1. Séries entières et rayon de convergence

Séries entières

Dans tout ce chapitre, I est un intervalle de ^Á ou ^Á tout entier et K désigne ^Á ou ^Â.

1. Séries entières et rayon de convergence

Définitions 1.1

On appelle série entière (complexe) toute série de fonctions de terme général fn où, pour tout entier n, la fonction fn est de la forme fn : ^ÂoÂ

z ^Å anzⁿ où (an)n∈ est une suite de ^Â.

Exemples 1.2

Les séries entières ont donc une forme bien particulière :

a. n!zⁿ b. zⁿ c. d. e.

n nzⁿ zⁿ zⁿ

n!

Remarques 1.3

• En pratique, la suite (an)n∈ est souvent une suite réelle.

• On peut définir les séries entières réelles comme étant les séries de terme général fn où, pour tout entier n, fn est une fonction de ^Á dans ^Á de la forme fn(z) = antⁿ avec (an)n∈ une suite de^Á. Les propriétés des séries entières réelles se déduisent de la forme générale moyennant quelques changements de vocabulaire, comme, par exemple, remplacer "disque de convergence" par

"intervalle de convergence".

• Lorsque la suite (an)n∈ est une suite réelle, on peut considérer à la fois la série entière complexe anzⁿ et la série entière réelle antⁿ.

L'utilisation de la notation t pour la variable signifiera que nous restreignons au cas réel.

• Les scalaires (an)n∈ sont appelés les coefficients de la série anzⁿ.

Le scalaire an est le (n + 1)-ième coefficient de la série ou encore le coefficient d'ordre n.

Le scalaire a0 est le terme constant de la série.

• Par convention, pour z 0 et n 0, on pose zⁿ 1.

Propriété 1.4

Si une série entière (de terme général anzⁿ) converge pour un complexe z0, alors elle converge absolument pour tout complexe z vérifiant |z| < |z0|.

Remarque 1.5

Cette propriété n'a de sens que si z0^z 0.

Démonstration

Si la série numérique anz0n

converge (avec donc z0z 0), on a anz0n = 0.

_nlim

+

En particulier, on peut affirmer que la suite (anz0n)n∈ est bornée.

Il existe donc une constante M t 0 telle que, pour tout entier n, |anz0n | d M.

Pour tout complexe z (fixé) tel que |z| < |z0|, on obtient |anzⁿ | |anz0n

|u d M .

anz0n zⁿ

z0n zⁿ

z0n z

z0 n

Puisque z , la série de terme général M converge et il en est donc de même de la série de

z0 <1 z

z0 n

terme général |anzⁿ |.

Une relecture de la démonstration montre que l'on peut réduire les hypothèses de la propriété :

Conséquence 1.6 : Lemme d'Abel

Soit une série entière de terme général anzⁿ.

S'il existe un complexe non nul z0 tel que la suite (anz0n

)n∈ soit bornée alors la série anzⁿ converge pour tout complexe z vérifiant |z| < |z0 |.

Mais on peut aussi en préciser la conclusion :

Conséquence 1.7

Soit une série entière de terme général anzⁿ. Soit λ un réel vérifiant 0 dλ< 1.

S'il existe un complexe non nul z0 tel que la suite (anz0n

)n∈ soit bornée alors la série entière anzⁿ est normalement convergente sur le disque fermé de centre 0 et de rayon λ|z0 | c'est-à-dire pour tous les complexes z vérifiant |z| ≤ λ|z0 |.

Définition 1.8

Soit (an)n∈ une suite de K.

L'ensemble des réels r ^t 0 pour lesquels la suite (anrⁿ)n∈ est bornée est non vide (il contient 0).

La borne supérieure RÁ ‰{f} de cet ensemble est appelée rayon de convergence de la série entière anzⁿ.

Remarque 1.9

On peut donc écrire R = sup{r ≥ 0 / (anrⁿ)n∈ bornée}.

Exemples 1.10

• Le rayon de convergence de z ⁿ est R = 1.

• Le rayon de convergence de n! z ⁿ est R = 0 (en effet, n! ^a n ).

e

n 2n

• Le rayon de convergence de 1 zⁿ est R = +∞.

n!

Remarques 1.11

• On ne change pas le rayon de convergence d'une série entière a n zⁿ en modifiant un nombre fini de coefficients an.

