Partie I. Convergence d’une série entière de matrices

SESSION 2014 BÉCÉAS

Banque d’Épreuves des Concours des Écoles d’Actuariat et Statistique.

Mathématiques. Option A

Partie I. Convergence d’une série entière de matrices

1)SoitA∈M_p(C). kAks est un majorant de{kAYk, Y∈M_p,1(C), kYk61}.

SoitY∈M_p,1(C).

- Si Y=0, alorskAYk=060=kAkskYk.

-SiY 6=0, le vecteur colonneY^′ = 1

kYkY vérifiekY^′k= 1

kYkkYk=161et donckAY^′k6kAkspuis 1

kYkkAYk6kAks

et donckAYk6kAkskYk.

On a montré que :∀Y ∈M_p,1,kAYk6kAkskYk.

Soit(A, B)∈(M_p(C))². SoitY∈M_p,1(C)tel quekYk61. D’après ce qui précède, kABYk6kAkskBYk6kAkskBkskYk6kAkskBks.

kAkskBks est donc un majorant de{kABYk, Y∈M_p,1(C), kYk61}etkABks est le plus petit des majorants de

{kABYk, Y∈M_p,1(C), kYk61}. Donc, kABks6kAkskBks.

k ks est donc une norme sous-multiplicative surM_p(C).

2) SoitA∈M_p(C). On sait queχA est scindé surC. Soitλ une valeur propre deA. SoitY un vecteur propre associé.

Alors,Y 6=0 puisY0= 1

kYkY est un vecteur propre unitaire (kY0k=1) deAassocié àλ.

kAks>kAY0k=kλY0k=|λ|kY0k=|λ|.

Donc, pour toutλ∈sp(A),|λ|6kAks puisρ(A)6kAks. 3) a)

•SoitA∈M_p(C)telle quekAks< R. D’après la question 1., pour toutn∈N,kAⁿk_s6kAkⁿ_s (y compris si n=0).

PuisquekAks< R, on sait que la série numérique de terme généralc_nkAkⁿ_s, n∈N, converge. Puisque pour toutn∈N, kcnAⁿk_s6|c_n|kAkⁿ_s, on en déduit que la série numérique de terme généralkcnAⁿk_sconverge.

Ainsi, la série de matrices de terme général c_nAⁿ est absolument convergente et donc convergente car M_p(C) est de dimension finie. Ceci montre queA∈A_c.

•SoitA∈A_c. Soitλune valeur propre deA. SoitY∈M_p,1(C)\ {0}un vecteur propre associé.

La série de matrices de terme généralc_nAⁿ,n∈N, converge. Par continuité de l’application ϕ : M_p(C) → M_p,1(C)

M 7→ MY

(ϕ est continue surM_p(C)car ϕest linéaire sur un espace de dimension finie), on en déduit que la série de vecteurs de terme généralc_nAⁿY=c_nλⁿY,n∈N, converge et que

+∞

X

n=0

c_nAⁿ

! Y=

+∞

X

n=0

c_nAⁿY=

+∞

X

n=0

c_nλⁿY.

PuisqueY6=0, on en déduit encore que la série numérique de terme généralcnλⁿ,n∈N, converge et donc que|λ|6R.

Ainsi, siA∈A_c, alorsρ(A)6R.

b)Sip=1, on retrouve le fait que le domaine de définition ∆de la somme de la série entière vérifie Bo(0, R)⊂∆⊂Bf(0, R).

c) Soit P ∈ GL_n(C). Soit ψ : M_p(C) → M_p(C) M 7→ P⁻¹MP

. ψ est continue sur M_p(C) car linéaire sur M_p(C) qui est de dimension finie.

SoientA∈M_p(C)puisA^′=P⁻¹AP. SiA∈A_c ou encore si la série de matrices de terme généralanAⁿ,n∈N, converge, alors par continuité deψ, la série de terme général

ψ(c_nAⁿ) =cnP⁻¹AⁿP=cnA^′n

converge et doncA^′∈A_c. Ainsi, si une matrice Aest dansA_c, alors toute matrice semblable àAest dansA_c.

