4. Séries entières : rayon de convergence

UNS Compléments d'algèbre et d'analyse L2 2016-2017

4. Séries entières : rayon de convergence

Exercice 4.1 Utilisation de la dénition du rayon de convergence Déterminer le rayon de convergence des séries entièresP

n≥0zⁿ, P

n≥0z²ⁿ,P

n≥018ⁿzⁿ et des polynômes vus comme séries entières.

Exercice 4.2. Utilisation du critère de d'Alembert Déterminer le rayon de conver- gence des séries entières suivantes. 1.P

n≥0 zⁿ

n!. 2.P

n≥0n³zⁿ. 3.P

n≥0P(n)zⁿ, oùP est un polynôme à coecients complexes. 4.P

n≥0P(n)αⁿzⁿ, oùP est un polynôme à coecients complexes et α >0. 5.P

n≥0

√nzⁿ.

Exercice 4.3 Utilisation du critère de d'Alembert pour les séries numériques Déterminer le rayon de convergence des séries entièresP

n≥02ⁿnz²ⁿ etP

n≥1 ln(n)

n 1 2ⁿz³ⁿ. Exercice 4.4 Détermination de rayons de convergence par comparaison Déterminer le rayon de convergence de la sérieP

n≥1anzⁿ dans les cas suivants.

1. Pour tout entiern≥2,an= ^10+2×(−1)_nln(n)^{n+3 cos(n)}.

2. Pour tout entiern≥1,a_n est le nombre de diviseurs positifs den. 3. Pour tout entiern≥1,an=Pn

k=1

√1 k.

Exercice 4.5 Rayon de convergence et somme Déterminer le rayon de convergence de la série entièreP

n≥0(3ⁿ+ 2ⁿ)zⁿ.

Exercice 4.6 Utilisation du produit de Cauchy Montrer que l'application dénie sur le disque unité ouvert parz7→ _(1−z)¹ ₂ s'écrit comme (restriction au disque unité ouvert) d'une somme de série entière.

Démonstration des propriétés du cours Exercice 4.7 Lemme d'Abel SoientP

n≥0a_nzⁿ une série entière etρ >0. Supposons que la suite (a_nρⁿ)_n≥0 soit bornée. Montrer que, pour tout nombre complexe z avec|z|< ρ, la série numériqueP

n≥0a_nzⁿ converge absolument.

Exercice 4.8 Rayon de convergence SoitP

n≥0anzⁿ une série entière. On note R= sup{r≥0,la suite (anrⁿ)_n≥0 est bornee} ∈R+∪ {+∞}

le rayon de convergence de cette série entière. Montrer que :

1. Si|z|< R, alors la suite(anzⁿ)_n∈Nest bornée, la série numériqueP

n≥0anzⁿconverge et la suite(anzⁿ)_n∈Nconverge vers0.

2. Si |z| > R, alors la suite (anzⁿ)_n∈N est non-bornée. la série numérique P

n≥0anzⁿ diverge et la suite(anzⁿ)_n∈Nne converge pas vers 0.

Exercice 4.9 Critère de d'Alembert pour les séries entières. Soit P

n≥0anzⁿ une série entière. Supposons que la suite(an)_n∈Nest non-lacunaire. Supposons aussi que la suite (^|a_|a^n+1|

n| )_n ait une limite L ∈R+∪ {+∞}. Montrer alors que le rayon de convergence de la série entièreP

n≥0a_nzⁿ est _L¹ (avec la convention ¹₀ = +∞et _+∞¹ = 0).

1

Exercice 4.10 Comparaison de rayons de convergence SoientP

n≥0anzⁿet P

n≥0bnzⁿ deux séries entières de rayons de convergence respectifsRa

et Rb. Supposons que :

∃N ∈N, ∀n≥N,|an| ≤ |bn|. Montrer queR_a ≥R_b.

Exercice 4.11 Rayon de convergence d'une somme Soient P

n≥0a_nzⁿ et P

n≥0b_nzⁿ deux séries entières de rayons de convergence respectifsR_a etR_b. Montrer que :

1. Si l'on note R le rayon de convergence de la série entière P

n≥0(a_n +b_n)zⁿ, alors R≥min(R_a, R_b).

2. SiR_a6=R_b, alorsR= min(R_a, R_b).

3. L'égalitéR= min(R_a, R_b)n'est pas toujours vraie siR_a=R_b.

Exercice 4.12 Rayon de convergence d'un produit de Cauchy Soient P

n≥0a_nzⁿ et P

n≥0b_nzⁿ deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Notons R le rayon de convergence du produit de Cauchy de ces deux séries entières. Montrer que R≥min(R_a, R_b).

Pour aller plus loin

Exercice 4.13 Formule générale SoitP

anzⁿune série entière de rayon de convergenceR. On note L= lim sup_n→+∞pⁿ

|an|= lim_n→+∞sup_k≥np^k

|ak| (pourquoi cette limite existe-t- elle ?). Montrer queR=_L¹.

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