• Par définition, les séries a n zⁿ, (−1) ⁿan zⁿ et |a n|zⁿ ont le même rayon de convergence.

• Pour tout λ ≠ 0, les séries a n zⁿ et λ an zⁿ ont même rayon de convergence.

• Soient R et les rayons de convergence respectifs de deux séries aR˜ nzⁿ et b nzⁿ. Si on suppose qu'à partir d'un certain rang |an | ≤ |bn |, alors on a ≤ R.R˜

En effet, pour tout réel positif (et même pour tout complexe) t, on a |antⁿ | ≤ |bntⁿ |).

Par exemple, si on prend an = 1 et bn = 2ⁿ, pour tout entier n, on a bien |an | ≤ |bn |.

La série z ⁿ a pour rayon de convergence 1 et la série (2z) ⁿ a pour rayon de convergence .1

• Soient a n zⁿ et b n zⁿ deux séries entières. 2

On suppose qu'il existe λ > 0 et µ > 0, tels que, à partir d'un certain rang, λ|an| ≤ |bn| ≤ µ|an|, alors les séries ont le même rayon de convergence.

C'est notamment le cas si |an| ∼+∞ |bn|.

2. Disque ouvert de convergence

Propriété 2.1

Soit une série entière de terme général anzⁿ. Soit R^{Á ‰}{^f} le rayon de convergence de cette série.

• Si R = 0, alors la série ne converge que pour z = 0.

• Si R = ^f, alors la série (de fonctions) a n zⁿ converge absolument simplement sur ^Â. De plus, cette convergence est normale (donc uniforme) sur tout ensemble borné de ^Â.

• Si R est un nombre réel strictement positif, alors la série converge absolument sur le disque ouvert B(0,R) = {z∈^Â, |z| R} et la série diverge sur {z∈^Â, |z| ^! R}.

De plus, cette convergence est normale (donc uniforme) sur tout ensemble fermé borné (compact) deB(0,R). En particulier pour le disque fermé {z∈^Â, |z| ^d ρ} quelque soit le réel positif ρ< R.

Démonstration

R est la borne supérieur de l'ensemble des réels positifs r tels que la suite (anrⁿ)n∈ soit bornée.

• Si R = 0, pour tout complexe non nul z, la suite (an|z|ⁿ)n∈ ne tend pas vers 0 donc (anzⁿ)n∈ ne tend pas vers 0. La série a n zⁿ diverge (grossièrement).

• Si R = ^f, alors, pour tout complexe non nul z, par exemple, la suite (an(2z)ⁿ)n∈ est bornée.

Puisque |z|^d |2z|, d'après le lemme d'Abel, la série a n zⁿ converge absolument.

• Si R est un nombre réel strictement positif, pour tout complexe z, on a:

Si |z| R, d'après le lemme d'Abel, la série a n zⁿ converge absolument.

Si |z| ^! R, la suite (anzⁿ)n∈ ne tend pas vers 0 : la série a n zⁿ diverge.

En cas de convergence sur un ensemble, si z appartient à un sous-ensemble borné par exemple par un réel positif M, alors, pour tout z, anz^{n d} anMⁿ . Si la série numérique anMⁿ est convergente, alors la série (de fonctions) a n zⁿ est normalement convergente.

Définition 2.2

Avec les notations de la propriété précédente, et en supposant que R est un réel strictement positif, B(0,R) = {z∈^Â, |z| < R} est appelé disque ouvert de convergence de a n zⁿ.

Lorsque R = +^f, on pose B(0,R) =^Â.

Remarques 2.3

• Dans le cas d'une série entière réelle a n t ⁿ de rayon de convergence R.

L'intervalle ouvert de convergence de la série est ]−R,R[ si R^Á₊ ou ^Á si R = +^f.

• Dans le dernier cas de la propriété 2.1, on a donc que, si z1 est un complexe vérifiant |z1| < R, alors la série numérique an z1n

est absolument convergente. Et, si z1 est un complexe vérifiant |z1| > R,

alors la série numérique an z1n

diverge grossièrement.

• On peut déterminer le rayon de convergence en utilisant la propriété précédente.

Par exemple, nous savons que la série zⁿ converge absolument si |z| < 1 et est grossièrement divergente si |z| > 1 donc son rayon de convergence est 1.

• En général, on ne peut rien dire si |z| = R.

