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Déterminer le rayon de convergence de la série entière :

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Academic year: 2022

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(1)

PanaMaths Décembre 2006

Déterminer le rayon de convergence de la série entière :

!

n n

n z

∑ n

Analyse

Les coefficients ne posent pas de problème d’existence particulier. Leur forme suggère d’utiliser la règle de d’Alembert.

Résolution

Pour tout entier naturel n, posons :

!

n n

u n

= n . On a alors :

( )

( ) ( )

1

1 1 1

1

1

1 ! 1 ! 1 ! 1 1 1 1 1

1 ! 1 ! 1 1

!

n

n n

n n n n

n

n n n n n

n

n

u n n n n n n n n

n

u n n n n n n n n n

n

+

+ + +

+

+

+ + + + + ⎛ + ⎞ ⎛ ⎞

= = + × = × + = × + = =⎜⎝ ⎟⎠ = +⎜⎝ ⎟⎠

On a la limite classique : 1 lim 1

n

n e

→+∞ n

⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

On en déduit alors, d’après la règle de d’Alembert, que le rayon de convergence de la série entière est égal à 1

e.

Résultat final

Le rayon de convergence de la série entière

!

n

n n

n z

∑

est égal à 1 e.

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