‘

d)SoitA∈M_p(C)diagonalisable. Il existe D=diag(λ_i)_16i6p∈D_p(C)et P∈GL_p(C)telles que A=PDP⁻¹. Dans ce cas, sp(A) =sp(D)et en particulierρ(A) =ρ(D).

Supposons de plusρ(D) =ρ(A)< R. D’après la question précédente,Aest dansA_c si et seulement siDest dansA_c. Or, pourN∈Ndonné,

XN

n=0

c_nDⁿ=diag XN

n=0

c_nλⁿ_i

!

16i6p

(∗).

Pour tout i ∈J1, pK, |λ_i|< R et donc pour tout i ∈J1, pK, la série numérique de terme généralc_nλⁿ_i, n∈N, converge.

Mais alors, d’après(∗), la série de matrices de terme généralc_nDⁿ converge et finalement,A∈A_c.

Partie II. Quelques calculs et un exemple

1) a)

dn+1−dn= ln(n+1) −

n+1X

k=1

1 k

!

− ln(n) − Xn

k=1

1 k

!

=ln(n+1) −ln(n) − 1 n+1

=ln

1+ 1 n

− 1 n× 1

1+ 1 n

n→=+∞

1 n+O

1 n²

− 1

n+O 1

n²

n→=+∞

O 1

n²

.

Ainsi, la série de terme généraldn+1−d_n,n∈N^∗, converge. On sait alors que la suite (d_n)_n∈N∗ converge.

b)SoitN∈N^∗.

2N−1X

n=0

u_n(1) =

2N−1X

n=0

(−1)ⁿ n+1 =

X2N

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n

= XN

k=1

(−1)^2k−1 2k +

XN

k=1

(−1)^2k−2 2k−1 = −1

2 XN

k=1

1 k+

XN

k=1

1 2k−1

= −1

2(lnn−d_N) + X2N

k=1

1 k−

XN

k=1

1 2k

= −1

2(lnn−dN) + (ln(2n) −d2N) − 1

2(lnn−dN)

=ln2+dN−d2N.

Puisque la suite(d_N)_N∈N∗ converge,

2N−1X

n=0

u_n(1) =

N→+∞ln2+o(1). Ensuite, X2N

n=0

un(1) =

2N−1X

n=0

un(1) − 1

2N+1 =

N→+∞

ln2+o(1).

Finalement, les deux suites extraites

2N−1X

n=0

u_n(1)

!

N∈N∗

et X2N

n=0

u_n(1)

!

N∈N∗

convergent et ont même limite, à savoir

ln(2). On en déduit que la suite XN

n=0

u_n(1)

!

N∈N

converge ou encore la série de terme généralu_n(1),n∈N, converge et de plus

+∞

X

n=0

un(1) =ln2.

c)Soitz∈C. D’après le cours, on sait queR_u =1. Donc, si∆_u est l’ensemble desxréels pour lesquels la série de terme généralu_n(x)converge, alors] −1, 1[⊂∆_u⊂[−1, 1].

D’après ce qui précède, la série numérique de terme généralu_n(1), n ∈N^∗, converge vers ln2. Enfin, la série de terme un(−1) = − 1

n+1,n∈N, diverge. Finalement,∆u=] −1, 1]et de plus, d’après le cours,

∀x∈] −1, 1],

+∞

X

n=0

u_n(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ⁺¹

n+1 =ln(1+x).

2) a)Soitz∈C. Si|z|61,

z²ⁿ⁺¹ 2n+1

= |z|²ⁿ⁺¹ 2n+1 →

n→+∞

0et doncR_v >1 et si|z|> 1,

z²ⁿ⁺¹ 2n+1

→

n→+∞

+∞et doncR_v61.

Finalement,R_v =1.

b)On note∆vest l’ensemble desxréels pour lesquels la série de terme généralvn(x)converge et on a]−1, 1[⊂∆v⊂[−1, 1].

De plus, la série numérique de terme général v_n(1) = 1

2n+1, n ∈ N, diverge et la série numérique de terme général vn(−1) = − 1

2n+1,n∈N, diverge. Donc,∆v=] −1, 1[.

Pourx∈] −1, 1[, ln(1+x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n =x− x² 2 +x³

3 − x⁴ 4 +x⁵

5 −. . .et ln(1−x) = −

+∞

X

n=1

xⁿ

n = −x−x² 2 − x³

3 − x⁴

4 −x⁵ 5 −. . .

