14.1 Rayon de convergence d’une série entière

14

Séries entières

Nous faisons ici l’étude des séries entières réelles ou complexes sans référence aux séries de fonctions qui seront étudiées plus loin. Avec les exercices 3.31 et 6.34 nous avons déjà rencontré la fonction exponentielle complexe définie comme somme d’une série entière.

14.1 Rayon de convergence d’une série entière

On appelle série entière toute série numérique de la formeP

anzⁿ, où(an)_n≥n0 est une suite donnée de nombres complexes.

Comme pour l’étude des séries numériques, on supposera, a priori, que n₀ = 0.

On peut remarquer qu’une série entière converge pour z = 0.

En désignant par D l’ensemble des nombres complexes z pour lesquels la série P

a_nzⁿ est convergente, on note pour tout z dans D, f (z)la somme de cette série, soit :

∀z ∈D, f(z) = X+∞

n=0

a_nzⁿ

et on définit ainsi une fonction de D dans C.

L’ensemble D est appelé domaine de convergence de la séries entière. Cet ensemble est non vide puisqu’il contient toujours 0.

Dans le cas où les coefficientsa_nsont tous nuls à partir d’un rangp+1,la série est convergente pour tout nombre complexe z et sa somme est la fonction polynomiale définie par :

f(z) = Xp

k=0

a_kz^k.

On peut donc voir une série entière comme un polynôme de degré au plus infini.

Exercice 14.1 Déterminer les domaines de convergence des séries entières P

n!zⁿ, P nⁿzⁿ, Pzⁿ, Pzⁿ

n et Pzⁿ n!.

Solution 14.1 Pour a_n=n! et z 6= 0 on a :

|a_n+1zⁿ⁺¹|

|a_nzⁿ| = (n+ 1)|z| →

n→+∞+∞

283

ce qui entraîne lim

n→+∞|a_nzⁿ|= +∞ et la divergence de P

a_nzⁿ (son terme général ne tend pas vers 0). Il en résulte que le domaine de convergence de P

n!zⁿ est D={0}. Pour an =nⁿ et z 6= 0 on a :

|a_n+1zⁿ⁺¹|

|a_nzⁿ| = (n+ 1) µ

1 + 1 n

¶_n

|z| →

n→+∞+∞

ce qui entraîne lim

n→+∞|a_nzⁿ|= +∞(exercice 3.19) et la divergence deP

a_nzⁿ(son terme général ne tend pas vers 0). Il en résulte que le domaine de convergence de P

n!zⁿ est D={0}. On sait que la série géométriqueP

zⁿ est convergente si, et seulement si,|z|<1(exercice 6.1), ce qui signifie que son domaine de convergence est le disque unité ouvert D={z ∈C| |z|<1}. Pour a_n = 1

n et z 6= 0 on a :

|an+1zⁿ⁺¹|

|a_nzⁿ| = n

n+ 1|z| →

n→+∞|z|. Si |z|<1 le théorème de d’Alembert nous dit alors que la série Pzⁿ

n converge absolument. Si

|z| > 1, on a lim

n→+∞|a_nzⁿ| = +∞ et la série Pzⁿ

n diverge. Si |z| = 1, on a alors z =e^it avec t ∈[0,2π[ et le théorème d’Abel nous dit que la série Pzⁿ

n =Pe^int

n diverge uniquement pour t = 0, soit pour z = 1 (exercice 6.25). En définitive, le domaine de convergence dePzⁿ

n est le disque unité fermé privé de 1, soit D={z ∈C| |z| ≤1} \ {1}.

La série Pzⁿ

n! étant absolument convergente pour tout nombre complexe z (exercice 6.34), son domaine de convergence est D=C.

Exercice 14.2 Déterminer les domaines de convergence des séries entières P(−1)ⁿ (2n)!z²ⁿ et P (−1)ⁿ

(2n+ 1)!z²ⁿ⁺¹.

Solution 14.2 En posant un=

¯¯

¯¯(−1)ⁿ (2n)!z²ⁿ

¯¯

¯¯, on a pour z 6= 0 : u_n+1

un

= |z|²

(2n+ 2) (2n+ 1) →

n→+∞0 et le théorème de d’Alembert nous dit alors que la sérieP(−1)ⁿ

(2n)!z²ⁿest absolument convergente.

