Séries entières

Séries entières

Rayon de convergence Exercice 1. Vrai ou faux ?

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre- exemple.

1) Les sériesPa_nzⁿ et P(−1)ⁿa_nzⁿ ont même rayon de convergence.

2) Les sériesPa_nzⁿ et P(−1)ⁿa_nzⁿ ont même domaine de convergence.

3) Si la sériePanzⁿ a un rayon de convergence infini, alors elle converge uniformément surR.

4) SiPanxⁿ a un rayon de convergence finiR >0, alors sa somme admet une limite infinie en (−R)⁺ ou enR⁻.

5) Si f(x) =Panxⁿ a un rayon de convergence infini et si lesan sont strictement positifs, alors pour tout entierp, f(x)

x^p −→

x→+∞+∞.

Exercice 2. Calculs de rayons

Trouver le rayon de convergence de la série entièreP anzⁿ : 1) an −→

n→∞`6= 0. 2) (an) est périodique non nulle. 3) an=P

d|nd². 4) a_n=nⁿ/n!. 5) a_2n=aⁿ,a_2n+1=bⁿ, 0< a < b. 6) a_n2 =n!,a_k= 0 si √

k /∈N. 7) a_n= (lnn)^−lnn. 8) a_n=e^√n. 9) a_n= 1.4.7. . .(3n−2)

n! .

10) an= 1

√n

√n. 11) an=

1 + 1

2 +. . .+ 1 n

^lnn

. 12) an+2= 2an+1+an,a0=a1= 1.

13) an= ^kn_n

. 14) an=e⁽ⁿ⁺¹⁾²−e⁽ⁿ⁻¹⁾². 15) an=R1

t=0(1 +t²)ⁿdt.

16) an= √ⁿ

n− ⁿ⁺¹√

n+ 1. 17) an= √ cosnθ n+ (−1)ⁿ. Exercice 3. Centrale P’ 1996

Comment peut-on trouver le rayon de convergence d’une série entière dont la suite des coefficients admet une infinité de zéros ?

Exercice 4. Mines MP 2003

Quel est le rayon de convergence de la série entière : P∞

k=0cos^k(^2kπ₅ +α)x^k oùα∈R? Exercice 5. Ensi MP 2003

Rayon de convergenceR de la série entièreP∞

n=1 xⁿ Pn

k=1k^−α et étude pour x=±R.

Exercice 6. Centrale MP 2003

On considère les suites (an) et (bn) définies par : an= cos(nπ/3)

n^1/3 , bn= sin(an).

1) Déterminer les rayons de convergence des sériesPa_nxⁿ et Pb_nxⁿ. 2) Déterminer la nature dePa_nxⁿ et Pb_nxⁿ en fonction dex.

Exercice 7. Transformation de rayons

SoitPanzⁿ une série entière de rayon de convergenceR >0. Déterminer les rayons de convergence des séries :

1) Pa²_nzⁿ. 2) Pan

n!zⁿ. 3) Pn!an

nⁿ zⁿ. Exercice 8. Séries paire et impaire

On suppose que les sériesPa2nzⁿ etPa2n+1zⁿ ont pour rayons de convergenceRetR⁰. Déterminer le rayon de convergence deP

anzⁿ.

Exercice 9. Coefficients inverses

Trouver deux suites (an) et (bn) de complexes non nuls tels que anbn = 1 pour toutn, maisRaRb 6= 1 oùR_a etR_b sont les rayons de convergence des séries Pa_nzⁿ etPb_nzⁿ.

Exercice 10. Division parz−ρ Soit a(z) = P∞

n=0a_nzⁿ une série entière de rayon de convergence infini et ρ > 0. On définit la série entièreb(z) =P∞

n=0b_nzⁿ de sorte que (z−ρ)b(z) =a(z) en cas de convergence deb(z).

1) Prouver l’existence et l’unicité des coefficientsbn. 2) Quel est le rayon de convergence deb(z) ? Exercice 11. Développer peut être dangereux

Pour n∈Netx∈Ron poseun(x) =x(1−x) 2

⁴ⁿ . 1) Déterminer le domaine de convergence de la sérieP∞

n=0u_n(x).

2) On développeun(x) par la formule du binôme : un(x) =P

4ⁿ6k62.4ⁿakx^k. Montrer que le rayon de convergence de la série entière P

k>1akx^k est égal à 1 (en convenant que les ak non définis valent zéro).

Développement, sommation Exercice 12. Développements en série entière

Développer en série entière les fonctions suivantes :

1) ln(1 +x+x²). 2) (x−1) ln(x²−5x+ 6). 3) xln(x+√

x²+ 1 ).

4) x−2

x³−x²−x+ 1. 5) 1

1 +x−2x³. 6) 1−x

(1 + 2x−x²)². 7)

r1−x

1 +x. 8) arctan(x+ 1). 9) arctan(x+√

3 ).

10) Rx t=0

ln(t²−5t/2 + 1)

t dt. 11)(1 +x) sinx x

²

. 12) R2x

t=xe^−t2dt.

13) e^−2x2Rx

t=0e^2t2dt. 14) arcsin√ x

px(1−x). 15) sin(¹₃arcsinx).