Le comportement de a n zⁿ sur le cercle de centre 0 et de rayon R peut être quelconque :

convergence en tous les points du cercle, en un certain nombre ou en aucun. Plus précisément, les seuls points où il peut y avoir semi-convergence de la série sont ceux du cercle |z| = R.

Par exemple, les séries entières réelles tⁿ, 1 et ont toutes les trois un rayon de n tⁿ 1

n²tⁿ

convergence égal à 1. Dans Á, |t| = 1 implique t = −1 ou t = 1. Les séries 1ⁿ, (−1)ⁿ, 1 n sont divergentes et les séries (−1)ⁿ, et sont convergentes.

n 1

n²

(−1)ⁿ n²

• Une série entière complexe (resp. réelle) de coefficients an et de rayon de convergence R non nul est absolument convergente, donc convergente, sur son disque (resp. intervalle) ouvert de

convergence. On peut donc bien définir la somme S(z) = an zⁿ (resp. S(t) = an t ⁿ) de cette

n=0 +

n=0 +

série sur B(0;R) (resp. sur ]−R,R[).

• Une série entière a n zⁿ n'est pas nécessairement uniformément convergente (et, à fortiori, pas normalement convergente) sur tout son disque ouvert de convergence.

Par exemple, la série entière z ⁿ est uniformément convergente sur tout intervalle de la forme [−a,a] où 0 < a < 1 mais elle n'est pas uniformément convergente sur ]−1;1[.

• Une série entière a n zⁿ de rayon de convergence R = 0 ne converge qu'en z = 0.

Cette situation ne présente que peu d'intérêt.

3. Détermination du rayon de convergence

Propriété 3.1

Soit a n zⁿ une série entière, et soit R son rayon de convergence.

On pose lim_{n +} ∈^Á+ ∪ {+∞}.

|an|^1/n =L

Alors, on a R = avec la convention : R = +∞ si L = 0 et R = 0 si L = +∞.1 L

Démonstration

On a |anzⁿ|^1/n =|an|^1/n z .

On va utiliser la règle de Cauchy sur les séries numériques à termes positifs.

• Si L^Á₊ , on a _nlim₊ .

|anzⁿ|^1/n = z L

# Si z < 1, on a et la série (numérique) an zⁿ converge absolument.

L _nlim₊

|anzⁿ|^1/n <1

# Si z > 1, on a et la série (numérique) an zⁿ diverge . L _nlim₊

|anzⁿ|^1/n >1

Donc R = .1

• Si L = 0, pour tout complexe z, L _nlim₊ .

|anzⁿ|^1/n =0(<1) La série (numérique) a n zⁿ converge absolument.

• Si L = +∞, pour tout complexe non nul z, lim_{n +} .

|anzⁿ|^1/n = +^’(>1) La série (numérique) a n zⁿ diverge dès que z z 0.

Remarques 3.2

La formule d'Hadamart s'applique quelle que soit la série.

Exemple 3.3

Soit a n zⁿ la série entière définie par, p^À, a2p = 0 et a2p+1 = 2p + 1.

On a |an|^1/n = n^1/n si n est impair et |an|^1/n =0 si n est pair. D'où _nlim .

+ |an|^1/n =lim_n

+ n^1/n =lim_n

+ e^{1nln n} =e⁰ =1

Donc le rayon de convergence de cette série est 1 . 1 =1

Propriété 3.4

Soit a n zⁿ une série entière et soit R son rayon de convergence.

On suppose qu'à partir d'un certain rang les coefficients an sont non nuls.

Si _nlim ∈^Á+ ∪ {+∞}, alors R = avec la convention : R = +∞ si λ = 0 et R = 0 si λ = +∞.

+

a_n+1

an = 1

Démonstration

On a an+1zⁿ⁺¹ . anzⁿ = an+1

an

z

On va utiliser la règle de D'Alembert sur les séries numériques à termes positifs.

• Si λ^Á₊ , on a lim pour tout complexe z.

n +

an+1zⁿ⁺¹

anzⁿ = z

# Si z < 1 , on a : la série (numérique) an zⁿ converge.

_nlim

+

a_n+1zⁿ⁺¹

anzⁿ <1

# Si z > 1 , on a : la série (numérique) an zⁿ diverge.

_nlim

+

an+1zⁿ⁺¹

anzⁿ >1

Donc R = .1

• Si λ = 0, pour tout complexe z, on a lim_n .