Son domaine de convergence est D=C.

Le résultat est le même pour la deuxième série.

Nous allons voir que de manière générale, que le domaine de convergence d’une série entière est C tout entier ou un disque ouvert de rayon R ≥ 0 éventuellement complété par des points du bord de ce disque.

Pour tout réelR >0,on note respectivementD(0, R)etD(0, R)les disques ouvert et fermé de centre 0et de rayon R, soit :

D(0, R) ={z ∈C| |z|< R} etD(0, R) = {z ∈C| |z| ≤R}

Rayon de convergence d’une série entière 285 Théorème 14.1 (Abel) Soit P

a_nzⁿ une série entière. S’il existe un scalaire non nul z₀ tel que la suite (a_nzⁿ₀)_n∈N soit bornée, alors la série entière P

a_nzⁿ converge absolument pour tout nombre complexe z tel que |z|<|z0|.

Démonstration. Il suffit d’écrire que pour tout entier naturel n et tout nombre complexe z tel que |z|<|z0|, on a :

|a_nzⁿ|=|a_nzⁿ|

¯¯

¯¯z z₀

¯¯

¯¯

n

≤M

¯¯

¯¯z z₀

¯¯

¯¯

n

où M est un majorant de la suite (|a_nzⁿ₀|)_n∈N et

¯¯

¯¯z z₀

¯¯

¯¯<1. La série géométrique P¯

¯¯

¯z z₀

¯¯

¯¯

n

étant convergente puisque

¯¯

¯¯z z₀

¯¯

¯¯<1, on en déduit la convergence de P

|a_nzⁿ|.

Comme conséquence de ce théorème, on déduit que si une série entière converge en un point z₀, elle converge alors absolument sur tout le disque ouvert de centre 0et de rayon |z₀|.

En fait ce théorème peut aussi s’interpréter comme suit.

Théorème 14.2 Soit P

a_nzⁿ une série entière et I l’ensemble de réels défini par : I =©

r ∈R⁺ |(a_nrⁿ)_n∈N est bornéeª .

Cet ensemble I est un intervalle qui est soit réduit à {0}, soit de la forme [0, R] ou [0, R[ avec R >0, soit égal à R⁺ tout entier.

Démonstration. Comme une série entière converge pourz = 0, I est non vide du fait qu’il contient 0. S’il est réduit à {0} c’est terminé. On suppose donc que I 6={0}.

Le théorème précédent nous dit que si r > 0 est dans I, alors I contient le segment [0, r]. En effet dire quer ∈I signifie que la suite(a_nrⁿ)_n∈Nest bornée et le théorème d’Abel nous dit alors que pour tout réels ∈[0, r[,la sérieP

a_nsⁿest convergente et la suite(a_nsⁿ)_n∈Nconverge alors vers 0, ce qui implique qu’elle est bornée et signifie que s ∈I. L’ensemble I est donc un intervalle de R⁺ qui contient 0, il est donc nécessairement de la forme [0, R] avec R > 0, ou [0, R[ avec 0< R≤+∞.

On peut donc poser :

R= sup©

r∈R⁺ |(anrⁿ)_n∈N est bornéeª dans R⁺ =R⁺∪ {+∞}et I est un intervalle de R⁺ d’extrémité droiteR.

Définition 14.1 Le rayon de convergence de la série entièreP

a_nzⁿ est l’élément deR⁺ défini par :

R = sup©

r∈R⁺ |(a_nrⁿ)_n∈N est bornéeª .

Remarque 14.1 Si la suite (a_n)_n∈N est bornée, on aura 1∈I et R ≥1, dans le cas contraire 1∈/ I et R≤1.

Théorème 14.3 Soient P

a_nzⁿ et P

b_nzⁿ de rayons de convergence respectifs R et R⁰. 1. Si |a_n| ≤ |b_n| pour tout n∈N, alors R≥R⁰.