Donc, pourx∈] −1, 1[, ln(1+x) −ln(1−x) =2

x+ x³ 3 +x⁵

5 +. . .

=2

+∞

X

n=0

v_n(x).

∀x∈] −1, 1[,

+∞

X

n=0

vn(x) = 1 2ln

1+x 1−x

. c)Soitx∈] −1, 1[.

+∞

X

n=0

v_n(ix) =

+∞

X

n=0

i²ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺¹ 2n+1 =i

+∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+1 =iArctan(x).

Soit alorsN∈N. 1 i

XN

n=0

v_n(i×1) = XN

n=0

(−1)ⁿ 2n+1 =

XN

n=0

Z1 0

−x²n

dx

= Z1

0

1− −x²N+1

1− (−x²) dx= Z1

0

1

1+x² dx+ (−1)^N Z1

0

x^2N+2 1+x² dx.

De plus, pour N ∈N, (−1)^N

Z1 0

x^2N+2 1+x² dx

=

Z1 0

x^2N+2 1+x² dx6

Z1 0

x^2N+2 dx= 1

2N+3. Puisque lim

N→+∞

1

2N+3 = 0, on en déduit que lim

N→+∞

(−1)^N Z1

0

x^2N+2

1+x² dx=0. Par suite, la série numérique de terme généralvn(i), n∈N, converge vers iπ

4 = iArctan(1). Par parité, la série numérique de terme général vn(−i), n∈N, converge vers−iπ

4 = −iArctan(1) et finalement

∀x∈[−1, 1],

+∞

X

n=0

vn(ix) =iArctan(x).

d)SoitN∈N^∗.

4N−1X

n=0

un(i) =

4N−1X

n=0

(−1)ⁿiⁿ⁺¹ n+1 =

2N−1X

k=0

(−1)^2ki^2k+1 2k+1+

2N−1X

k=0

(−1)^2k+1i^2k+2 2k+2

=

2N−1X

k=0

(−1)^k 2k+2 +i

2N−1X

k=0

(−1)^k 2k+1 = 1

2 X2N

k=1

(−1)^k−1 k +i

2N−1X

k=0

(−1)^k 2k+1

=

N→+∞

1

2ln2+iπ

4 +o(1).

Ensuite, X4N

n=0

un(i) =

4N−1X

n=0

un(i)+(−1)^4Ni^4N+1 4N+1 =

N→+∞

1

2ln2+iπ

4+o(1)et de même,

4N+1X

n=0

un(i) =

N→+∞

1

2ln2+iπ 4+o(1)

et

4N+2X

n=0

u_n(i) =

N→+∞

1

2ln2+iπ

4 +o(1).

On sait alors que XN

n=0

un(i) =

N→+∞

1

2ln2+iπ

4 +o(1). Ainsi, la série de terme généralun(i),n∈N, converge et

+∞

X

n=0

un(i) = 1

2ln2+iπ 4.

3) a)χ_A=X²− (Tr(A))X+det(A) =X²+1= (X−i)(X+i).χ_Aest à racines simples dansCet doncAest diagonalisable dansC. Par suite, il existeP∈GL₂(C)etD=diag(i,−i)telles queA=PDP⁻¹.

b)SoitN∈N.

XN

n=0

(−1)ⁿ

n+1Dⁿ⁺¹=diag XN

n=0

(−1)ⁿiⁿ⁺¹ n+1 ,

XN

n=0

(−1)ⁿ(−i)ⁿ⁺¹ n+1

!

=diag



 XN

n=0

u_n(i), XN

n=0

u_n(i)



.

D’après la question précédente, la série de matrice de termes général (−1)ⁿ

n+1Dⁿ⁺¹,n∈N, converge et, par continuité de l’application C → C

z 7→ z ,

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+1Dⁿ⁺¹=diag 1

2ln2+iπ 4,1

2ln2−iπ 4

.

c)Déterminons une matriceP. A 1

−i

= i

1

=i 1

−i

et en conjuguant, A 1

i

= −i 1

i

. On peut donc prendreP=

1 1

−i i

. On a alorsP⁻¹= 1 2i

i −1 i 1

= 1 2

1 i 1 −i

puisA=PDP⁻¹oùD=diag(i,−i).

