Problème : séries de Taylor et développement en série entière

SESSION 2013

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

EXERCICE 1 : une série de Fourier

1. Représentation graphique de f

1

−1

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

b b

b

b b

La fonctionf est continue par morceaux et2π-périodique. On peut donc calculer ses coefficients deFourier. Puisque la fonctionf est impaire, pour tout entier natureln,an(f) =0 puis pour tout entier naturel non nuln,

bn(f) = 2 π

Zπ

0

f(t)sin(nt)dt= 2 π

Zπ

0

sin(nt)dt= 2 π

−cos(nt) n

π

0

= 2

nπ(1− (−1)ⁿ)

=







0sinest pair 4

(2k+1)π sin=2k+1 . La série deFourierdefest x7→ 2

π

+∞

X

n=1

(1− (−1)ⁿ)sin(nx)

n = 4

π

+∞

X

k=0

sin((2k+1)x) 2k+1 .

2. (a)La suite

(−1)^k 2k+1

k∈N

est alternée en signe et sa valeur absolue tend vers0en décroissant. Donc la série de terme général (−1)^k

2k+1,k∈N, converge d’après le critère spécial aux séries alternées.

La fonctionfest 2π-périodique, de classe C¹par morceaux sur Ret vérifie en tout réelxl’égalité f(x⁺) +f(x⁻)

2 =f(x).

D’après le théorème deDirichlet, la série deFourierdefconverge simplement vers la fonctionf surR. Par suite,

∀x∈R, f(x) = 4 π

+∞

X

k=0

sin((2k+1)x) 2k+1 . Pourx= π

2, on obtient

1= 4 π

+∞

X

k=0

sin

(2k+1)π 2

2k+1 = 4 π

+∞

X

k=0

(−1)^k 2k+1 et donc

+∞

X

k=0

(−1)^k 2k+1 = π

4.

(b) 1

(2k+1)² ∼

k→+∞

1

4k² > 0. Puisque la série de terme général 1

4k² converge, il en est de même de la série de terme général 1

(2k+1)².

La fonctionfest 2π-périodique, continue par morceaux surR. Le théorème deParsevalpermet d’affirmer que (a₀(f))²

2 +

+∞

X

n=1

(a_n(f))²+ (b_n(f))²

= 1 π

Zπ

−π

(f(x))²dx.

Cette égalité fournit

16 π²

+∞

X

k=0

1

(2k+1)² = 1 π

Zπ

−π

dx=2, et donc

+∞

X

k=0

1

(2k+1)² = π² 8 .

EXERCICE 2 : un système différentiel

1. χA=X²− (TrA)X+detA=X²−4X+4= (X−2)².

D’après le théorème deCayley-Hamilton,χ_A(A) =0ou encore(A−2I₂)²=0. Ainsi, A−2I₂=

−1 −1

1 1

6

=0 et (A−2I2)²=0. La matriceA−2I2est nilpotente d’indice2.

Soitt un réel. Puisque les matrices2tI₂et tA−2tI₂commutent, on peut écrire

e^tA=e^{t(A−2I2)+2tI2}=e^2tI2×e^t(A−2I2)=e^2tI₂×e^t(A−2I2)=e^2te^t(A−2I2) e^2t

+∞

X

n=0

tⁿ

n!(A−2I2)ⁿ =e^2t(I2+t(A−2I2))

=e^2t

1 0 0 1

+t

−1 −1

1 1

=e^2t

1−t −t t 1+t

=

(1−t)e^2t −te^2t te^2t (1+t)e^2t

2. Si on poseX= x

y

, le système proposé s’écritX^′=AX. On sait que les solutions de ce système sont les fonctions de la formet7→e^tAX0oùX0=

a b

est un vecteur colonne quelconque indépendant det.

Les conditions

x(0) =1

y(0) =2 s’écrivent encoree^0AX0= 1

2

c’est-à-direX0= 1

2

. La solution du problème posé est la fonctiont7→

(1−t)e^2t −te^2t te^2t (1+t)e^2t

1 2

=

(1−3t)e^2t (2+3t)e^2t

.

Problème : séries de Taylor et développement en série entière

Partie préliminaire 1. On sait que pour tout réelxde] −1, 1[,

+∞

X

n=0

xⁿ = 1

1−x (∗).

On sait de plus que la série entièrex7→

+∞

X

n=0

xⁿ est dérivable sur] −1, 1[et que sa dérivée s’obtient par dérivation terme à terme.