Exercice 13. Ensi PC 1999

Développer en série entière : ln(√

1−2xcha+x²).

Exercice 14. e^x2/(1−x)

Développer en série entière e^x

1−x puis e^x2 1−x. Exercice 15. Mines-Ponts MP 2004

Développer en série entièref(x) =p x+√

1 +x².

Exercice 16. DSE d’une fraction rationnelle par récurrence linéaire Développer f(x) = x

1−x−x² en série entière en utilisant la relation : (1−x−x²)f(x) =x.

Exercice 17. Produit de polynômes Quel est le coefficient dexⁿ dans

1 +x+. . .+xⁿ

1 + 2x+. . .+ (n+ 1)xⁿ

1 + 4x+. . .+ (n+ 1)²xⁿ

? Exercice 18. Développement en série entière deζ(1 +x)−1/x

1) Vérifier que pourx∈]0,+∞[ on a : ζ(1 +x)−1

x=P∞ n=1

1 n^1+x −1

x 1

n^x − 1 (n+ 1)^x

. 2) Pourp∈Non poseγp = lim_k→∞ln^p(1)

1 +. . .+ln^p(k)

k −ln^p+1(k+ 1) p+ 1

. Justifier l’existence deγp

et montrer que|γp|6(p/e)^p.

3) Montrer alors que pourx∈]0,1[ on a : ζ(1 +x)− 1 x =P∞

p=0

(−1)^pγp

p! x^p.

Exercice 19. Sommation de séries entières Calculer les sommes des séries suivantes :

1) P∞ n=0 xⁿ

2n−1. 2) P∞

n=0n²xⁿ. 3) P∞

n=0n³xⁿ. 4) P∞

n=0 xⁿ

(n+ 1)(n+ 3). 5) P∞ n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

4n²−1 . 6) P∞

n=0 xⁿ

4n−1,x>0.

7) P∞

n=0 n+ 3

2n+ 1xⁿ. 8) P∞ n=1 xⁿ

n ch(na). 9) P∞

n=0

nsin²(nθ) 2ⁿ . 10) P∞

n=0

n²+ 1

n+ 1 xⁿ. 11)P∞ n=0

xⁿ

(2n)!. 12)P∞

n=0

sin²(nθ) n! x²ⁿ. 13) P∞

n=0n⁵xⁿ

n! . 14)P∞

n=0 x³ⁿ

(3n)!. 15)P∞

n=1 2n n+1

xⁿ. 16) P∞

n=0

1 n!

Rx

t=1lnⁿtdt. 17)P∞

n=1 1 +¹₂+. . .+¹_n xⁿ. Exercice 20. Suite récurente linéaire

On définit deux suites (u_n) et (v_n) par : u₀= 1,v₀= 0, u_n+1=u_n+ 2v_n, v_n+1=u_n+v_n. Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière P∞

n=0u_nxⁿ. Exercice 21. Série matricielle, Centrale MP 2000

1) Montrer l’existence def(z) =P∞

k=1kz^k pourz∈C,|z|<1.

2) SoitA∈ Mn(C). Montrer queP∞

k=1kA^k converge si et seulement si les valeurs propres deAsont de module strictement inférieur à 1.

3) La sommeS=P∞

k=1kA^k est-elle inversible ? Exercice 22. Série des traces (Centrale MP 2003)

SoitA=

1 1 1

1 1 0

1 0 0

!

∈ M3(R).

1) Montrer queAest diagonalisable et admet trois valeurs propres réelles dont on précisera les parties entières.

2) On poset_n= tr(Aⁿ). Exprimert_n en fonction det_n−1, t_n−2, t_n−3. 3) Déterminer le rayon de convergence de la série entièreP∞

n=0t_nzⁿ et calculer sa somme.

Exercice 23. Centrale MP 2000 CalculerP∞

n=1

(−1)ⁿ 3n+ 1.

Exercice 24. PP(n)xⁿ, Ensi P 91 Rayon et somme deP

P(n)xⁿ oùP est un polynôme de degrép.

Exercice 25. P

e^inθ/2ⁿ, Ensi P 91 CalculerP∞

n=1

sinnθ

2ⁿ etP∞ n=1

cosnθ n2ⁿ . Exercice 26. Ensae MP^∗ 2000

Soit (u_n) définie par, pour toutn∈N,Pn k=0

u_n−k

k! = 1. Trouver la limite de (u_n).

Exercice 27. Q∞

n=1(1−qⁿx) Soitq∈]−1,1[ etf(x) =Q∞

n=1(1−qⁿx).

1) Montrer quef(x) existe pour toutx∈Ret quef est développable en série entière au voisinage de 0.

On admettra que si une fonctiong est DSE alorse^g l’est.

2) A l’aide de la relation : f(x) = (1−qx)f(qx), calculer les coefficients du développement de f et le rayon de convergence.

Exercice 28. Fonction non DSE Soitf(x) =P∞

n=0e^−n+n2ix. Montrer que f est de classeC^∞ surRmais n’est pas développable en série entière autour de 0.