L’application ϕ M_n(R) → M_n(R) M 7→ PMP⁻¹

est continue sur M_n(R)car linéaire sur un espace de dimension finie. Puisque la série de terme général (−1)ⁿ

n+1Dⁿ⁺¹converge, la série de terme général (−1)ⁿ

n+1Aⁿ⁺¹=ϕ

(−1)ⁿ n+1Dⁿ⁺¹

converge et

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+1Aⁿ⁺¹=

+∞

X

n=0

ϕ

(−1)ⁿ n+1Dⁿ⁺¹

=ϕ

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+1Dⁿ⁺¹

!

(par continuité deϕ)

=Pdiag 1

2ln2+iπ 4,1

2ln2−iπ 4

P⁻¹

= 1 2

1 1

−i i 

 1

2ln2+iπ

4 0

0 1

2ln2−iπ 4





1 i 1 −i

= 1 2



 1

2ln2+iπ 4

1

2ln2−iπ π 4

4 −i1

2ln2 π 4 +i1

2ln2





1 i 1 −i

=



 1

2ln2 −π π 4

4 1 2ln2



.

Partie III. Quelques questions topologiques

1) a)Soit(k, ℓ)∈J1, pK². Pourn∈N^∗, Tn[ℓ, ℓ] −Tn[k, k] =

T[ℓ, ℓ] + ℓ n

−

T[k, k] +k n

=T[ℓ, ℓ] −T[k, k] +ℓ−k n . Donc, lim

n→+∞Tn[ℓ, ℓ] −Tn[k, k] =T[ℓ, ℓ] −T[k, k].

b)Soit(k, ℓ)∈J1, pK²tel que k < ℓ.

•Si T[k, k] =T[ℓ, ℓ], alors pour toutn∈N^∗,T_n[ℓ, ℓ] −T_n[k, k] =T[ℓ, ℓ] −T[k, k] +ℓ−k

n = ℓ−k n 6=0.

• Si T[k, k] 6= T[ℓ, ℓ], alors lim

n→+∞

T_n[ℓ, ℓ] −T_n[k, k] = T[ℓ, ℓ] −T[k, k] 6= 0 et donc, il existe un rang N_k,ℓ tel que pour n>N_k,ℓ,T_n[ℓ, ℓ] −T_n[k, k]6=0.

SoitNun entier supérieur ou égal à tous les éventuelsNk,ℓ(qui sont en nombre fini au plus égal à p²−p

/2) ouN=0 si tous les coefficients deT sont égaux. Par construction, pourn>N, les coefficients diagonaux deTn sont deux à deux distincts.

2) a)SoitA∈M_p(C).χ_A est scindé surCd’après le théorème de d’Alembert-Gausset doncAest trigonalisable.

b)SoitA∈M_p(C). Il existe une matrice triangulaireT et une matrice inversiblePtelles queA=PTP⁻¹. Soit alorsN∈N défini comme à la question précédente. La suite(T_n)_n>N= T+

Xp

k=1

ℓ nE_ℓ,ℓ

!

n>N

est une suite de matrices triangulaires, convergeant vers la matriceT. De plus, d’après la question précédente,pourn>N, les coefficients diagonaux de la matrice triangulaireT_n sont deux à deux distincts ou encoreT_n est à valeurs propres simples. On en déduit que pour n>N, T_n est diagonalisable.

Pour n > N, posons An = PTnP⁻¹. Pour n > N, An est semblable à une matrice diagonalisable et donc An est diagonalisable. De plus, par continuité de l’applicationM7→PMP⁻¹, la suite(A_n)_n>N converge et

n→lim+∞An = lim

n→+∞PTnP⁻¹=P

n→lim+∞Tn

P⁻¹=PTP⁻¹=A.

Ainsi, tout élément deM_p(C)est limite d’une suite de matrices diagonalisables. Ceci montre que l’ensemble des matrices diagonalisables deM_p(C)est dense dansM_p(C).

3)PourM=M_p(C), posonsχM=X^p+

p−1X

k=0

ak(M)X^k.

Soitk∈J0, p−1K. L’applicationϕk : M7→ak(M)est un polynôme en les coordonnées deMdans la base canonique de M_p(C)et est donc continue sur l’espace vectoriel normé(M_p(C),k ks).

