INÉGALITÉS DANSR TD
Inégalités dans R – TD
1Résolution d’équations et d’inéquations
Exercice 1
Soientx∈[5, 10] ety∈[−5,−3]. Encadrerx+y, x−y,x×yet x y. Exercice 2
Résoudre les équations d’inconnuex∈R: 1. |x+1| =5.
2. |2−x| =2x+1.
3. |x+3| − |x−1| = |2x+1|. 4. p
x+1=3x−7.
5. p
6−x+p
3−x=p
x+5+p 4−3x.
6. ¯
¯x2−3x+2¯
¯= |x|. 7.
¯
¯
¯
¯ x+1 1−x
¯
¯
¯
¯=3−2x.
8. p
|x+3| = |x−2|. Exercice 3
Déterminer les paramètres réelsmpour que l’équation, d’inconnue réellex, suivante ait exactement deux racines réelles positives :
m2×x2+(m−2)×x+9=0.
Exercice 4
Résoudre les inéquations d’inconnuex∈R: 1. x+x×(x−1)
x+3 Ê0 2. x2−4x+5
−3x2−3x+18<0 3. |x−5| É4.
4. 1< |x−1| <3.
5. ¯
¯x2−4x+1¯
¯>1.
6. x+m
m+1>2−x, oùm∈R\ {−1}.
7. |3x+2| É |x−2|. 8. x+2
x−1< 3 x−2. 9. p
|x−2| Éx+1.
10. p
x+1Êx−5.
Inégalités
Exercice 5
Montrer que, pour toutxetydans [0, 1],
x2+y2−x×yÉ1.
Exercice 6
Montrer que, pour tous réels strictement positifsxety 1+p
x×yÉp
1+x×p 1+y.
Exercice 7
Montrer que, pour tous réelsxety,
|x×y| Éx2+y2 2 .
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
TD INÉGALITÉS DANSR
Exercice 8
Montrer que, pour tous réelsxety,
|x| + |y| É |x+y| + |x−y|. Exercice 9
Montrer que, pour tous réelsx, yetz,
x×y+x×z+y×zÉx2+y2+z2.
Exercice 10
1. Soientxetydeux réels positifs tels quexÊy. Montrer que : px+yÉp
x+p
y et p x−p
yÉp
x−yÉp x+p
y.
2. En déduire que, pour toutxetydansR, p|x+y| Ép
|x| +p
|y| et ¯
¯
¯
p|x| −p
|y|¯
¯
¯Ép
|x−y| Ép
|x| +p
|y|.
Exercice 11
SoientnÊ2,a1, . . . ,andes réels etb1, . . . ,bndes réels strictement positifs. Montrer que : min
µa1
b1, . . . ,an bn
¶
Éa1+ · · · +an b1+ · · · +bn Émax
µa1
b1, . . . ,an bn
¶ .
Entiers naturels, entiers relatifs, nombres rationnels
Exercice 12
Soientx∈R\Qet (a,b,c,d)∈Q4. On suppose quea×d−b×c,0 . Montrer que a×x+b
c×x+d ∉Q(on pourra commencer par vérifier que cette expression a un sens).
Exercice 13
1. Soitx∉Qet y∈Q. Montrer quex+y∉Q. 2. Soitx∉Qet y∈Q?. Montrer quex×y∉Q.
3. Soit (a,b)∈Q2 tel quea<b. Montrer qu’il existec∉Qtel quec∈]a,b[.
Indication : p 2∉Q
4. Montrer qu’il existeaetbdeux nombres irrationnels tels queabest un nombre rationnel.
Exercice 14
Soit (a,b)∈Q?+. Montrer que si p
a∉Qet pb∉Q, alors pa+p b∉Q. Exercice 15
Soit f :R→R une application non identiquement nulle vérifiant, pour tout (x,y)∈R2, f(x+y)=f(x)+f(y) et f(x×y)=f(x)×f(y).
1. Montrer quef(1)=1 et f(0)=0.
2. Montrer par récurrence que, pour toutn∈N, f(n)=n.
3. En déduire que, pour toutn∈Z, f(n)=n.
4. En déduire, pour toutx∈Q, f(x)=x.
5. Montrer que, pour toutx∈R, f(x2)Ê0. En déduire que f est croissante.
6. Montrer que, pour toutx∈R, f(x)=x.
PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD
INÉGALITÉS DANSR TD
Partie entière
Exercice 16
1. Montrer que :∀x∈R,∀p∈Z,bx+pc = bxc +p.
2. Soitn∈N∗. Montrer quej p 1+n2k
=n.
3. En déduirej p
1+n2+nk . Exercice 17
Montrer que :∀x∈R,bxc +
¹ x+1
2 º
= b2xc. Exercice 18
Montrer que :∀(x,y)∈R2,bxc + byc É bx+yc É bxc + byc +1.
Exercice 19
Montrer que :∀x∈R,∀n∈N∗,
¹bn×xc n
º
= bxc. Exercice 20
Pour toutn∈N?, on noteSn= 1 2p
1+ 1 2p
2+ · · · + 1 2p
n=
n
X
k=1
1 2p
k. 1. Montrer que, pour toutn∈N∗, pn+1−p
nÉ 1 2p
nÉp n−p
n−1.
2. En déduire la partie entière deS100. Exercice 21
Résoudre l’équation d’inconnuexréelle :j x 2+x
k
=2.
G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC
