1) a) Soit la série entièreP n 0 1 n!antn:Montrer que son rayon de convergence est in…ni

Université de Cergy - 2006-2007 - Mathématiques- S3

Examen: Séries

Problème 1 (les questions 1 à 3 sont indépendantes).

On note0! = 1:Soit (a_n)_{n 0} une suite de réels telle que la sérieP

n 0ja_nj converge.

1) a) Soit la série entièreP

n 0 1

n!a_ntⁿ:Montrer que son rayon de convergence est in…ni. On note g(t) sa somme.

b) SoitT >0: Montrer que ZT

0

e ^tg(t)dt =X

n 0

an

ZT

0

e ^ttⁿ n!dt:

2) On pose S_n(T) = Pn k=0

T^k

k!; n 1:

a) Véri…er que 0 e ^TS_n(T) 1si T 0;et que e ^TS_n(T)!^y!1 0:

b) Montrer, par récurrence sur n; que, pour T >0;

ZT

0

e ^ttⁿ

n!dt = 1 e ^TS_n(T):

3) Soit (u_n(T))_{n 0} une suite de fonctions dé…nies sur R⁺: On suppose 0 u_n(T) 1 pourn; T 0 et on suppose que, pour tout n; u_n(T)!^T!1 0:

a) Montrer que la série de fonctionsP

n 0ja_nju_n(T)converge pourT >0:

On note f(T)sa somme.

b) Montrer que, pour tout" >0;il existeN tel que0 P

n N+1ja_nj ":

c) En écrivant f(T) = PN

n=0+P

n N+1 pour un choix convenable de N;

montrer que f(T)!^T!1 0:

4) a) Montrer que ZT

0

e ^tg(t)dt X

n 0

a_n X

n 0

ja_nje ^TS_n(T):

b) En utilisant 3), conclure que

1

lim

T!1

ZT

0

e ^tg(t)dt=X

n 0

a_n:

Problème 2 (les questions B-1), 2) sont indépendantes de A).

Soit f la fonction2 périodique véri…ant f(x) = sin^x₂ sur [ ; [:

A- 1) Tracer le graphe def surR et calculerf⁰ lorsque cette dérivée existe.

2) Calculer les coe¢ cients de Fourier réels de f:

3) a) En quels sens cette série converge-t-elle (ponctuellement, uniformé- ment, normalement sur R;en norme L²([ ; ];^dx₂ ))?

b) Converge-t-elle vers f? Justi…er les réponses.

B- Soit la série de fonctions ¹(⁴₃sinx+:::+ ⁿ

n^{2 1}₄ sinnx+:::):

1) Montrer que cette série converge ponctuellement sur R: On note S sa somme. Véri…er que S est impaire.

2) Montrer que cette série converge uniformément sur ["; ] (0 < " <1):

3) Préciser (en justi…ant) la somme S sur ["; ]; puis sur ]0; ]; puis sur [ ; ]:

4) Tracer le graphe de S surR:

2