SoitM∈M_p(C). Pour toutk∈J0, p−1K, par continuité deϕ_k enM, il existe α > 0tel que

∀N∈M_p(C),

kN−Mks6α_k⇒|a_k(N) −a_k(M)|6 1 p

. Soitα=Min{α_k, 06k6p−1}> 0. PourN∈M_p(C)telle quekN−Mk6α,

kχN−χMk₁=

p−1X

k=0

|a_k(N) −ak(M)|+|1−1|6

p−1X

k=0

1 p =1.

4) a) (1)SoitM∈M_p(C)puisµ∈Sp(M).

χ_M(µ) =0⇒µ^p= −

p−1X

k=0

a_k(M)µ^k⇒|µ|^p6

p−1X

k=0

|a_k(M)| |µ|^k.

Si|µ|61, alors pour toutk∈J0, p−1K,|µ|^k 61 puis|µ|^p6

p−1X

k=0

|a_k(M)|=Max

1,|µ|^p−1

p−1X

k=0

|a_k(M)|

! . Si|µ|> 1, la suite |µ|^k

k∈Nest croissante et donc|µ|^p6|µ|^p−1

p−1X

k=0

|a_k(M)|=Max

1,|µ|^p−1

p−1X

k=0

|a_k(M)|

! .

On a montré que pour toutµ∈Sp(M),|µ|^p6Max

1,|µ|^p−1

p−1X

k=0

|a_k(M)|

! .

(2)Si|µ|61,

Max{1,|µ|^p}=161+

p−1X

k=0

|a_k(M)|=Max{1,|µ|^p}

Xp

k=0

|a_k(M)|

! .

Si|µ|> 1,

Max{1,|µ|^p}=|µ|^p6Max

1,|µ|^p−1

p−1X

k=0

|a_k(M)|

!

6Max{1,|µ|^p} Xp

k=0

|a_k(M)|

! .

(3)Si|µ|61, alors|µ|61+

p−1X

k=0

|a_k(M)|=kχMk₁.

Si|µ|> 1, (2) fournit|µ|^p6|µ|^p−1 Xp

k=0

|a_k(M)|=|µ|^p−1kχMk₁. Après simplification par le réel strictement positif|µ|, on obtient encore une fois|µ|6kχMk₁.

On a montré que∀µ∈Sp(M),|µ|6kχMk₁.

b)SoitN∈M_p(C)telle quekχN−χ_Mk₁61. Soitλ∈Sp(N).

kχMk₁=1+

p−1X

k=0

|a_k(M)|>1et donc

|λ|6kχNk₁6kχN−χ_Mk₁+kχMk₁61+kχMk₁62kχMk₁.

5) a) La suite (M_n)_n∈N converge vers M. Donc, il existe n0 ∈N tel que pour n>n0, kMp−Mk_s 6α (α ayant été défini à la question 3).

Pour n > n₀, on a donc χ_Mp−χ_N

1 6 1. D’après la question précédente, pour tout n > n₀ et tout k ∈ J1, pK,

|λ_k,n|62kχMk₁.

Ainsi, la suite(λ_1,n, . . . , λ_p,n)_n>n

0est bornée (en munissant par exempleR^pde la norme infinie) puis la suite(λ_1,n, . . . , λ_p,n)_n∈N est bornée.

PuisqueR^pest de dimension finie surR, le théorème deBolzano-Weierstrasspermet d’affirmer que l’on peut extraire de la suite(λ_1,n, . . . , λ_p,n)_n∈Nune sous-suite λ_1,ϕ(n), . . . , λ_p,ϕ(n)

n∈N convergente.

b) Pour k ∈ J1, pK, posons λ_k = lim

n→+∞

λ_k,ϕ(n). Pour n ∈ N, on sait que les coefficients a_i(M_n) de χ_Mn sont des polynômes en lesλ_k,n (relations entre coefficients et racines d’un polynôme scindé) :

a_i(M_n) = (−1)^p−iσ_i(λ_1,n, . . . , λ_p,n). Quandntend vers+∞, on a donc pour chaquei∈J0, p−1K,

n→lim+∞ai M_ϕ(n)

= lim

n→+∞(−1)^p−iσi λ_1,ϕ(n), . . . , λ_p,ϕ(n)

= (−1)^p−iσi(λ1, . . . , λp) et donc, puisqueχMϕ(n) converge versχM,

χM= Yp

k=1

(X−λk).