Exercice 29. Ens Ulm-Lyon-Cachan MP^∗ 2003 Soitα >0. On considère la fonctionfα: x7→P∞

n=1e^−nαe^inx. Montrer quef estC^∞. Donner une CNS surαpour quef soit développable en série entière en tout point deR.

Exercice 30. Thm de réalisation de Borel

Soit (a_n) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonctionf :R→Rde classeC^∞ telle que pour tout entiernon aitf⁽ⁿ⁾(0) =n!a_n.

Soit ϕ:R→Rune fonction de classe C^∞ vérifiant : ∀x∈[−1,1], ϕ(x) = 1 et ∀x /∈[−2,2], ϕ(x) = 0 (l’existence deϕfait l’objet de la question2). On poseϕ_n(x) =xⁿϕ(x),M_n= max(kϕ⁰_nk∞, . . . ,kϕ⁽ⁿ⁾n k∞) etf(x) =P∞

n=0a_nxⁿϕ(λ_nx) où (λ_n) est une suite de réels strictement positifs, tendant vers +∞et telle queP|a_n|M_n/λ_n converge.

1) Montrer quef est bien définie, est de classe C^∞ surRet vérifief⁽ⁿ⁾(0) =n!a_n.

2) Construction deϕ: à l’aide de fonctions du typex7→exp(−1/x) construire une fonctionψde classe C^∞ sur [0,+∞[ nulle sur [0,1]∪[2,+∞[ et strictement positive sur ]1,2[.

Vérifier alors queϕ(x) =R+∞

t=|x|ψ(t) dt.R+∞

t=0 ψ(t) dtconvient.

Étude au bord Exercice 31. Étude sur le cercle de convergence

Pour x∈Ron pose f(x) =P∞

n=1xⁿsin 1√ n.

1) Déterminer le rayon de convergence,R, de cette série.

2) Étudier la convergence def pourx=±R.

3) Déterminer lim_x→R⁻f(x).

Exercice 32. Coefficients équivalents⇒séries équivalentes

Soit (a_n) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entièreA(x) =P∞

n=0a_nxⁿ est 1 et que la série diverge pourx= 1.

1) Montrer queA(x) −→

x→1⁻+∞.

2) Soit (bn) une suite telle quebn∼an etB(x) =P∞

n=0bnxⁿ. Montrer queB(x)∼A(x) pourx→1⁻. Exercice 33. Produit de Cauchy

Soit (c_n) le produit de Cauchy de la suite (a_n) par la suite (b_n). Montrer que si les trois séries Pa_n, Pb_n et Pc_n convergent versA,B,C, alors C =AB (considérer les séries entières Pa_nzⁿ, Pb_nzⁿ et Pc_nzⁿ).

Exercice 34. Produit de Cauchy

Soit (c_n) le produit de Cauchy de la suite (a_n) par la suite (b_n). On suppose que la sérieA(z) =P∞ n=0a_nzⁿ a un rayonR >0 et quebn/bn+1 −→

n→∞λavec|λ|< R. Montrer quecn/bn −→

n→∞A(λ).

Exercice 35. CCP 2015

On considère la série de fonctionsP

(−1)ⁿln(n)xⁿ. 1) Donner le rayon de convergence de cette série entière.

2) On noteS sa somme. Montrer que, pour toutx∈]−1,1[, S(x) = 1

1 +x

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ln(1 +1 n)xⁿ⁺¹. 3) En déduire queS a une limite en 1⁻ et la calculer.

Exercice 36. Mines 2017

Domaine de définition et équivalent quandx→1⁻ def(x) =P∞ n=1xⁿ².

Exercice 37. Mines 2017

Soit (an)n∈Nune suite réelle dont la série converge.

1) Donner le domaine de convergence de la série entièreP∞ n=0

anxⁿ

n! . On notef la fonction associée à la somme de cette série.

2) Soit (s_n)_n∈Nune suite réelle telle que s_n −→

n→∞`∈R. On note, sous-réserve d’existence et pourx∈R, S(x) =P∞

n=0

s_nxⁿ

n! . Montrer queS(x)e^−x −→

x→+∞`. Indication : se ramener au cas`= 0.

3) Montrer que l’intégraleR+∞

t=0 f(t)e^−tdt converge et vautP∞

n=0an. Indication : poser sn =Pn−1 k=0ak

et dériverS(x)e^−x.

4) A-t-on une réciproque au résultat précédent ?

Équations différentielles Exercice 38. Équation différentielle

Montrer que l’équation 3xy⁰+ (2−5x)y =x admet une solution développable en série entière autour de 0. Calculery(1) à 5.10⁻⁵près.

Exercice 39. DSE de tan

1) En utilisant la relation : tan⁰= 1 + tan², exprimer tan⁽ⁿ⁾en fonction de tan, . . . ,tan⁽ⁿ⁻¹⁾. En déduire que : ∀x∈[0, π/2[, tan⁽ⁿ⁾(x)>0.

2) Montrer que la série de Taylor de tan en 0 converge sur ]−π/2, π/2[.

3) Soitf la somme de la série précédente. Montrer que f⁰ = 1 +f² et en déduire quef = tan.

4) Prouver que le rayon de convergence est exactementπ/2.