En dérivant les deux membres de l’égalité(∗), on obtient

∀x∈] −1, 1[,

+∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= 1 (1−x)².

2. Soitx∈]0,+∞[.

Soient ε et Adeux réels tels que 0 < ε < A. Les deux fonctions t 7→t^x et t 7→−e^−t sont de classe C¹ sur le segment [ε, A]. On peut donc effectuer une intégration par parties qui fournit

ZA

ε

t^xe^−tdt=

t^x(−e^−t)A ε −

ZA

ε

xt^x−1(−e^−t)dt= −ε^xe^−ε+A^xe^−A+x ZA

ε

t^x−1e^−tdt.

Quandε tend vers0 par valeurs supérieures,ε^xe^−ε tend vers0 car x > 0et quandA tend vers+∞, A^xe^−A tend vers 0 d’après un théorème de croissances comparées. Quand ε tend vers 0 et Atend vers +∞, on obtient

Z+∞

0

t^xe^−t dt = x

Z+∞

0

t^x−1e^−tdtou encore Γ(x+1) =xΓ(x).

∀x > 0,Γ(x+1) =xΓ(x).

Montrons par récurrence que∀n∈N^∗,Γ(n) = (n−1)!.

•Γ(1) = Z+∞

0

t⁰e^−tdt=

−e^−t+∞

0 =1= (1−1)!. L’égalité à démontrer est donc vraie quandn=1.

•Soitn>1. Supposons queΓ(n) = (n−1)!. Alors

Γ(n+1) =nΓ(n) =n×(n−1)! =n! = ((n−1) +1)!.

On a montré par récurrence que

∀n∈N^∗,Γ(n) = (n−1)!.

3. Montrons par récurrence que pour tout entier natureln: pour tout réelxdeI, f(x) =

Xn

k=0

(x−a)^k

k! f^(k)(a) + Zx

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.

Soitx∈I.

•Tout d’abord, Zx

a

(x−t)⁰

0! f^′(t)dt= Zx

a

f^′(t)dt. La fonction fest de classeC¹sur Iet les réelsa etx appartiennent à I. Donc

Zx

a

f^′(t)dtexiste. De plus,

Zx

a

f^′(t)dt=f(x) −f(a),

et donc f(x) = f(a) + Zx

a

f^′(t) dt = X0

k=0

(x−a)^k

k! f^(k)(a) + Zx

a

(x−t)⁰

0! f^′(t) dt. La formule à démontrer est vraie quand n=0.

•Soitn>0. Supposons quef(x) = Xn

k=0

(x−a)^k

k! f^(k)(a) + Zx

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt. (∗).

Les deux fonctions t 7→ −(x−t)ⁿ⁺¹

(n+1)! et t 7→ f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) sont de classe C¹ sur le segment [a, x] ou [x, a]. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

Zx

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt=

−(x−t)ⁿ⁺¹

(n+1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) ^x

a

− Zx

a

−(x−t)ⁿ⁺¹

(n+1)! f⁽ⁿ⁺²⁾(t)dt

=0+ (x−a)ⁿ⁺¹

(n+1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(a) + Zx

a

(x−t)ⁿ⁺¹

(n+1)! f⁽ⁿ⁺²⁾(t)dt(carn+1 > 0)

= (x−a)ⁿ⁺¹

(n+1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(a) + Zx

a

(x−t)ⁿ⁺¹

(n+1)! f⁽ⁿ⁺²⁾(t)dt.

En reportant dans(∗), on obtient

f(x) = Xn

k=0

(x−a)^k

k! f^(k)(a) + (x−a)ⁿ⁺¹

(n+1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(a) + Zx

a

(x−t)ⁿ⁺¹

(n+1)! f⁽ⁿ⁺²⁾(t)dt

=

n+1X

k=0

(x−a)^k

k! f^(k)(a) + Zx

a

(x−t)ⁿ⁺¹

(n+1)! f⁽ⁿ⁺²⁾(t)dt.

Le résultat est démontré par récurrence.

Partie I. Quelques exemples d’utilisation de ce théorème 4. Pour tout réelxnon nul,

f(x) = sin(x)

x =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ

(2n+1)! =1+

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ x²ⁿ (2n+1)!, et d’autre part,f(0) =1=1+

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ 0²ⁿ

(2n+1)!. Finalement, pour tout réelx,f(x) =1+

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ x²ⁿ

(2n+1)!. Ainsi, la fonctionf est développable en série entière surRet en particulier, la fonctionf est de classeC^∞ surR.

5. D’après la question 1), pour tout réelxde] −1, 1[, 1 (1−x)² =

+∞

X

n=0

nxⁿ⁻¹ puis x (1−x)² =

+∞

X

n=0

nxⁿ. Ainsi, la fonctionf : x7→ x

(1−x)² est développable en série entière sur ] −1, 1[ et en particulier est de classeC^∞ sur ] −1, 1[qui est un voisinage de0. De plus, par unicité des coefficients d’un développement en série entière, pour tout entier natureln, f⁽ⁿ⁾(0)

n! =nou encoref⁽ⁿ⁾(0) =n×n!.

La fonctionf : x7→ x

(1−x)² convient.

6. (a)La fonctionfest développable en série entière sur] −R, R[et en particulier est continue sur le segment [0, 1](car R > 1). On en déduit que la fonctionfest bornée sur ce segment. Notons Mun majorant de la fonction |f|sur[0, 1].

Pourx∈[0, 1]et n∈N, posonsgn(x) =f(x)f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ. Soitn∈N. Pour tout réelxde[0, 1], on a

|g_n(x)|=|f(x)|

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ 6M

f⁽ⁿ⁾(0) n! , et donc

sup{|g_n(x)|, x∈[0, 1]}6M

f⁽ⁿ⁾(0) n! . (∗) On sait que la série de fonction de terme généralx7→ f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ,n∈N, converge absolument sur] −R, R[. En particulier, puisque1∈] −R, R[, la série numérique de terme général

f⁽ⁿ⁾(0)

n! ,n∈N, est convergente et il en est de même de la série numérique de terme généralM

f⁽ⁿ⁾(0)

n! , n∈N.

L’inégalité(∗)montre alors que la série de fonctions de terme généralg_n,n∈N, converge normalement sur[0, 1].

(b)Pour tout réelxde[0, 1],

(f(x))²=f(x)

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ =

+∞

X

n=0

f(x)f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ=

+∞

X

n=0

g_n(x).

Puisque la série de fonctions de terme généralgn, n∈ N, converge normalement et donc uniformément sur le segment [0, 1]et que chaque fonctiongn est continue sur le segment[0, 1], un théorème d’intégration terme à terme sur un segment permet d’écrire

Z1

0

(f(x))² dx=

+∞

X

n=0

Z1

0

gn(x)dx=

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n!

Z1

0

xⁿf(x)dx=0.

La fonctionf² est donc une fonction continue, positive, d’intégrale nulle sur [0, 1]. On en déduit que la fonctionf² est nulle sur[0, 1] puis que la fonctionf est nulle sur[0, 1].

(c)Mais alors, les dérivées successives en0 de la fonctionfsont nulles et donc, pour tout réelxde] −R, R[, f(x) =

+∞

X

n=0

0=0.

On a montré que la fonctionfest nulle sur] −R, R[.

Partie II. Contre-exemples 7. Pour tout réelxdeI=] −∞, 1[, posonsf(x) = 1

−x. La fonctionfest de classeC^∞surIen tant que fraction rationnelle définie surI.

On sait quefest développable en série entière sur] −1, 1[et que pour tout réelxde] −1, 1[,f(x) =

+∞

X

n=0

xⁿ. On sait aussi que la série deTaylordefdiverge en tout x de] −∞,−1].

La fonction f est donc un exemple de fonction de classe C^∞ sur l’intervalle ] −∞, 1[, développable en série entière au voisinage de l’origine, mais ne coïncidant pas avec sa série deTaylorsurItout entier.

8. (a)

1

−1

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

(b)Montrons par récurrence que pour toutn∈N, il existe un polynômeP_n tel que, pour toutx∈]0,+∞[, f⁽ⁿ⁾(x) = P_n(x)

x³ⁿ exp

− 1 x²

.

• Pour tout réel x > 0, f⁽⁰⁾(x) = f(x) =exp

− 1 x²

= P0(x) x^3×0exp

− 1 x²

avecP0= 1. Puisque P0est un polynôme, la formule à démontrer est vraie quandn=0.

• Soitn>0. Supposons qu’il existe un polynômePn tel que pour tout x > 0, f⁽ⁿ⁾(x) = Pn(x) x³ⁿ exp

− 1 x²

. Alors, pour toutx > 0,

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = P_n^′(x) x³ⁿ exp

− 1 x²

−3nPn(x) x³ⁿ⁺¹exp

− 1 x²

+Pn(x) x³ⁿ × 2

x³exp

− 1 x²

= x³P_n^′(x) −3nx²Pn(x) +2Pn(x)

x³ⁿ⁺³ exp

− 1 x²

= Pn+1(x) x³⁽ⁿ⁺¹⁾exp

− 1 x²

oùP_n+1=X³P_n^′ − (3nX²−2)P_n est un polynôme.

La propriété est démontrée par récurrence.

(c)Montrons par récurrence que pour toutn∈N,fest de classeCⁿ sur[0,+∞[et que f⁽ⁿ⁾(0) =0.

• lim

x→0 x>0

f(x) = lim

X→+∞

e^−X=0=f(0). On en déduit que la fonctionfest continue en0. Puisquefest d’autre part continue sur]0,+∞[, fest de classeC⁰ sur[0,+∞[et f⁽⁰⁾(0) =0. La propriété à démontrer est donc vraie quandn=0.

• Soitn>0. Supposons que fsoit de classeCⁿ sur[0,+∞[et quef⁽ⁿ⁾(0) =0. D’après la question précédente,f est de classeC⁽ⁿ⁺¹⁾ sur]0,+∞[et il existe un polynômePn+1 tel que, pour tout réelx > 0,

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = Pn+1(x) x³ⁿ⁺³ exp

− 1 x²

. Ensuite, en posant X = 1

x², lim

x→0 x>0

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = lim

X→+∞

Pn+1

1/√ X

X^(3n+3)/2e^−X. QuandX tend vers +∞, l’expression Pn+1

1/√ X

X^(3n+3)/2e^−X est équivalente à une expression du type λX^αe^−X qui tend vers 0 quand X tend vers +∞ d’après un théorème de croissances comparées. Donc, lim

x→0 x>0

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =0.

En résumé,

- la fonctionf⁽ⁿ⁾ est définie et continue sur[0,+∞[, - la fonctionf⁽ⁿ⁾ est de classeC¹ sur[0,+∞[, - la fonction f^(n)′

=f⁽ⁿ⁺¹⁾ a une limite réelle quandxtend vers0 par valeurs supérieures.

D’après un théorème classique d’analyse, la fonctionf⁽ⁿ⁾ est de classeC¹sur[0,+∞[ou encore la fonctionfest de classe C¹ sur[0,+∞[. En particulier,f⁽ⁿ⁺¹⁾(0) = lim

x→0 x>0

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =0.

Le résultat est démontré par récurrence.

(d)Si il exister > 0tel quef soit développable en série entière sur] −r, r[, alors pour toutx∈] −r, r[, f(x) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ=0.

La fonction ne s’annulant qu’en0, cette dernière égalité est fausse et donc la fonction f est un exemple de fonction de classeC^∞ surRet non développable en série entière sur un voisinage de 0.

9. (a) Soit x∈ R. La fonction t 7→ e^−t

1+tx² est continue sur [0,+∞[ en tant que quotient de fonctions continues sur [0,+∞[ dont le dénominateur ne s’annule pas sur [0,+∞[ (car ∀(x, t) ∈ R×[0,+∞[, 1+tx² > 1 > 0). La fonction t7→ e^−t

1+tx² est donc intégrable sur tout segment contenu dans[0,+∞[.

Pour tout réelt > 0, 0 6 e^−t

1+tx² 6e^−t. La fonction t 7→ e^−t est intégrable sur un voisinage de +∞ car négligeable devant 1

t² en+∞. On en déduit que la fonctiont 7→ e^−t

1+tx² est intégrable sur un voisinage de +∞[ et finalement sur [0,+∞[.

SoitA > 0. Considérons la fonction Φ : [−A, A]×[0,+∞[ → R (x, t) 7→ e^−t

1+tx²

de sorte que pour toutxde[−A, A],f(x) = Z+∞

0

Φ(x, t)dt.

•Pour tout réelxde[−A, A], la fonction t7→Φ(x, t)est continue par morceaux et intégrable sur[0,+∞[.

•La fonctionΦadmet une dérivée partielle par rapport à sa première variablexdéfinie sur[−A, A]×[0,+∞[ par

∀(x, t)∈[−A, A]×[0,+∞[, ∂Φ

∂x(x, t) = −2txe^−t (1+tx²)². - Pour tout réelxde[−A, A], la fonction t7→ ∂Φ

∂x(x, t)est continue par morceaux sur[0,+∞[.

- Pour tout réeltde[0,+∞[, la fonctionx7→ ∂Φ

∂x(x, t)est continue sur[−A, A].