Ainsi,χ_M est scindé surR.

6) a)NotonsSp(R)l’ensemble des matrices éléments deM_p(R)dont le polynôme caractéristique est scindé surR. Soit M ∈ D_p(R). Il existe une suite (M_n)_n∈N d’éléments de D_p(R) convergeant vers M. Chaque Mn, n ∈ N, a un polynôme caractéristique scindé sur Ret donc, d’après la question précédente,Ma un polynôme caractéristique scindé surR. Ceci montre queD_p(R)⊂S_p(R).

Inversement, soitM∈Sp(R). Mest donc trigonalisable dans R puis il existe P∈GLp(R)et T triangulaire réelle telles queM=PTP⁻¹. Pourn∈N, soitTn la matrice définie à la question 1 de cette partie puisMn =PTnP⁻¹. Pourn>N, Tn est triangulaire, réelle, à coefficients diagonaux deux à deux distincts et donc à valeurs propres simples. Par suite, pour n>N,Tn et donc aussiMn sont diagonalisables dansR. Enfin, la suite(T_n)_n>N converge versT et donc, par continuité de l’applicationA7→PAP⁻¹, la suite(M_n)_n>N converge versM.

Ainsi, tout élément deSp(R)est limite d’une suite d’éléments deD_p(R)et doncSp(R)⊂D_p(R).

Finalement,D_p(R) =Sp(R).

b)SoitM∈D_p(R)dont le polynôme caractéristique n’est pas à racines simples.Madmet donc une valeur propreλd’ordre k>2. PuisqueMest diagonalisable dansR, on peut poserM=PDP⁻¹oùP∈GL_p(R)etD=diag(λ, . . . , λ, λk+1, . . . , λ_p) avecλ_i6=λpouri>k+1.

Pour n∈N^∗, posonsTn =D+ 1

nE1,1 puisMn = PTnP⁻¹. Pour n∈N^∗,Tn a le même spectre que D et en particulier, Tn admetλpour valeur propre d’ordrekmais, rg(Tn−λIp) =p−k+1 > p−kpuis dim(Ker(Tn−λIp)) =k−1 < k.

Ceci montre que pour toutn∈N^∗,Tnn’est pas diagonalisable puisMnn’est pas diagonalisable. Puisque lim

n→+∞Mn=M, on vient de fournir une suite de matrices à coefficients réels, toutes non diagonalisables et convergeant versM.

c) Donc, un élément deD_p(R), qui a une valeur propre d’ordre au moins 2, n’est pas dans l’intérieur deD_p(R)puisque tout voisinage d’une telle matrice contient au moins une matrice qui n’est pas élément deD_p(R). L’intérieur deD_p(R)est donc contenu dans l’ensemble des matrices deM_p(R)dont le polynôme caractéristique est scindé surR, à racines simples.

Partie IV. Logarithme de matrices

1) a)SoitM∈B. Donc,Mest une matrice trigonalisable dansRtelle quekM−Ipk_s< 1.

Le rayonRassocié à la suite(cn)_n∈N=

(−1)ⁿ n+1

n∈N

estR=1. D’après la question 3.a) de la partie I, la série de matrices de terme général (−1)ⁿ

n+1 (M−I_p)ⁿ⁺¹,n∈N, converge.

b) χ_M est scindé surR ou encore SpC(M)⊂R. D’après la question 2. de la partie I, ρ(M−I_p)6kM−I_pk_s < 1. On sait que si Sp(M) = (λ1, . . . , λ_p), alors Sp(M−I_p) = (λ₁−1, . . . , λ_p−1).

Donc, pour toute valeur propreλdeM, |λ−1|6ρ(M−I_p)< 1et doncλ∈]0, 2[.

On a montré que Sp(M)⊂]0, 2[.

2)•SoitD=diag(λ1, . . . , λp)une matrice diagonale réelle telle que pour touti∈J1, pK,0 < λi< 2.Dest dans Bet

ln(D) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+1

diag(λ_i−1)_16i6pn+1

=diag

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+1 (λ_i−1)ⁿ⁺¹

!