Exercice 40. 1/cosx, Centrale 2014 Soitϕ(x) = 1

cosx : on suppose queϕadmet un développement en série entière,ϕ(x) =P∞ n=0

En

(2n)!x²ⁿ valide pour tout x∈]−α, α[ avecα∈]0,^π₂[.

1) Montrer que, pour toutn>1,E_n= (−1)ⁿ⁺¹Pn−1

k=0(−1)^{k 2n}_2k E_k. 2) On suppose que, pour tout x ∈ ]−^π₂,^π₂[, tan(x) = P∞

n=0

F_n

(2n+ 1)!x²ⁿ⁺¹. En utilisant la relation tan⁰ = 1 + tan²montrer que, pour toutn,Fn>0.

3) En utilisantϕ⁰(x) montrer que, pour toutn,En+1=Pn k=0

2n+1 2k

EkF_n−k. Exercice 41. DSE de(arcsinx)²

On posef(x) = arcsin√ x 1−x².

1) Montrer que f admet un développement en série entière au voisinage de 0 et préciser le rayon de convergence.

2) Chercher une équation différentielle d’ordre 1 vérifiée parf. En déduire les coefficients du développe- ment en série entière def.

3) Donner le développement en série entière de arcsin²x.

Exercice 42. P∞ n=0 1

2n n

On posef(x) =P∞

n=0

xⁿ

2n n

.

1) Déterminer le rayon de convergence et montrer quef vérifie l’équation : x(4−x)y⁰−(x+ 2)y=−2.

2) Résoudre l’équation précédente pourx >0 (utiliser le DL def en 0 à l’ordre 1 pour fixer la constante) et en déduire la somme de la sérieP∞

n=0

1

2n n

.

Exercice 43. Calcul de somme On posef(x) =P∞

n=0 n!x²ⁿ⁺¹ 1.3.5. . .(2n+ 1). 1) Déterminer le rayon de convergence.

2) Étudier la convergence aux bornes de l’intervalle de convergence.

3) Calculerf(x).

Exercice 44. Fonction génératrice du nombre de partitions On noteTn le nombre de partitions d’un ensemble ànéléments.

1) Montrer queTn+1=Pn k=0

n k

Tk. 2) Montrer queP∞

n=0

Tnxⁿ

n! =e^ex−1. Exercice 45. Dérangements, Mines 2015

E est un ensemble de cardinaln,Sn le nombre de permutations deE sans point fixe.

1) Montrer quen! =Pn k=0

n k

Sk. 2) On posef :







]−1,1[ −→ R x 7−→ P∞

n=0

Sn

n!xⁿ . a) Montrer quef est bien définie.

b) Montrer quef(x) = e^−x 1−x· c) En déduire queS_n =n!Pn

k=0

(−1)^k k! · d) Montrer enfin queS_n =E(n!

e + 1

2) pourn>1.

Exercice 46. Suite récurrente

Soit (a_n) la suite réelle définie par : a₀= 1, 2a_n+1=Pn k=0

n k

a_ka_n−k. On posef(x) =P∞ n=0

a_n n!xⁿ. 1) Montrer que le rayon de convergence est non nul.

2) Calculerf(x).

3) En déduirean en fonction den.

Exercice 47. Fonctionζ

Pour |x|<1 on pose : Z(x) =P∞

n=1ζ(2n)xⁿ.

Montrer queZ vérifie l’équation différentielle : 2xZ⁰(x)−2Z²(x) +Z(x) = 3xζ(2) (écrireZ(x) comme somme d’une série double, intervertir les sommations, remplacer et. . . simplifier).

En déduire la relation de récurrence : ∀n>2, (n+¹₂)ζ(2n) =Pn−1

p=1ζ(2p)ζ(2n−2p).

Exercice 48. DSE de tan On noteζ_i(n) =P∞

k=0 1

(2k+ 1)ⁿ etZ_i(x) =P∞

n=1ζ_i(2n)xⁿ. En s’inspirant de l’exercice47montrer que Zi vérifie l’équation différentielle : 2xZ_i⁰(x)−2Z_i²(x)−Zi(x) =xζi(2).

Déterminer alors deux réelsαetβ tels que T(x) =Zi(x²)/xsoit égal àαtanβxsur ]−1,1[.

Exercice 49. DSE detanx.

1) Poura, b∈Ravecb6≡0 (modπ), vérifier l’identité : (1 +ia)−e^ib(1−ia)

1−e^ib = 1− a

tan(b/2). 2) Poura, b∈Cetn∈N^∗, vérifier l’identité : aⁿ+bⁿ =Qn−1

k=0(a−be^i(2k+1)π/n).

3) Pourx∈Retp∈N^∗, vérifier l’identité :

1 + ix 2p

^2p +

1− ix 2p

^2p

2 =Qp−1

k=0

1− x²

4p²tan²(2k+ 1)π 4p

.

4) Démontrer alors : ∀x∈]−^π₂,^π₂[, ln(cosx) =P∞ k=0ln

1− 4x² (2k+ 1)²π²

. 5) En déduire : ∀x∈]−^π₂,^π₂[, tanx=P∞

k=0 8x

(2k+ 1)²π²−4x². 6) Pourn∈Navecn>2, vérifier l’identité : P∞

k=0

1

(2k+ 1)ⁿ = 2ⁿ−1 2ⁿ ζ(n).

7) Démontrer enfin : ∀x∈]−^π₂,^π₂[, tanx=P∞ n=1

2(4ⁿ−1)

π²ⁿ ζ(2n)x²ⁿ⁻¹. Exercice 50. Mines 2017

Soit l’équation fonctionnelle (E) : f⁰(x) = αf(x) +f(λx), avec α ∈ R, λ ∈ ]−1,1[. On cherche S_E l’ensemble des solutions de (E) de classeC¹ surR.

1) Montrer que toute solution est de classeC^∞. 2) Trouver les solutions développables en série entière.

3) Trouver l’ensembleSE.

Intégrales Exercice 51. R1

t=0t^tdt

1) A l’aide d’un développement en série entière, montrer queR1

t=0t^tdt=P∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹ nⁿ . 2) Calculer la valeur commune des deux membres à 10⁻⁵ près.

Exercice 52. R1

t=0ln(t) ln(1−t) dt On admet que P∞

n=1

1 n² =π²

6 . CalculerR1

t=0ln(t) ln(1−t) dt.

Exercice 53. Centrale PSI 1997

Établir la convergence puis calculer la valeur deR1 t=0

ln(t²) ln(1−t²) t² dt.

Exercice 54. Rx t=0

ln(1−t) t dt

Montrer que pourx∈]−1,1[ : P∞ n=1

xⁿ

n² =−Rx t=0

ln(1−t)

t dt. En déduire la valeur deR1 t=0

ln(1−t) t dt.

Exercice 55. Intégrale elliptique

Montrer que la longueur d’une ellipse de demi-axesa, best :

L= 2π s

a²+b² 2

∞

X

p=0

a²−b² a²+b²

!2p

4p 2p

2p p

4^3p(1−4p). Exercice 56. NormeL²

Soitf(z) =P∞

n=0anzⁿ une série de rayon R >0.

Montrer, pour 06r < R : P∞

n=0|a_n|²r²ⁿ = 1 2π

R2π

θ=0|f(re^iθ)|²dθ.

Analycité Exercice 57. Série à valeurs réelles

Soit f(z) =Pa_nzⁿ une série de rayon R >0 telle que pour toutz ∈˚D(0, R) on af(z)∈R. Montrer quef est constante.

Exercice 58. Formules de Cauchy

SoitU un ouvert deCcontenant 0 etf :U →C analytique. On noteP∞

n=0anzⁿ le développement en série entière def en 0,R son rayon etdla distance de 0 à fr(U) (d= +∞siU =C).

1) Montrer, pour 0< r <min(R, d) et n∈N: a_n = 1 2π

R2π θ=0

f(re^iθ) rⁿe^inθ dθ.

2) Montrer que l’applicationr7→R2π θ=0

f(re^iθ)

e^inθ dθest analytique sur [0, d[ (minorer le rayon de convergence du DSE def enr₀e^iθet majorer en module les coefficients lorsqueθdécrit [0,2π] etr₀est fixé dans [0, d[

à l’aide d’un recouvrement ouvert de [0,2π]). En déduire que l’égalité du1)a lieu pour toutr∈[0, d[.

3) Pour 0< r < det|z|< ron poseg(z) = 1 2π

R2π θ=0

f(re^iθ)

re^iθ−zre^iθdθ. Montrer que gest la somme d’une série entière de rayon supérieur ou égal àret queg coïncide avecf sur˚D(0, r).

Applications : 4) R>d.

5) SiU =Cet f est bornée alorsf est constante (thm de Liouville).

6) SiP ∈C[X] ne s’annule pas alors P est constant (thm de d’Alembert-Gauss).

7) Si (fn) est une suite de fonctions analytiques convergeant uniformément sur U vers une fonction f alorsf est analytique sur U (thm de Weierstrass, comparer avec le cas réel).

8) La composée de deux fonctions analytiques est analytique.

Exercice 59. Formule des résidus

SoitP ∈C[X] ayant pour racines z1, . . . , zk de multiplicitésm1, . . . , mk et r∈R^+∗\ {|z1|, . . . ,|zk|}.

Montrer : 1 2π

R2π θ=0

P⁰(re^iθ)

P(re^iθ)re^iθdθ=P

|zj|<rmj. Exercice 60. Croissance def en fonction des coefficients

Soitf(z) =P∞

n=0anzⁿ une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence entre les propriétés :

1: Pour touta >0, la fonctionz7→f(z)e^−a|z| est bornée surC. 2: pⁿ

n!|an| −→

n→∞0.

On utilisera les formules de Cauchy (cf. exercice 58).

Exercice 61. Centrale MP 2002

1) Développer en série entièref : z7→z(1−z)⁻². Montrer quef est injective sur˚D(0,1).

2) Soit f(z) = z +P+∞

n=2a_nzⁿ la somme d’une série entière de rayon de convergence au moins 1 à coefficients réels. On supposef injective sur ˚D(0,1) et on veut prouver : ∀n>1,|an|6n.

a) Montrer pour|z|<1 quef(z)∈R⇔z∈Ret en déduire : Im(z)>0⇒Im(f(z))>0.

b) Pour 0< r <1 calculerRπ

t=0Im(f(re^it)) sinntdt. En déduire|an|rⁿ 6n|a1|r et conclure.