+

an+1zⁿ⁺¹

anzⁿ =0(<1)

D'après la règle de D'Alembert, la série (numérique) a n zⁿ converge.

• Si λ = +∞, pour tout complexe non nul z, on a _nlim .

+

a_n+1zⁿ⁺¹

anzⁿ = +^’(>1)

D'après la règle de D'Alembert, la série (numérique) a n zⁿ diverge dès que z ^z 0.

Exemples 3.5

• Pour tout réel α, le rayon de convergence de la série n ^αzⁿ (et donc de zⁿ) est 1.

n

En effet, ^Á, _nlim .

+

(n+1)

n =_nlim

+

n+1 n

=1

• On peut retrouver que le rayon de convergence de la série zⁿ est +∞.

n!

En effet, _nlim .

+

an+1

an =lim_n

+

n!

(n+1)! =_nlim

+

1 n+1 =0

Remarques 3.6

• Si an est une fraction rationnelle de n, alors le rayon de convergence de a n zⁿ vaut 1.

En effet, si an = P(n) alors .

Q(n) an+1

an = P(n+1)

Q(n+1) Q(n)

P(n) = P(n+1)

P(n) Q(n) Q(n+1)

Et on a _nlim .

+

P(n+1) P(n) =_nlim

+

Q(n+1) Q(n) =1

• Le rayon de convergence R d'une série entière a n zⁿ existe toujours.

En revanche, la limite _nlim peut ne pas exister (voir exemple 3.3).

+

a_n+1 an

Pour déterminer le rayon de convergence, il faudra utiliser alors d'autres méthodes que la propriété 3.4. Par exemple, on peut tout simplement revenir à la forme originale de la règle de D'Alembert.

• Un cas classique est celui des séries entières a n zⁿ lacunaires. Ce sont des séries qui sont telles que l'ensemble des indices n tels que an = 0 est infini.

Par exemples toutes les séries de la formes : _αn z²ⁿ, _αn z²ⁿ⁺¹, ou _αn z^n! ...

On peut alors utiliser la forme originale de la règle de D'Alembert :

# On considère le terme général un de la série.

# On compare la limite éventuelle du rapport un+1 avec 1.

un

Par exemple, soit la série entière de terme général an zⁿ où, pour tout entier p, a2p = C_2p^p et a_2p+1 = 0.

On peut écrire cette série C_2nⁿ z²ⁿ.

Si on pose un = C_2nⁿ z²ⁿ, on a u_n+1 .

un = a_n+1

an z² = C_2n+2ⁿ⁺¹

C_2nⁿ z² = (2n+2)!

(n+1)!(n+1)!

n!n!

(2n)! z²

Donc un+1 .

un = (2n+2)(2n+1)

(n+1)(n+1) z² = 4n+2 n+1 z²

La série converge si _nlim et diverge dans le cas contraire.

+

a_n+1

an z² =4 z² <1 Donc R= 1.

• La démonstration de la propriété : "si 2 _nlim (l∈^Á∪{+∞}), alors " sur les

+

un+1

un =l _nlim

+ |un|^1/n =l

séries numériques est une conséquence de la formule d'Hadamart et de la propriété 3.4.

En effet, supposons que _nlim (l∈^Á∪{+∞}).

+

un+1

un =l

On considère alors les séries entières unzⁿ et 1 . unzⁿ

Les rayons de convergence de ces séries sont respectivement et l. 1 l

On obtient que _nlim et .

+ |an|^1/n =l lim_n

+

1

|an|^1/n = 1 l

Puisque _nlim , on a .

+ |an|^1/n = 1

nlim +

1

|an|^1/n

= 1 1 l

=l _nlim

+ |an|^1/n =lim_n

+ |an|^1/n =l=lim_n

+ |an|^1/n=l

4. Continuité et opérations

Propriété 4.1

Soit a n zⁿ une série entière de rayon de convergence R > 0.

Puisque la série est normalement convergente sur tout fermé borné (compact) inclus dans son disque ouvert de convergence, la somme de la série S(z) = an zⁿ est continue sur le disque ouvert de

n=0 +

convergence.

Démonstration

Il suffit de montrer que la somme est continue en tout point de B(0,R).

Pour tout complexe z0 de B(0,R), on peut trouver un complexe Z0 tel que |z0 | < |Z0| < R.

La série a n zⁿ étant normalement convergente sur tout borné de B(0,R), elle est donc uniformément convergente sur tout borné de B(0,R) en particulier sur le disque fermé {z∈^Â, |z| ^d |Z0|}.

Cela signifie que sa somme S(z) = an zⁿ est continue sur ce disque fermé {z∈^Â, |z| ^d |Z0|}.

n=0 +

Elle est donc continue en particulier en z0.

Propriété 4.2

Soient a n zⁿ et b n zⁿ deux séries entières de rayons de convergence respectifs R et .R˜

Soit ρ le rayon de convergence de la série entière (a n +bn) zⁿ. On a : ρ = min(R, ) si R R˜ ≠ .R˜

ρ ≥ R si R = .R˜

Pour tout complexe z tel que |z| < min(R, ), on a R˜ .

n0

(an+bn)zⁿ=

n 0

anzⁿ+

n 0

bnzⁿ

Démonstration

Pour tout complexe z tel que |z| < min(R, ), les séries (numériques) aR˜ n zⁿ et b n zⁿ sont convergentes.

Donc, la somme de ces deux séries est convergente.

De plus, . On a donc ρ ≥ min(R, ).

n 0

anzⁿ+

n0

bnzⁿ =

n 0

(anzⁿ+bnzⁿ)=

n0

(an+bn)zⁿ R˜

Si R , min(R, ) = R. R˜ R˜

Pour tout complexe z tel que R < |z| < , la série (numérique) aR˜ n zⁿ converge et la série (numérique) bn zⁿ diverge.

Donc, la somme de ces deux séries i.e. (a n +bn) zⁿ est divergente.

Ce qui signifie que R est le rayon de convergence c'est-à-dire ρ = R = min(R, ).R˜

Si R˜ R, on trouve de la même façon que ρ = R˜ = min(R, ).R˜

Remarque 4.3

Lorsque les rayons de convergence R et de deux séries sont égaux, on ne peut pas prévoir le rayon deR˜

convergence de la somme des séries.

Par exemple, le rayon de convergence des séries zⁿ et −zⁿ est 1.

Pourtant leur somme est nulle donc de rayon de convergence +f.

Corollaire 4.4

Soient a n zⁿ et b n zⁿ deux séries entières de rayons de convergence respectifs R et .R˜

Soient O et P deux complexes.

Le rayon de convergence r de la série entière (an+bn)zⁿ est supérieur ou égal à min(R, ) et, pourR˜

tout complexe z tel que |z| < min(R, ), on a R˜ .

n 0

(an+bn)zⁿ =

n 0

anzⁿ+

n 0

bnzⁿ

Propriété 4.5

Soient a n zⁿ et b n zⁿ deux séries entières de rayons de convergence R et .R˜

Soit r le rayon de convergence de la série entière c n zⁿ définie par cn = nÀ.

k=0 n

an−kbk=

p+q=n

apbq

Alors r ≥ min(R, ) et pour tout complexe z tel que |R˜ z| < min(R, ), on a R˜ cn zⁿ = an zⁿ bn zⁿ.

n=0 +

n=0 +

n=0 +

Remarque 4.6

Puisque cn zⁿ = zⁿ = , la série cn zⁿ est le produit de Cauchy des séries an zⁿ

p+q=n

apbq

p+q=n(apz^p)(bqz^q)

et b n zⁿ.

Démonstration

Le résultat découle directement de la propriété du produit de Cauchy des séries.

En effet, si |z| < min(R, ), les séries (numériques) aR˜ n zⁿ et b n zⁿ sont absolument convergentes et donc leur produit (de Cauchy) converge.

Rappel 4.7

Soient a et b deux éléments de K.

On considère les séries entières aⁿ et .

n!

bⁿ n!

On a vu dans le cours sur les séries numériques que la série produit est (a+b)ⁿ et que : n!

. e^a+b=

n=0

+ (a+b)ⁿ

n! =

n=0 +

wn =

n=0 +

un

n=0 +

vn =

n=0 +

aⁿ n! _n=0

+

bⁿ

n! =e^ae^b

Remarque 4.8

Soit a n zⁿ une série entière de rayon de convergence R et de somme S.