16i6p

=diag(ln(1+ (λ_i−1)))_16i6p=diag(ln(λ_i))_16i6p, puis

Tr(ln(D)) = Xp

i=1

ln(λi) =ln Yp

i=1

λi

!

=ln(det(D)).

• Soit maintenant M un élément de B qui est diagonalisable. Il existe P ∈ GLp(R) et D matrice diagonale réelle à coefficients dans]0, 2[telles queM=PDP⁻¹. Par continuité de l’applicationA7→PAP⁻¹, on a

ln(M) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+1 PDP⁻¹−PP⁻¹n+1

=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+1P(D−I_p)ⁿ⁺¹P⁻¹=P

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+1 (D−I_p)ⁿ⁺¹

!

P⁻¹=Pln(D)P⁻¹ et donc

Tr(ln(M)) =Tr Pln(D)P⁻¹

=Tr(ln(D)) =ln(det(D)) =ln(det(M)).

•SoitMun élément quelconque deB. Soitd=kM−Ipk_s< 1. SoitN∈T_p(R)telle quekN−Mk_s6 1−d 2 . Alors, kN−I_pk_s6kM−I_pk_s+kN−Mk_s6d+1−d

2 = 1+d 2 < 1.

On en déduit que

kln(M) −ln(N)k_s6

+∞

X

n=0

1 n+1

(M−Ip)ⁿ⁺¹− (N−Ip)ⁿ⁺¹

s=

+∞

X

n=0

1 n+1

(M−N) Xn

k=0

(M−Ip)^k(N−Ip)^n−k

!

s

6kM−Nk_s

+∞

X

n=0

1 n+1

Xn

k=0

kM−I_pk^k_skN−I_pk^n−k_s

!

6kM−Nk_s

+∞

X

n=0

1 n+1

Xn

k=0

d^k 1+d

2

n−k!

=kM−Nk_s

+∞

X

n=0

1 n+1

1+d 2

n+1

−dⁿ⁺¹ 1+d

2 −d

62kM−Nk_s 1−d

+∞

X

n=0

1+d 2

n+1

= 2(1+d)

(1−d)² × kM−Nk_s.

• Montrons enfin que Tr(ln(M)) = ln(det(M)). D’après la question 6.a) de la partie III, il existe une suite (M_n)_n∈N d’éléments deD_p(R)(et en particulier de T_p(R)), convergente de limiteM.

Puisque kM−I_pk_s < 1, il existe un rang n₀ tel que, pourn >n₀, kMn−I_pk_s < 1. Pourn >n₀,M_n est dans Bde sorte que ln(Mn)existe puis, pournsuffisamment grand,kln(M) −ln(Mn)k_s6 2(1+d)

(1−d)²× kM−Mnk_set donc

n→lim+∞ln(M_n) =ln(M).

Par continuité de la trace surM_p(R)et du déterminant sur M_p(R),

Tr(ln(M)) =Tr

n→lim+∞ln(M_n)

= lim

n→+∞Tr(ln(M_n)) = lim

n→+∞ln(det(M_n)) =ln

det

n→lim+∞Mn

=ln(det(M)).

3) a)Montrons par récurrence que pour toutp∈N^∗, siMetNsont deux éléments deT_p(R),MetNsont simultanément trigonalisables.

• Le résultat est immédiat quandp=1.

• Soitp>1. Supposons le résultat pourp. SoientMet Ndeux éléments deT_p+1(R)tels queMN=NM. Notonsf et gles endomorphismes deR^p+1 canoniquement associés àMetN respectivement.

Puisque M∈T_p(R), χ_f=χ_Mest scindé surR. Soitλune valeur propre def. Puisquefet gcommutent,glaisse stableEλ(f)6={0}et donc la restriction degàEλ(f)induit un endomorphismegede ce sous-espace. On sait queχ_ge diviseχg et en particulier,χ_geest scindé surR.egadmet donc au moins une valeur propre et donc au moins un vecteur propree1. Par construction,e1est un vecteur propre commun àf et àg. On complète la famille libre(e₁)en une base (e₁, . . . , ep, ep+1)deR^p+1. On noteP1la matrice de la base(e₁, . . . , ep, ep+1)dans la base canonique deR^p+1. Par construction,P⁻¹₁ MP₁etP⁻¹₁ NP₁sont respectivement de la forme

λ × 0p,1 M1

et

µ × 0p,1 N1

oùM₁et N₁sont des éléments deM_p(R).