2. Si a_n=O(b_n), alors R≥R⁰. 3. Si a_n∼b_n, alors R=R⁰. Démonstration.

1. Comme |a_n| ≤ |b_n| pour toutn, on a : I⁰ =©

r∈R⁺|(b_nrⁿ)_n∈N bornéeª

⊂I =©

r∈R⁺ |(a_nrⁿ)_n∈N bornéeª et en conséquence R⁰ = sup (I⁰)≤R= sup (I).

2. Dire que a_n = O(b_n) signifie que l’on a a_n = ϕ_nb_n où (ϕ_n)_n∈N est une suite bornée. Il existe donc un réel M > 0 tel que |a_n| ≤ M|b_n| pour tout n ∈ N et en conséquence R ≥R⁰.

3. Dire que a_n ∼b_n signifie que l’on aa_n=ϕ_nb_n où (ϕ_n)_n∈N est une suite de limite égale à 1, ce qui entraîne quea_n=O(b_n) etb_n=O(a_n) etR =R⁰.

Corollaire 14.1 SiP

a_nzⁿest une série entière telle qu’il existe deux réels strictement positifs m et M avec :

∀n∈N, m≤ |a_n| ≤M alors le rayon de convergence de cette série vaut 1.

Démonstration. La série P

zⁿ étant de rayon de convergence égal à 1, il en est de même des séries P

mzⁿ et P

Mzⁿ. Le premier point du théorème précédent nous dit alors que le rayon de convergence R de P

a_nzⁿ est tel queR ≤1 et R≥1,il vaut donc 1.

Exercice 14.3 Quel est le rayon de convergence de la série P

e^sin(n)zⁿ? Solution 14.3 Avec 1

e ≤e^sin(n) ≤e, on déduit du corollaire précédent que le rayon de conver- gence de P

e^sin(n)zⁿ vaut 1.

Théorème 14.4 En utilisant les notations qui précèdent : 1. dans le cas où R > 0, la série P

a_nzⁿ est absolument convergente pour tout z tel que

|z|< R;

2. dans le cas où R est fini, les séries P

a_nzⁿ et P

|a_nzⁿ| sont divergentes pour tout z tel que |z|> R

Démonstration.

1. Pour |z| < R, tout réel r tel que |z| < r < R est dans I et le théorème d’Abel nous dit que P

anzⁿ converge absolument.

2. Si |z| > R, alors |z| ∈/ I, alors la suite (a_n|z|ⁿ)_n∈N n’est pas bornée, donc les suites (a_n|z|ⁿ)_n∈N et(a_nzⁿ)_n∈Nne convergent pas vers 0et les séries correspondantes divergent.

Remarque 14.2 Réciproquement, si R⁰ ∈ R⁺ est tel que la série P

a_nzⁿ est absolument convergente pour tout z tel que |z| < R⁰ (dans le cas où R⁰ > 0) et divergente pour |z| > R⁰ [resp. P

|anzⁿ| est divergente pour |z| > R⁰], alors R⁰ est le rayon de convergence R de cette série. En effet, si 0 ≤ r < R⁰, alors P

a_nrⁿ est convergente et (a_nrⁿ)_n∈N est bornée car elle converge vers 0, donc r ∈ I. On a donc [0, R⁰[ ⊂ I et R⁰ ≤ R. Si R⁰ = +∞, nécessairement R = +∞. Sinon, si 0 ≤ r < R, alors P

|anrⁿ| est convergente et r ne peut être strictement supérieur à R⁰, donc r≤R⁰, on a donc [0, R[⊂[0, R⁰] et R ≤R⁰. On a donc bien R=R⁰.

Rayon de convergence d’une série entière 287 Remarque 14.3 Dans le cas où R = 0, le domaine de convergence D de la série est réduit à {0}, dans le cas où R = +∞, c’est C tout entier et dans le cas où R est fini, tout ce que l’on peut dire est que D(0, R)⊂D⊂D(0, R).

Exercice 14.4 Soit P

anzⁿ une série entière de rayon de convergence R. Montrer que, pour tout entier p≥2, le rayon de convergence de la série entière P

a_nz^pn est +∞ si R = +∞ ou

√p

R si R est fini (on dit que la série P

a_nz^pn est lacunaire).

