V Fonctions développables en série entière

I Convergence des séries entières

Tout ce qui concerne la convergence ponctuelle, la définition et la détermination du rayon de convergence, a été vu dans S6.

II Convergence uniforme sur tout compact ; continuité de la somme

Proposition Une série entière converge normalement donc uniformément sur tout compact inclus dans son disque ouvert de convergence.

Proposition bis Une série entière converge normalement donc uniformément sur tout disque fermé inclus dans son disque ouvert de convergence.

Remarque importante Une série entière ne converge en général pas uniformé- ment sur son disque ouvert de convergence (erreur très, très classique, à évi- ter !)

Corollaire La somme d’une série entière est continue sur son disque ouvert de convergence.

Un cas particulier h.p. mais intéressant On suppose ici que la série entière X

n≥0

a_nzⁿ a un rayon de convergenceR qui n’est ni 0 ni+∞. On suppose de plus que la série X

n≥0

|an|Rⁿconverge. Alors la série entière X

n≥0

anzⁿ converge uniformément (car normalement) sur le disque ferméD⁰(0,R). Sa somme est donc continue sur ce disque fermé.

1

III Opérations algébrique sur les séries entières

Ce qui a été vu dans S6 a été vu pour le cas complexe ; le revoir, donc.

IV Dérivation et primitivation

On peut définir la série dérivée d’une série entière, formellement. Mais la dérivation des fonctions d’une variable complexe n’est pas au programme. Il est naturel de se demander si, lorsque f est une fonction d’une variable complexe, il peut être inté- ressant de considérer l’existence de

zlim→z0

µf(z)−f(z₀) z−z0

¶ .

C’est effectivement plus qu’intéressant, mais hors-programme : les fonctions analy- tiques, les fonctions holomorphes sont des objets très importants en mathématiques, à voir après la prépa. Rappelons quand même :

Proposition Soit (a_n)n≥0une suite de nombres complexes ; les séries entières X

n≥0

a_nzⁿ et X

n≥0

na_nzⁿ⁻¹ont même rayon de convergence (la seconde est la « série déri- vée » de la première).

V Fonctions développables en série entière

V.1 Définition

Même si ce n’est pas vraiment au programme, on peut facilement concevoir la défi- nition suivante :

Définition on dit que f est développable en série entière sur D(0,r) lorsqu’il existe une série entière X

n≥0

a_nzⁿ de rayon de convergence au moins égal à r telle que

∀z∈D(0,r) f(z)=

+∞X

n=0

a_nzⁿ;

on dit quef est développable en série entière, ou développable en série entière au voisinage de 0, lorsqu’il exister >0 tel que f soit développable en série entière surD(0,r).

On dit que f est développable en série entière au voisinage de a lorsque la fonctionh7→f(a+h) est développable en série entière au voisinage de 0, c’est à dire lorsqu’il exister >0 et une série entière X

n≥0

anzⁿ de rayon de conver- gence au moins égal àr telle que

∀u∈D(a,r) f(u)=

+∞X

n=0

a_n(u−a)ⁿ

V.2 Opérations

Une combinaison linéaire ou un produit de fonctions développables en série entière sur ]−r,r[ l’est.

3

VI Développements usuels

Définition : On définit, pour toutz∈C, exp(z)=

+∞X

n=0

zⁿ n!

Proposition : Pour touszetz⁰dansC,

exp(z+z⁰)=exp(z) exp(z⁰) Proposition Siz∈C,|z| <1,

1 1−z =

+∞X

n=0

zⁿ

Remarque Il n’est pas scandaleux, dans un énoncé, d’introduire par exemple shz=

+∞X

n=0

z²ⁿ⁺¹ (2n+1)!

sinz=

+∞X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹ (2n+1)!

et on remarque alors que

sin(i z)=

Table des matières

I Convergence des séries entières 1

II Convergence uniforme sur tout compact ; continuité de la somme 1 III Opérations algébrique sur les séries entières 2

IV Dérivation et primitivation 2

V Fonctions développables en série entière 3

V.1 Définition . . . 3 V.2 Opérations . . . 3

VI Développements usuels 4

5