∗converge vers un nombre strictement positif et(fn(¹₂−ε))n∈N^∗

vers un nombre strictement négatif, il existe un entiern0tel que,

∀n > n₀:f_n(1

2 −ε)<0< f_n(1

2 +ε)⇒ ∀n > n₀: 1

2−ε < a_n< 1 2 +ε Ce qui est exactement la dénition de la convergence vers ¹₂.

5. On a déjà remarqué que

2a_n−1 =aⁿ⁺¹_n Utilisons l'indication de l'énoncé :

(2an)ⁿ⁺¹=e(n+1) ln(2a_n)

avec

(n+ 1) ln(2an)∼(n+ 1)(2an−1)∼(n+ 1)aⁿ⁺¹_n De plus,

0<(n+ 1)aⁿ⁺¹_n <(n+ 1)aⁿ⁺¹₂

aveca₂<1 assure que(n+ 1)aⁿ⁺¹_n →0 et donc que(2a_n)ⁿ⁺¹→1. On en déduitaⁿ⁺¹_n ∼ ₂n+1¹ et nalement, commea_n−¹₂ =¹₂aⁿ⁺¹_n :

an−1 2 ∼ 1

2ⁿ⁺².

Problème II.

1. Il s'agit d'une application immédiate des propositions relatives aux opérations sur les fonctions admettant des limites nies.

2. La fonction racine carrée est continue dans R⁺. D'après les propriétés de la fonction partie entière, elle est réglée. Les points de discontinuités def_rsont lesxtels quer√

x soit entier c'est à dire tous lesxde la forme

n²

r² avecn∈N Pour chaque point de discontinuité, le saut est+1.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M1008C

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3. La question précédente permet de former les discontinuités de chaque fonction : fonction discontinuités coecient

fa 2 8 2

fb

1 (√

2−1)² -1

f_c 1 4 9 -1

On range les points de discontinuité par ordre croissant : 1<2<4< 1

(√

2−1)² <8<9

Entre deux discontinuités, la fonction g est constante. À chaque traversée d'une dis- continuité, la fonctionfr correspondante augmente de 1. On obtient le graphe degen partant de l'origine et en reportant les sauts en tenant compte du signe et du coecient (voir gure1).

1

−1

1 2 4

1 (

√

(2)−1)²

8 9

Fig. 1: graphe deg 4. Par dénition d'une partie entière :

r√

x−1< fr(x)≤r√ x

En combinant ces inégalités avec les coecients pour les trois fonctions, il vient : 2(a√

x−1)−b√ x−c√

x <g(x)<2a√

x−(b√

x−1)−(c√ x−1) (2a−b−c)√

x−2<g(x)<(2a−b−c)√ x+ 2

Mais2a−b−c= 0et g(x)∈Zdonc−2< g(x)<2 entraîneg(x)∈ {−1,0,1}.

5. L'ensemble des points de discontinuité de g est l'union des ensembles de points de discontinuité defa,fb,fc. Ces ensembles sont (d'après la question 2.) :

2p², p∈Z

q² 3−2√

2, q∈Z

r², r∈Z Ils sont deux à deux disjoints car√

2, ³₂−√ 2et√

2−1sont irrationnels. On peut alors appliquer le résultat de linéarité du saut démontré en question 1. On en déduit qu'en un point de discontinuité defa, le saut est+2alors qu'en un point de discontinuité de fb oufc le saut est−1.

6. Raisonnons en distinguant plusieurs cas et en exploitant le fait que g ne prend que les valeurs −1, 0 et 1 avec des sauts +2 ou −1 et qu'aucun des trois ensembles de discontinité n'est majoré (il existe donc des discontinuités de chaque type après un réel arbitraire) :

Sig(A) =−1, le premier saut de discontinuité est forcément+2. La fonction prend alors la valeur +1. Le saut suivant est obligatoirement −1 et la fonction g prend alors la valeur0.

Sig(A) = 0,le premier saut de discontinuité est forcément−1. La fonction prend la valeur−1et on se retrouve dans le cas précédent.

Sig(A) = +1, le premier saut de discontinuité est forcément−1. La fonction prend la valeur0et on se retrouve dans le cas précédent.

La fonctiong prend donc les trois valeurs sur tout intervalle[A,+∞[.

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