Université de Cergy-Pontoise - L3 - 2008/2009
Examen d'Analyse complexe - session 2 (25 juin 2009)
Durée: 2 heures Les documents et les calculatrices ne sont pas autorisés
Exercice 1 : 1. Rappeler la dénition d'une fonction holomorphe sur un ouvert Ω⊂C.
2. Enoncer les conditions de Cauchy-Riemann pour une telle fonction.
3. Déterminer les fonctions f(z) = f(x+iy)holomorphes sur C∗ dont la partie réelle est x x2+y2. Exercice 2 : Soit r > 0. Notons C(0, r) le cercle centré en 0 et de rayon r, orienté dans le sens trigonométrique et D(0, r) le disque ouvert centré en 0et de rayon r.
1. (a) Soit ξ ∈ C∗. Ecrire le developpement en série entière en 0 de la fonction z → 1 1−z/ξ en précisant son rayon de convergence.
(b) Soit k ∈N∗. Calculer Z
C(0,r)
dξ
ξk(ξ−z) pourz ∈D(0, r). (On pourra utiliser (a)).
2. Soit f une fonction analytique sur un ouvert Ω⊂ C, contenant l'origine. Soit 0< r < ρ tel que D(0, ρ)⊂Ω. Soit fn la fonction dénie sur D(0, ρ)\{0} par
fn(z) = 1 zn
·
f(z)−f(0)−zf0(0)
1! −...−zn−1f(n−1)(0) (n−1)!
¸ .
(a) Montrer que fn se prolonge en une fonction fen analytique sur D(0, ρ).
(b) Montrer que fen(z) = 1 2iπ
Z
C(0,r)
fn(ξ)dξ
(ξ−z), pourz ∈ D(0, r).
(c) En déduire que
fen(z) = 1 2iπ
Z
C(0,r)
f(ξ)dξ ξn(ξ−z).
Exercice 3 : On dénit surΩ = {z ∈C∗ | −π2 <argz < 3π2 }la fonction Log parLog(z) = ln|z|+iθ où θ= argz.
1. (a) PréciserLog(z)lorsque z 6= 0 est réel.
(b) Montrer que la fonctionLog est holomorphe sur Ω.
2. Pour 0 < r < R soit γr,R le chemin fermé orienté dans le sens direct déni par les deux demi-cercles centrés à l'origine, de rayons r, R, situés dans le demi-plan su- périeur, et les deux segments sur l'axe réel [−R,−r] et [r, R] (voir gure ci-contre).
R
−R −r r
i R
i r
(a) Calculer Z
γr,R
Log(z)
1 +z2dz par la formule des résidus.
(b) Paramétrerγr,R et exprimer cette intégrale comme somme d'intégrales simples.
(c) Montrer que les intégrales sur les demi-cercles tendent vers0 lorsque r→0 etR → ∞.
(d) Montrer que Z ∞
0
lnx
1 +x2dx converge, et montrer que cette intégrale est nulle.