Divers Exercice 62. Anneau des séries entières

SoitAl’ensemble des suites (a_n) de complexes telles que la série entièrePa_nzⁿ a un rayon non nul. On munitAde l’addition terme à terme et du produit de Cauchy noté∗.

1) Vérifier queAest un anneau intègre. Quels sont les éléments deAinversibles ?

2) SoitI_k ={a= (a_n)∈Atqa₀=. . .=a_k = 0}. Montrer que les idéaux deAsont {0}, A et lesI_k, k∈N.

3) Soit f(x) = 2−

r1−2x

1−x. Montrer que f est développable en série entière sur ]−¹₂,¹₂[ et que si f(x) =P∞

n=0u_nxⁿ alors la suite (u_n) vérifie la relation de récurrence : 2u_n+1= 1 +Pn

k=1u_ku_n+1−k. 4) Soit a = (an) ∈ A avec a0 = 1 et |an| 6 1 pour tout n. Montrer qu’il existe une unique suite b= (bn)∈Atelle queb0= 1 etb∗b=a. Pour prouver que le rayon de convergence debest non nul on établira par récurrence que|bn|6un.

5) Poura∈Aquelconque, étudier l’équation b∗b=ad’inconnueb∈A.

Exercice 63. Ulm MP^∗ 2000

Soitz1, . . . , zp∈C,p1, . . . , pp∈R⁺ tels quePp

i=1pi= 1, etω∈R. Pour n > pon posez_n =e^iωPp

j=1z_n−jp_j. Étudier la suite (z_n).

Exercice 64. X MP^∗2001

SoitD le disque ouvert deCde centre 0 et rayon 1.

1) Soitϕ(z) =P

n∈Na_nzⁿ une série entière de rayonR>1 etr∈]0,1[. Montrer que a_n= 1

2πrⁿ Z 2π

θ=0

ϕ(re^iθ)e^−inθdθ.

2) SoitE l’ensemble des fonctions de D dans Ccontinues et dont la restriction à D est somme d’une série entière. Montrer quef 7→ kfk= sup{|f(z)|, z∈D} définit une norme surE et que pour cette normeE est complet.

3) Montrer que l’ensemble des polynômes à coefficients complexes est dense dansE.

Exercice 65. Polynômes, Centrale 2013 SoitP

anzⁿ de rayonR etf(z) =P∞ n=0anzⁿ.

1) Soit 06r < R. Calculer en fonction de an, ret nl’intégraleR2π

θ=0f(re^iθ)e^−inθdθ.

2) a)On suppose queR= +∞et quef est bornée surC. Montrer qu’alorsf est constante.

b) On suppose qu’il existeP∈R[X] tel que, pour tout z∈C, |f(z)|6|P(z)|. Montrer quef est un polynôme.

3) a)On suppose que lesa_n sont réels. Montrer quePa²_nr²ⁿ est convergente et exprimer sa somme en fonction def.

b) On suppose que R>1, que pour tout n, a_n ∈ Zet que f est bornée sur le disque unité ouvert.

Montrer quef est un polynôme.

solutions

Exercice 2.

1) R= 1.

2) R= 1.

3) R= 1.

4) R= ¹_e. 5) R= 1/√

b.

6) R= 1.

7) R= 1.

8) R= 1.

9) R= ¹₃. 10) R= 1.

11) R= 1.

12) R=√ 2−1.

13) R= (k−1)^k−1 k^k . 14) R= 0.

15) R= ¹₂, 2t61 +t²62.

16) R= 1, a_n ∼(lnn)/n². 17) R= 1.

Exercice 4.

La suite

cos(^2kπ₅ +α)

k∈N

est périodique de période 5, donc prend au plus cinq valeurs distinctes. soit acelle de plus grande valeur absolue. AlorsR= 1

|a|. Exercice 5.

Pn

k=1k^−α∼





 n^1−α

1−α siα <1, ln(n) siα= 1, ζ(α) siα >1.

Dans les trois cas, on obtientR= 1.

Il y convergence enx= 1 si et seulement siα <0 et il y a divergence grossière enx=−1 lorsqueα >1 vu les équivalents. Pourα61 etx=−1 il y a convergence (CSA).

Exercice 6.

1) (a_n) est bornée et (na_n) ne l’est pas, doncR_a= 1. |bn| ∼ |an|doncR_b= 1.

2) Il y a doute seulement pourx=±1. Le critère de convergence d’Abel (hors programme) s’applique, Pa_nxⁿ converge six=±1. b_n =a_n−¹₆a³_n+O(n^−5/3) et le critère d’Abel s’applique aussi à Pa³_n (linéariser le cos³). Par contre il y a divergence pourx=−1.

Résolution conforme au programme : regrouper par paquets de six termes.

Exercice 7.

1) R⁰=R². 2) R⁰=∞.

3) R⁰=eR.

Exercice 8.

min(√ R,√

R⁰).