La série entière c n,2 zⁿ définie par cn,2 = pour tout entier n est la série produit de la

k=0 n

a_n−kak=

p+q=napaq

série a n zⁿ par elle-même. Son rayon de convergence est supérieur ou égal à R et, pour tout complexe z, tel que |z| < R, on a c n,2 zⁿ = an zⁿ an zⁿ = (S(z))².

n=0 +

n=0 +

n=0 +

Remarquons, de plus, que, si a0 = 0, on a alors c0,2 = c1,2 = 0.

On a aussi | cn,2 zⁿ | ≤ |an zⁿ |u | an zⁿ| puisque, pour tout entier n, |cn,2|= .

n=0 +

n=0 +

n=0 +

p+q=n apaq ^>

p+q=n apaq

On peut, de la même façon, construire une série entière dont la somme est S ³. En effet, la série entière cn,3 zⁿ définie par cn,3 = pour tout entier n est la série produit de la série cn,2 zⁿ par la série

p+q=n

cp,2aq

an zⁿ. Son rayon de convergence est supérieur ou égal à R et, pour tout complexe z, tel que |z| < R, on a

cn,3 zⁿ = cn,2 zⁿ an zⁿ = (S(z))³.

n=0 +

n=0 +

n=0 +

On peut continuer ainsi de suite pour construire par récurrence les séries entières dont la somme sera S ^k pour tout entier k t 3.

Remarquons que, si a0 = 0, les k premiers termes de la série entière obtenue pour S ^k seront nuls.

On obtient aussi que | cn,k zⁿ | ≤ .

n=0 +

n=0 +

anzⁿ

k

Exemple 4.9

On a 1 . On pose an = 1.

1−z =

n0

zⁿ

Donc 1 est la somme de la série entière dont le coefficient d'ordre n est (1−z)² = 1

1−z 1

1−z _p+q=n apaq

c'est-à-dire n.

Propriété 4.10

Soient a n zⁿ et b n zⁿ deux séries entières de rayons de convergence respectifs R > 0 et R˜ > 0 et de sommes respectives S et .S˜

On suppose qu'il existe un réel strictement positif r tel que r < R et < .

p 0

|apr^p| R˜

Alors on peut construire une série entière de rayon de convergence R0t r et de somme o S.S˜

Démonstration

Pour tout entier k, soit cn,kzⁿ la série entière de somme S ^k.

Les rayons de convergence de ces séries sont supérieurs ou égaux à R.

Pour tout complexe z tel que |z|^d r, on a ( o S)(z) = S˜ S˜(S(z)) = .

n 0

bn(S(z))ⁿ =

n0

bn(

p0

cp,nz^p)

Pour pouvoir intervertir les sommes dans cette relation, il faut une convergence absolue de la série de terme général .

p 0

bncp,nz^p

Or d'après la remarque précédente.

p 0

bncp,nz^{p >} bn

p 0

cp,nz^{p >} bn

p 0

cp,nz^{p >} bn

p 0

apz^p

n

Donc . Puisque < , on a bien convergence absolue.

p 0

bncp,nz^{p >} bn

p 0

apr^p

n

p0

|apr^p| R˜

D'où ( o S)(z) = S˜ pour tout complexe z tel que |z|^d r.

n 0

p0

bncp,nz^p =

p 0

n0

bncp,n z^p

Exemples 4.11

Soit b n zⁿ une série entière de rayon de convergence et de somme .R˜ S˜

x Soit a n zⁿ la série entière définie par a0= c^Á, a1= 1 et ak= 0 k ^t2.

Le rayon de convergence de cette série est +^f. La somme est définie sur ^Â par S(z) = z + c.

S'il existe un réel strictement positif r tel que |r| + |c|^d , alors le rayon de convergence de la R˜

série ayant pour somme ( o S)(z) = S˜ S˜(z + c) = est supérieur ou égal à r.

n 0

bn(z+c)ⁿ

Or (z+c)ⁿ = c'est-à-dire

k=0 n

Cnn−kc^n−kz^k=cⁿ+ncⁿ⁻¹z+Cnn−2

cⁿ⁻²z²+....+Cn

3c³z³+nczⁿ⁻¹+zⁿ

. bn(z+c)ⁿ =bn

k=0 n

Cnn−kc^n−kz^k=bncⁿ+nbncⁿ⁻¹z+Cnn−2bncⁿ⁻²z²+....+Cn3bnc³z³+nbnczⁿ⁻¹+bnzⁿ Ce qui donne pour les premiers termes :

b1(z+c)¹ =C11b1c+C1 0b1z

b2(z+c)² =C₂²b2c+C₂¹b2cz+C20b2z² b3(z+c)³ =C3

3b3c+C32b3c²z+C31b3cz²+C3 0b3z³

etc...