- Pour tout(x, t)∈[−A, A]×[0,+∞[,

∂Φ

∂x(x, t)

= 2txe^−t

(1+tx²)² 62Ate^−t=ϕ1(t). De plus, la fonctionϕ1est continue par morceaux sur[0,+∞[et intégrable sur[0,+∞[car négligeable devant 1

t² en+∞d’après un théorème de croissances comparées.

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème deLeibniz), la fonction f est de classe C¹ sur [−A, A]et sa dérivée s’obtient en dérivant sous le signe intégrale. Ceci étant vrai pour tout réelA > 0, on a montré que la fonctionfest de classeC¹surRet que

∀x∈R, f^′(x) = Z+∞

0

−2txe^−t (1+tx²)² dt.

(b)Soitt∈]0,+∞[. Soitx∈

−1 t,1

t

. Alors,|xt|< 1puis e^−t

1+tx² =e^−t

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ tx²n

=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿtⁿe^−tx²ⁿ.

La fonction g : x7→Φ(x, t) = e^−t

1+tx² est donc développable en série entière sur

−1 t,1

t

. Cette fonction est alors de classeC^∞ sur

−1 t,1

t

et en particuliernfois dérivable en0. De plus, pour tout entier natureln,g⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) =0et

∂²ⁿΦ

(∂x)²ⁿ(0, t) =g⁽²ⁿ⁾(0) = (2n)!(−1)ⁿtⁿe^−t. Ces égalités reste clairement vraies pourt=0.

D’après l’énoncé, pour toutxréel et tout entier natureln,f⁽ⁿ⁾(x) = Z+∞

0

∂ⁿΦ

(∂x)ⁿ(x, t)dt. En particulier, pour tout entier natureln,f⁽ⁿ⁾(0) =

Z+∞

0

∂ⁿΦ

(∂x)ⁿ(0, t)dt. Par suite, pour tout entier natureln,f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) =0puis pour tout entier naturel f⁽²ⁿ⁾(0) =

Z+∞

0

(2n)!(−1)ⁿtⁿe^−tdt= (−1)ⁿ(2n)!Γ(n+1) = (−1)ⁿ(2n)!n!

.

(c)Pourn∈N, posonsu_n= f⁽ⁿ⁾(0)

n! . Alors, pour tout entier natureln,u_2n+1=0 etu_2n= (−1)ⁿ(2n)!n!

(2n)! = (−1)ⁿn!.

Soitx∈R^∗. La suite((−1)ⁿn!xⁿ)ne tend pas vers0quandxtend vers+∞d’après un théorème de croissances comparées et donc la série de terme généralunxⁿ,n∈N, diverge. Ainsi, la série de Taylorne converge en aucun réel non nul ou encore, le rayon de convergence de la série de Taylorde f est nul. Donc la fonction f n’est pas développable en série entière à l’origine.

Partie III. Condition suffisante 10. (a)Soitx∈] −a, a[. Soitn∈N. D’après la formule deTaylor-Laplace,

f(x) = Xn

k=0

f^(k)(0) k! x^k+

Zx

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.

Ensuite,

f(x) − Xn

k=0

f^(k)(0) k! x^k

=

Zx

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt

6









 Zx

0

(x−t)ⁿ

n! |f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)|dtsix∈[0, a[

Z0

x

(t−x)ⁿ

n! |f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)|dtsix∈] −a, 0[

6









 M

Zx

0

(x−t)ⁿ

n! dtsix∈[0, a[

M Z0

x

(t−x)ⁿ

n! dtsix∈] −a, 0[

=









 M

−(x−t)ⁿ⁺¹ (n+1)!

^x

0

six∈[0, a[

M

(t−x)ⁿ⁺¹ (n+1)!

⁰

x

six∈] −a, 0[

=











M xⁿ⁺¹

(n+1)! six∈[0, a[

M(−x)ⁿ

n! six∈] −a, 0[

=M|x|ⁿ n! .

D’après un théorème de croissances comparées, lim

n→+∞

M|x|ⁿ

n! =0et donc lim

n→+∞

f(x) − Xn

k=0

f^(k)(0) k! x^k

!

=0. On a montré

que pour tout xde] −a, a[, la série deTaylorde fen xconverge et quef(x) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ. La fonction f est donc développable en série entière sur] −a, a[.

(b) La fonction sinus est de classe C^∞ sur Ret ses dérivées successives sont bornées sur R. D’après ce qui précède, la fonction sinus est développable en série entière surR.