Solution 14.4 Si R = +∞, alors P

a_ntⁿ converge pour tout nombre complexe t et donc pour tout les nombres complexes de la forme z^p.

Si R est fini. Pour |z|< √^p

R, on a |z|^p < R et P

a_nz^pn converge absolument. Pour |z|> √^p R, on a |z|^p > R etP

a_nz^pn diverge. Il en résulte que √^p

R est le rayon de convergence de P a_nz^pn. Exercice 14.5 Déterminer le rayon de convergenceRde la série entièreP

(−1)ⁿz²ⁿet étudier la série pour |z|=R. Quelle est la somme de cette série ?

Solution 14.5 Le rayon de convergence de la série géométrique P

(−1)ⁿzⁿ valant 1, celui de P(−1)ⁿz²ⁿ est aussi 1 et pour |z|<1, on a :

X+∞

n=0

(−1)ⁿz²ⁿ = X+∞

n=0

¡−1z²¢_n

= 1

1 +z². Pour |z|= 1, la série diverge car son terme général ne tend pas vers 0.

Exercice 14.6 Montrer que si(a_n)_n∈N est une suite de nombres complexes telle qu’il existe un nombre complexe z0 tel que la suite (anz₀ⁿ)_n∈N soit bornée, alors la série entière Pan

n!zⁿ a un rayon de convergence infini.

Solution 14.6 En désignant parM un majorant de la suite(|a_nz₀ⁿ|)_n∈N,on a pour tout nombre

complexe z : ¯

¯¯a_n n!zⁿ

¯¯

¯=|a_nz₀ⁿ| 1 n!

¯¯

¯¯z z₀

¯¯

¯¯

n

≤M 1 n!

¯¯

¯¯z z₀

¯¯

¯¯

n

avec P 1 n!

¯¯

¯¯z z₀

¯¯

¯¯

n

<+∞ (Ptⁿ

n! converge pour tout t), ce qui entraîne la convergence absolue de Pa_n

n!zⁿ.

Exercice 14.7 On désigne par (pn)_n≥1 la suite strictement croissante des nombres premiers.

Déterminer le rayon de convergence de la série P 1 p_nz^pn. Solution 14.7 Pour z = 1, cette série diverge, donc R ≤1.

Les coefficients de cette série sont définis par a_n = 1

n si n est premier et a_n = 0 sinon, donc, pour r≥0, la suite (anrⁿ)_n∈N∗ est bornée si, et seulement si la suite

µ 1 p_nr^pn

¶

n∈N^∗

est bornée, ce qui est réalisé pour tout r∈[0,1], donc R ≥1 et R = 1.

Exercice 14.8 Soit (a_n)_n∈N une suite complexe bornée.

1. Que peut-on dire des rayons de convergence des séries P

a_nzⁿ et Pa_n

n!zⁿ. On note res- pectivement f(z) et g(z) les sommes de ces séries entières.

2. Montrer que pour tout réel x∈]0,1[, l’intégrale Z _+∞

0

g(t)e^−xtdt est convergente.

3. Montrer que Z _+∞

0

g(t)e^−xtdt =xf(x) pour tout réel x∈]0,1[. Solution 14.8 On note M = sup

n∈N

|a_n|.

1. Comme la suite(a_n)_n∈N est bornée, la sérieP

a_nzⁿ à un rayon de convergenceR≥1.Par exemple pour a_n = 1

ρⁿ avec ρ > 1 ce rayon de convergence est R = ρ. Avec

¯¯

¯a_n n!

¯¯

¯ ≤ M n!, on déduit que le rayon de convergence de la deuxième série est infini.

2. Pour x∈]0,1[ et t >0, on a :

¯¯

¯g(t)e^−xt

¯¯

¯=

¯¯

¯¯

¯ X+∞

n=0

a_n n!tⁿe^−xt

¯¯

¯¯

¯≤M Ã_+∞

X

n=0

tⁿ n!

!

e^−xt =Me^t(¹⁻¹x) et avec

Z _+∞

0

e^t(¹⁻x¹)dt <+∞(on a 1−1

x <0), on déduit que l’intégrale Z _+∞

0

g(t)e^−xtdt est absolument convergente.

3. Le changement de variable t=xu donne : Z _+∞

0

g(t)e^−xtdt=x Z _+∞

0

g(xu)e^−udu et en notant :

R_n(z) = X+∞

k=n+1

a_k k!z^k

on a : Z _+∞

0

g(xu)e^−udu= Xn

k=0

ak

k!x^k Z _+∞

0

u^ke^−udu+ Z _+∞

0

Rn(xu)e^−udu avec Γ (k+ 1) =

Z _+∞

0

u^ke^−udu=k!. Donc : Z _+∞

0

g(xu)e^−udu= Xn

k=0

a_kx^k+ Z _+∞

0

R_n(xu)e^−udu et il s’agit de montrer que lim

n→+∞

Z _+∞

0

R_n(xu)e^−udu= 0. Pour ce faire, on écrit que :

¯¯

¯¯ Z _+∞

0

R_n(xu)e^−udu

¯¯

¯¯≤M Z _+∞

0

X+∞

k=n+1

x^ku^k k! e^−udu

≤M Z _+∞

0

à e^xu−

Xn

k=0

x^ku^k k!

! e^−udu

≤M

ÃZ _+∞

0

e^(x−1)udu− Xn

k=0

x^k k!

Z _+∞

0

u^ke^−udu

!

≤M Ã 1

1−x − Xn

k=0

x^k

!

n→+∞→ 0.

Calcul pratique du rayon de convergence 289

14.2 Calcul pratique du rayon de convergence

Les théorème de d’Alembert et de Cauchy relatifs aux séries numériques nous fournissent deux critères pratiques pour calculer le rayon de convergence d’une série entière.

Théorème 14.5 Soit P

anzⁿ une série entière telle que an 6= 0 à partir d’un certain rang.

Si lim

n→+∞

¯¯

¯¯an+1

a_n

¯¯

¯¯ = ` ∈ R⁺, alors le rayon de convergence de cette série est R = 1

` avec les conventions 1

0 = +∞ et 1 +∞ = 0.

Démonstration. Pour tout nombre complexe non nul z, on a :

n→+∞lim

¯¯

¯¯a_n+1zⁿ⁺¹ a_nzⁿ

¯¯

¯¯=`|z|

et le théorème de d’Alembert nous dit que si |z| < 1

`, alors la série P

a_nzⁿ est absolument convergente et si |z|> 1

`, alors la série P

|a_nzⁿ|est divergente. Il en résulte que 1

` est le rayon de convergence de P

anzⁿ.

Remarque 14.4 La réciproque du théorème précédent est fausse, c’est-à-dire que si R est le rayon de convergence de la série P

a_nzⁿ, rien ne permet d’affirmer que la suite µ¯¯

¯¯a_n+1 a_n

¯¯

¯¯

¶

soit convergente. n∈N

Par exemple la série P

a_nzⁿ où a_n = 1 + (−1)ⁿ

2 pour tout n ≥ 0, a un rayon de convergence égal à 1 (^+∞P

n=0

anzⁿ = ^+∞P

n=0

z²ⁿ = 1

1−z² pour |z| < 1) et µ¯¯

¯¯an+1

a_n

¯¯

¯¯

¶

n∈N

n’est pas définie puisque an = 1 pour n pair et an= 0 pour n impair.

L’exercice suivant nous fournit un autre contre-exemple.

Exercice 14.9 Déterminer le rayon de convergence de la série entièreP

anzⁿoùan= (2 + (−1)ⁿ)ⁿ pour tout n≥0. Que dire de la suite

µ¯¯

¯¯a_n+1 a_n

¯¯

¯¯

¶

n∈N

?

Solution 14.9 On aa_n= 3ⁿ pourn pair et a_n= 1 pourn impair. Pourr > 1

3,on a|a_2nr²ⁿ|=

|3r|²ⁿ →

n→+∞+∞ et (anrⁿ)_n∈N n’est pas bornée, donc R≤ 1

3. Pour 0≤r ≤ 1

3, on a :

|anrⁿ|=

½ (3r)ⁿ si n est pair rⁿ si n est impair ≤1 et donc R≥ 1

3. On a donc R = 1 3. On a :

¯¯

¯¯a_n+1 an

¯¯

¯¯=





 1

3ⁿ si n est pair 3ⁿ⁺¹

1 si n est impair et la suite

µ¯¯

¯¯an+1

a_n

¯¯

¯¯

¶

n∈N

est divergente.

Corollaire 14.2 Si P

a_nzⁿ est une série entière telle que lim

n→+∞a_n = ` 6= 0, alors son rayon de convergence vaut 1.

Démonstration. Comme` 6= 0, on a lim

n→+∞

¯¯

¯¯a_n+1 an

¯¯

¯¯= 1 etR= 1.

L’exemple de la série Pzⁿ

n! nous montre que ce résultat est faux pour`= 0.

Corollaire 14.3 Si P

a_nzⁿ est une série entière telle que a_n soit une fonction rationnelle non nulle de n, alors son rayon de convergence vaut 1.

Démonstration. On a a_n = P (n)

Q(n) où P et Q sont des fonctions polynomiales de de- grés respectifs p et q (le polynôme Q n’ayant qu’un nombre fini de racines réelles, on aura Q(n) 6= 0 pour n assez grand). Avec a_n ∼

+∞

a_pn^p

bqn^q, on déduit a_n+1 an

+∞∼

µn+ 1 n

¶_pµ n n+ 1

¶_q et

n→+∞lim

¯¯

¯¯a_n+1 a_n

¯¯

¯¯= 1, donc R= 1.

Exercice 14.10 Déterminer le rayon de convergence R de la série entière P n!

nⁿzⁿ. Solution 14.10 En posant an= n!

nⁿ, on a :

n→+∞lim

¯¯

¯¯an+1

a_n

¯¯

¯¯= lim

n→+∞

¡ 1

1 + _n¹¢_n = 1 e et R =e.

Exercice 14.11 Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par a_n le nombre de diviseurs de n. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière P

a_nzⁿ. Solution 14.11 Pour n ≥ 1, on a 1 ≤ a_n ≤ n, les séries entières P

zⁿ et P

nzⁿ ayant un rayon de convergence égal à 1. Il en résulte que R = 1.

Exercice 14.12 Déterminer le rayon de convergenceR de la série entièreP

arctan (n^α)zⁿ où α est un réel et étudier la série pour |z|=R.

Solution 14.12 On note an = arctan (n^α) pour tout n≥1.

Pour α > 0, on a lim

n→+∞an = π

2 6= 0, donc R= 1. Pour |z|= 1, la série diverge car son terme général ne tend pas vers 0.

Pour α = 0, on a a_n = arctan (1) = π

4 et R = 1. Pour |z| = 1, la série diverge car son terme général ne tend pas vers 0.

Pour α=−β <0, on a a_n ∼

+∞n^α et :

n→+∞lim

¯¯

¯¯a_n+1 a_n

¯¯

¯¯= lim

n→+∞

µn+ 1 n

¶_α

= 1 donc R = 1. Pour z = 1, a_nzⁿ = a_n ∼

+∞

1

n^β avec a_n > 0 pour tout n ≥ 1, il en résulte que P

a_nzⁿ converge si, et seulement si β > 1 (soit α < −1). Pour |z| = 1 et z 6= 1, on

Calcul pratique du rayon de convergence 291 a z = e^it avec t ∈ ]0,2π[, donc a_nzⁿ = arctan

µ 1 n^β

¶

e^int avec µ

arctan µ 1

n^β

¶¶

n≥1

qui tend vers 0 en décroissant et le théorème d’Abel nous dit alors que la série P

arctan µ 1

n^β

¶

e^int est convergente (exercice 6.25).

Théorème 14.6 Soit P

anzⁿ une série entière. Si lim

n→+∞

pn

|an| = ` ∈ R⁺, alors le rayon de convergence de cette série est R= 1

`.

Démonstration. Pour tout nombre complexe non nul z, on a :

n→+∞lim pn

|a_nzⁿ|=`|z|

et le théorème de Cauchy nous dit que si |z|< 1

`, alors la série P

anzⁿ est absolument conver- gente et si |z| > 1

`, alors la série P

|a_nzⁿ| est divergente. Il en résulte que 1

` est le rayon de convergence de P

a_nzⁿ.

Remarque 14.5 Là encore la réciproque est fausse. Par exemple, pour a_n = 1 + (−1)ⁿ

2 on a

pn

|a_n| = 1 pour n pair et pⁿ

|a_n| = 0 pour n impair, donc la suite

³ pn

|a_n|

´

n∈N est divergente et pourtant le rayon de convergence de P

a_nzⁿ =P

z²ⁿ vaut 1.En utilisant la notion de limite supérieure, on peut montrer le résultat suivant.

Théorème 14.7 (Hadamard) Le rayon de convergence de la série entière P

a_nzⁿ est :

R= 1

lim sup

n→+∞

pn

|a_n|.

Démonstration. Voir le problème 26.

Exercice 14.13 Déterminer le rayon de convergence R de la série entière P 1 n^ln(n)zⁿ. Solution 14.13 En posant a_n= 1

n^ln(n), on a :

n→+∞lim pn

|a_n|= lim

n→+∞

1

n^ln(n)n = lim

n→+∞exp

µln²(n) n

¶

= 1 et R = 1.

Exercice 14.14 Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière P

n≥1

µ cos

µ1 n

¶¶_n^α zⁿ, où α est un réel donné.

Solution 14.14 En posant pour n≥1, an = µ

cos µ1

n

¶¶_n^α

, on a :

u_n = pⁿ

|a_n|= µ

cos µ1

n

¶¶_n^α−1

Un développement limité nous donne :

ln (u_n) =n^α−1ln µ

cos µ1

n

¶¶

=n^α−1ln µ

1− 1 2n² +o

µ 1 n²

¶¶

=n^α−1 µ

− 1 2n² +o

µ 1 n²

¶¶

=− 1 n^3−α

µ1

2+o(1)

¶ .

Pour α <3, on a lim

n→+∞ln (u_n) = 0, donc lim

n→+∞

pn

|a_n|= 1 et R = 1.

Pour α= 3, on a lim

n→+∞ln (u_n) = −1

2, donc lim

n→+∞

pn

|a_n|= 1

√e et R =√ e.

Pour α >3, on a lim

n→+∞ln (u_n) = −∞, donc lim

n→+∞

pn

|a_n|= 0 et R = +∞.

14.3 Opérations sur les séries entières

Comme pour les fonctions polynomiales, on peut définir sur l’ensemble des séries entières les opérations suivantes.

– la somme des séries entièresP

a_nzⁿ et P

b_nzⁿ est la série entière P

(a_n+b_n)zⁿ; – le produit des séries entièresP

anzⁿetP

bnzⁿest la série entièreP

cnzⁿ,où les coefficients c_n sont définis pour tout entier natureln par :

c_n= Xn

k=0

a_kb_n−k

Cette définition est donnée par analogie avec le produit de deux polynômes et on reconnaît là le produit de Cauchy des deux séries numériquesP

a_nzⁿ et P b_nzⁿ; – la série dérivée de la série entière P

a_nzⁿ est la série entière P

na_nzⁿ⁻¹; – la série primitive de la série entièreP

a_nzⁿ est la série entière P a_n

n+ 1zⁿ⁺¹. Théorème 14.8 Soient P

anzⁿ et P

bnzⁿ deux séries entières de rayons de convergence res- pectifsRetR⁰.On désigne parR⁰⁰ le rayon de convergence de la série entière sommeP

(a_n+b_n)zⁿ. 1. Si R6=R⁰, alors R⁰⁰ = min (R, R⁰).