Puisque χM=χ_P1MP⁻¹

1 = (X−λ)χM1,χM1 est scindé sur Rou encore M1∈T_p(R). De même,N1∈T_p(R). Enfin, puisque MN=NM, un calcul par blocs fournitM1N1=N1M1. Par hypothèse de récurrence, il existeP^′ ∈GLp(R) telle queP^′−1M1P1et P^′−1N1P1 soient des matrices triangulairesTM etTN. SoitP2=

1 01,p

0p,1 P^′

. det(P₂) =det(P^′)6=0 et doncP₂∈GL_p+1(R). De plus,P⁻¹₂ =

1 0_1,p 0_p,1 P^′−1

. Un calcul par blocs fournit montre alors que les matricesP⁻¹₂ P⁻¹₁ MP₁P₂et P₂⁻¹P⁻¹₁ NP₁P₂ sont triangulaires. La matriceP=P₁P₂est une matrice réelle inversible telle queP⁻¹MPet P⁻¹NP soient triangulaires.

Le résultat est démontré par récurrence.

b) D’après la question précédente, il existeP une matrice réelle inversible et T et T^′ deux matrices triangulaires réelles telles que M = PTP⁻¹ et N = PT^′P⁻¹ ce qui ramène le problème au cas où M = T et N = T^′ sont deux matrices triangulaires réelles qui commutent.

Je n’ai pas réussi pour l’instant à construire simplement des suites de matrices diagonalisables(T_n)et(T_n^′), convergeant versT etT^′ respectivement, et vérifiant∀n∈N,T_nT_n^′ =T_n^′T_n.

4)SoientD=diag(λi)_16i6petD^′ =diag(λ_i^′)_16i6p deux matrices diagonales éléments deBtelles queDD^′ ∈B.

ln(D) +ln(D^′) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+1 (D−Ip)ⁿ⁺¹+

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+1 (D^′−Ip)ⁿ⁺¹

=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+1diag

(λ_i−1)ⁿ⁺¹

16i6p+

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+1diag

(λ_i^′−1)ⁿ⁺¹

16i6p

=diag

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+1 (λi−1)ⁿ⁺¹

!

16i6p

+diag

+∞

X

n=0

(−1)n

n+1 (λ_i^′−1)ⁿ⁺¹

!

16i6p

=diag(ln(λ_i))_16i6p+diag(ln(λ_i^′))_16i6p=diag(ln(λ_iλ_i^′))_16i6p=ln(DD^′).

Le résultat est donc établi quandMetNsont deux matrices diagonales. Plus généralement, siMetNsont diagonalisables qui commutent et donc simultanément diagonalisables, il existe une matrice P inversible et deux matrices diagonales éléments deBtelles queM=PDP⁻¹ etN=PD^′P⁻¹. PuisqueMN=PDD^′P⁻¹est dansB, les valeurs propres deDD^′ sont dans]0, 2[ et doncDD^′∈B. D’après ce qui précède, toujours par continuité de l’applicationA7→PAP⁻¹,

ln(MN) =ln PDD^′P⁻¹

=Pln(DD^′)P⁻¹=P(ln(D) +ln(D^′))P⁻¹=Pln(D)P⁻¹+Pln(D^′)P⁻¹

=ln PDP⁻¹

+ln PD^′P⁻¹

=ln(M) +ln(N).

Enfin, siMetNsont deux éléments deBtelles queMN=NM∈B, il existe d’après la question précédente deux suites de matrices(M_n)_n∈N et (N_n)_n∈N d’éléments deD_p(R)convergeant vers MetN respectivement et telles que pour tout n∈N,MnNn =NnMn. Pournsuffisamment grand,Mn, Nn et MnNn sont dansBpuis

ln(M_nN_n) =ln(M_n) +ln(N_n). Comme de nombreuses fois dans ce problème, quandntend vers+∞, on obtient

ln(MN) =ln(M) +ln(N).