b4(z+c)⁴ =C44b4c+C4

3b4c³z+C42b4c²z²+C41b4cz³+C4 0b4z⁴

Soit un le coefficient d'ordre n de la série entière dont la somme est o S.S˜

On a donc un= .

k=0 +

C_n+k^k b_n+kc^k

x Soit a n zⁿ la série entière définie par a2 = 1 et ak = 0 k^z2. .

Le rayon de convergence de cette série est +^f. La somme est définie sur ^Â par S(z) = z².

Le rayon de convergence de la série ( o S)(z) = S˜ S˜(z²) = est supérieur ou égal à tout réel

n 0

bnz²ⁿ positif r vérifiant |r|^2d . Ce rayon de convergence est donc R˜ R˜.

Propriété 4.12

Soit a n zⁿ une série entière de rayon de convergence R > 0, de somme s et telle que a0^z 0.

Alors on peut construire une série entière ω n zⁿ de rayon de convergence R˜> 0 et de somme σ telle que, pour tout complexe z tel que |z| < min(R, ), on ait s(z) × σ(z) = 1 .R˜

Démonstration

Pour tout z vérifiant |z| < R, on a s(z) = .

n 0

anzⁿ =a0+

n 1

anzⁿ=a0+a0

n1

an

a0zⁿ =a0 1+

n 1

an

a0zⁿ

Si on pose U(z) = − , on a donc .

n 1

an

a0zⁿ s(z) =a0(1−U(z))

De plus, U est une fonction continue sur le disque ouvert de convergence B(0,R).

En particulier, lim et donc il existe une réel strictement positif r tel que |U(z)|<1 dès que |z|< r.

z 0 U(z) =0

Le rayon de convergence de la série entière zⁿ est 1 et sa somme est définie par (z) = S˜ 1 . 1−z

Nous sommes donc dans les conditions de l'utilisation de la propriété précédente et on peut construire une série de somme définie par ( o U)(z) = S˜ 1 .

1−U(z)

Enfin, il suffit de multiplier cette dernière série par a0 pour obtenir le résultat recherché.

Remarque 4.13

Soient u n zⁿ et v n zⁿ deux séries entières telles que un zⁿu vn zⁿ = 1.

n 0

n 0

Les premiers termes de la série produit de Cauchy sont u0v0, (u0v1 + u1v0)z, (u0v2 + u1v1 + u2v0)z², ....

De façon général, pour tout entier n non nul, le terme d'ordre n est (u0vn+u1vn−1+…+un−1v1+unv0)zⁿ. On donc u0v0 = 1 et, nt1, u0vn+u1vn−1++un−1v1+unv0=0.

Si on connaît les (un), on peut déterminer de proche en proche les (vn).

5. Dérivation et intégration

Définition 5.1

On appelle série dérivée de la série anzⁿ la série entière de terme général (n+1)an+1 zⁿ.

Remarques 5.2

• Si P = ^K[X], alors

k=0 n

akX^k=a0+a1X+a2X²+a3X³+...anXⁿ

P' = .

k=0 n

akX^k

=a1+2a2X+3a3X²+...+nanXⁿ⁻¹ =

k=1 n

kakX^k−1=

k=0 n−1

(k+1)ak+1X^k

• Lorsque l'on effectue un changement d'indice, on obtient .

k=0 N

(k+1)a_k+1z^k=

k=1 N+1

kakz^k−1

Lorsque la somme existe, nous avons alors .

n=0 +

(n+1)an+1zⁿ =

n=1 +

nanzⁿ⁻¹

Exemple 5.3

La série dérivée de la série zⁿ est la série entière de terme général pour n ^t 1 c'est-à-dire, à n!

zⁿ⁻¹ (n−1)!

nouveau la série entière de terme général zⁿ pour nt 0.

n!

Propriété 5.4

Une série entière et sa série dérivée ont le même rayon de convergence.