Exercice 10.

1) Série produit dea(z) et 1

z−ρ⇒bn=P∞

k=0ak+n+1ρ^k.

2) Sia(ρ)6= 0 : b(z) converge pour|z|< ρ et tend vers l’infini pourz→ρ⁻⇒R=ρ.

Sia(ρ) = 0 : ∀r > ρ,|ap|6 M

r^p ⇒ |bn|6 M

rⁿ(r−ρ) ⇒R=∞.

Exercice 11.

1) ]−1,2[.

2) Pour 06k64ⁿ, on a|ak|6 4⁴ⁿⁿ/2

.

2⁴ⁿ (atteint pourk= 4ⁿ/2).

Donca_n −→

n→∞0 et six >1 alorsa_3∗4n/2x^3∗4n/2 6 −→

n→∞0.

Exercice 12.

1) = ln(1−x³)−ln(1−x) =P∞ n=0

x³ⁿ⁺¹

3n+ 1 + x³ⁿ⁺²

3n+ 2 −2x³ⁿ⁺³ 3n+ 3

. 2) Factoriser : −ln 6 + (⁵₆+ ln 6)x−P∞

n=2

n+ 1

2ⁿ + 2n+ 1 3ⁿ

xⁿ n(n−1). 3) Dériver le ln : P∞

n=1−1/ ⁿ⁻¹₂ x²ⁿ 2n−1. 4) P∞

n=0−2n+ 5 + 3(−1)ⁿ

4 xⁿ.

5) ¹₅P∞ n=0

1 + 2√

2ⁿ(2 cos(3nπ/4)−sin(3nπ/4)) xⁿ. 6) Intégrer : P∞

n=0

n+ 1 4√

2 (−√

2−1)ⁿ⁺²−(√

2−1)ⁿ⁺² xⁿ. 7) =√1−x

1−x² =P∞ n=0

−1/2 n

(−1)ⁿ(x²ⁿ−x²ⁿ⁺¹).

8) Dériver : π 4 −P∞

n=1

sin(nπ/4) n√

2ⁿ (−1)ⁿxⁿ. 9) Dériver : π

3 +P∞

n=1(−1)ⁿ⁻¹sin(nπ/6) n2ⁿ xⁿ. 10) Dériver, factoriser : P∞

n=1−2ⁿ+ 2⁻ⁿ n² xⁿ. 11) Linéariser : 1 +P∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹4ⁿ (2n)!

x²ⁿ⁻¹+ (2n²+ 3n−1) (2n+ 1)(2n+ 2)x²ⁿ

. 12) Dériver : P∞

n=0

(−1)ⁿ(2²ⁿ⁺¹−1) n! (2n+ 1) x²ⁿ⁺¹. 13) y⁰ =−4xy+ 1 : P∞

n=0(−1)ⁿ 8ⁿn!

(2n+ 1)!x²ⁿ⁺¹. 14) 2x(1−x)y⁰+ (1−2x)y= 1 : P∞

n=0 4ⁿ

(2n+ 1) ²ⁿ_nxⁿ. 15) (1−x²)y⁰⁰−xy⁰+y

9 = 0 : P∞ n=0

4^{n 3n}_n

(2n+ 1)3³ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺¹. Exercice 13.

= ¹₂ln(e^a−x) +¹₂ln(e^−a−x) =P∞ k=1

ch(ka) k x^k. Exercice 14.

e^x2

1−x= (1 +x) e^x2

1−x² =P∞ n=0

1 + 1

1!+. . .+ 1 n!

(x²ⁿ+x²ⁿ⁺¹).

Exercice 15.

f(shy) =e^y/2 d’où l’équation différentielle : (1 +x²)f⁰⁰(x) +xf⁰(x) = ¹₄f(x).

En posantf(x) =P∞

n=0anxⁿ on obtient 4(k+ 1)(k+ 2)ak+2=−(2k+ 1)(2k−1)ak aveca₀=f(0) = 1 et a₁=f⁰(0) = ¹₂, d’oùa_2p= (−1)^{p+1 4p−2}_2p−1

p2^4p sip>1 eta_2p+1= (−1)^{p 4p}_2p

2^4p+1(2p+ 1) sip>0.

Le rayon de convergence de la série correspondante est 1, ce qui valide la méthode (avec le thm. d’unicité de Cauchy-Lipschitz).

Exercice 16.

an=a_n−1+a_n−2⇒an = 1√ 5

1 +√ 5 2

n

−

1−√ 5 2

n .

Exercice 17.

Coefficient dexⁿ dans (P x^k)(P

(k+ 1)x^k)(P

(k+ 1)²x^k) = 1 +x (1−x)⁶

⇒cn= ⁿ⁺⁵₅

+ ⁿ⁺⁴₅

=(2n+ 5)(n+ 4)(n+ 3)(n+ 2)(n+ 1)

120 .

Exercice 19.

1) −1 +√

xargth√

xpour 06x <1 et−1−√

−xarctan√

−xpour−16x60.

2) x+x² (1−x)³. 3) x(1 + 4x+x²)

(1−x)⁴ .

4) 2(1−x²) ln(1−x) +x²+ 2x

4x³ (décomposer en éléments simples).

5) −1

2(x+ (x²+ 1) arctanx) (décomposer en éléments simples).

6) −1 + u

4 argthu−u

2arctanu,u=√⁴ x.

7) 1

2(1−x)+ 5 2√

xargth√

xpour 06x <1 et 1

2(1−x)+ 5 2√

−xarctan√

−xpour−1< x60.

8) −1

2ln(1−2xcha+x²).

9) 1− 5 cos 2θ−4

(5−4 cos 2θ)² (linéariser).

10) 2x−1

(1−x)² −2 ln(1−x)

x .

11) ch√

xpourx>0 et cos√

−xpour x60.

12) e^x2

2 −e^{x2cos 2θ}

2 cos(x²sin 2θ).

13) (x+ 15x²+ 25x³+ 10x⁴+x⁵)e^x. 14) e^x+ 2e^−x/2cos(x√

3/2)

3 , (f⁰⁰⁰=f).

15) 1−√

1−4x−2x 2x√

1−4x . 16) x²−1

2 . 17) −ln(1−x)

1−x . Exercice 20.

R=√

2−1,P= 1−x 1−2x−x². Exercice 21.

2) S’il existeλ∈sp(A) tel que|λ|>1 et sixest un vecteur propre associé alorskA^kx=kλ^kx6→0 donc la série diverge.

Si toutes les valeurs propres deAsont de module<1, commekA^k=P

λλ^kPλ(k) où lesPλ sont des polynômes à coefficients matriciels, la série converge absolument.

3) S=P∞

k=0(k+ 1)A^k+1 =AS+P∞

k=0A^k+1=AS+A(I−A)⁻¹ doncS=A(I−A)⁻² est inversible ssiA l’est.

Exercice 22.

1) χA(λ) = −λ³+ 2λ²+λ−1. χA(−1) >0, χA(0) < 0,χA(1) > 0,χA(2)> 0, χA(3)< 0 donc χA

admet une racine dans chacun des intervalles ]−1,0[, ]0,1[ et ]2,3[.

2) Cayley-Hamilton : t_n= 2t_n−1+t_n−2−t_n−3.

3) Soient−1< α <0< β <1<2< γ <3 les valeurs propres deA. On at_nzⁿ= (αz)ⁿ+ (βz)ⁿ+ (γz)ⁿ donc la sérieP∞

n=0t_nzⁿ converge si et seulement si|γz|<1 et vaut : 1

1−αz+ 1

1−βz + 1 1−γz = 1

z χ⁰

χ(1/z) = −z²−4z+ 3 z³−z²−2z+ 1.

Exercice 23.

=−R1 t=0

t³

1 +t³dt= ln 2

3 + π

3√ 3−1.

Exercice 24.

R= 1. On décomposeP sous la forme : P =a₀+a₁(X+1)+a₂(X+1)(X+2)+. . .+a_p(X+1). . .(X+p).

AlorsP∞

n=0P(n)xⁿ= a₀

1−x+ a₁

(1−x)² +. . .+ p!a_p (1−x)^p+1. Exercice 25.

P∞ n=1

sinnθ

2ⁿ = 2 sinθ

5−4 cosθ, P∞ n=1

cosnθ

n2ⁿ = ln 2−¹₂ln(5−4 cosθ).

Exercice 26.

f(t) =P∞

n=0untⁿ= e^−t

1−t =P∞ n=0

Pn k=0

(−1)^k

k! tⁿ doncun −→

n→∞

1 e. Exercice 27.

1) Pour|x|<1

q : lnf(x) =P∞

n=1ln(1−qⁿx) =−P∞ n=1

P∞ k=1

q^knx^k

k =−P∞ k=1

q^kx^k k(1−q^k), f =e^lnf est DSE par composition.

2) an = q^n(n+1)/2

(q−1). . .(qⁿ−1),R=∞.

Exercice 28.

|f^(k)(0)|=P∞

n=0n^2ke⁻ⁿ >k^2ke^−k, donc |f^(k)(0)|

k! >k^ke^−k⇒R= 0.

Exercice 29.

Il y a dérivation terme à terme facilement et indéfiniment.

DSE au voisinage de 0 : on envisage de permuter lesPdans : fα(x) =P∞ n=1

P∞

p=0e^−nα(inx)^p

p! , ce qui est légitime si la série P∞

n=1e^−nαe^n|x| converge. On en déduit qu’une condition suffisante pour que f soit DSE au voisinage de 0 est α>1 (avec convergence six∈]−1,1[ pourα= 1 et pour toutx∈Rsi α >1).

Casα <1 : |f^(k)(0)|=P∞

n=1e^−nαn^k>e^−NαN^k avecN =bk^1/αcdonc pourr >0 fixé etktendant vers l’infini on a ln

f^(k)(0)r^k k!

∼1 α−1

kln(k) et la série de terme généralf^(k)(0)r^k

k! diverge grossièrement.

DSE au voisinage de a6= 0 : même raisonnement en écrivantf(x) =P∞ n=1

P∞

p=0e^−nαe^ina(in(x−a))^p

p! .

En conclusion,f est analytique sur Rsi et seulement siα>1.