2. Si R=R⁰, alors R⁰⁰ ≥min (R, R⁰).

3. Dans tous les cas, on a pour |z|<min (R, R⁰) : X+∞

n=0

(a_n+b_n)zⁿ= X+∞

n=0

a_nzⁿ+ X+∞

n=0

b_nzⁿ

Opérations sur les séries entières 293 Démonstration.Pour tout nombre complexeztel que|z|<min (R, R⁰),la sérieP

(a_n+b_n)zⁿ est absolument convergente comme somme des séries absolument convergentesP

a_nzⁿetP b_nzⁿ et on a ^+∞P

n=0

(a_n+b_n)zⁿ =^+∞P

n=0

a_nzⁿ+^+∞P

n=0

b_nzⁿ. On a donc R⁰⁰≥min (R, R⁰).

Supposons que 0 ≤ R < R⁰. On peut alors trouver un réel r tel que R < r < R⁰ et P(a_n+b_n)rⁿ est divergente comme somme de la série divergenteP

a_nrⁿ et de la série conver- gente P

b_nrⁿ. On a donc R⁰⁰ ≤R et R⁰⁰ =R dans ce cas.

Remarque 14.6 Dans le cas où R=R⁰, l’égalité R⁰⁰ =R n’est pas assurée en général comme le montre l’exemple de b_n=−a_n avec R fini.

Théorème 14.9 Soient P

anzⁿ et P

bnzⁿ deux séries entières de rayons de convergence res- pectifsRetR⁰.On désigne parR⁰⁰ le rayon de convergence de la série entière produitPµ

Pn k=0

akbn−k

¶ zⁿ. On a R⁰⁰≥min (R, R⁰) et pour |z|<min (R, R⁰) :

X+∞

n=0

ÃXn

k=0

a_kb_n−k

! zⁿ=

ÃX+∞

n=0

a_nzⁿ

! ÃX+∞

n=0

b_nzⁿ

!

(14.1)

Démonstration. On suppose que R et R⁰ sont strictement positifs et on note, pour tout entier naturel n, c_n= Pⁿ

k=0

a_kb_n−k.

Pour 0≤r <min (R, R⁰),on a pour tout entier naturel n :

|c_nrⁿ|=

¯¯

¯¯

¯ Xn

k=0

a_kr^kb_n−kr^n−k

¯¯

¯¯

¯≤ Xn

k=0

¯¯a_kr^k¯¯¯¯b_n−kr^n−k¯¯

≤ ÃXn

k=0

¯¯a_kr^k¯

¯

! ÃXn

k=0

¯¯b_n−kr^n−k¯

¯

!

≤ Ã_+∞

X

k=0

¯¯a_kr^k¯

¯

! Ã_+∞

X

k=0

¯¯b_kr^k¯

¯

!

<+∞

ce qui signifie que la suite (|c_nrⁿ|)_n∈N est bornée. On a donc R⁰⁰≥min (R, R⁰). Pour|z|<min (R, R⁰),les sériesP

anzⁿ etP

bnzⁿsont absolument convergentes et le théo- rème 6.19 nous donne l’égalité(14.1)(ce théorème nous permet aussi d’aboutir à la minoration R⁰⁰ ≥min (R, R⁰) puisqu’il nous dit que le produit de Cauchy des séries P

a_nzⁿ et P

b_nzⁿ est absolument convergent).

Remarque 14.7 L’égalité R⁰⁰ = min (R, R⁰) n’est pas assurée en général comme le montre l’exemple des séries P

zⁿ et 1−z de rayons de convergence respectifs 1 et +∞. On a cn = a_nb₀ +a_n−1b₁ = 0 pour n ≥1 et c₀ =a₀b₀. La série produit est de rayon de convergence infini de somme 1

1−z (1−z) = 1.

Théorème 14.10 Soit P

a_nzⁿ une série entière de rayon de convergence R. La série dérivée Pna_nzⁿ⁻¹ et la série primitive P a_n

n+ 1zⁿ⁺¹ ont le même rayon de convergence R.

Démonstration. CommeP

anzⁿ est la série dérivée de P an

n+ 1zⁿ⁺¹, il suffit de montrer qu’une série et sa série dérivée ont même rayon de convergence.

Notons :

I =©

r∈R⁺ |(a_nrⁿ)_n∈N est bornéeª et :

I⁰ = n

r ∈R⁺ |¡

na_nrⁿ⁻¹¢

n∈N^∗ est bornée o

Ce sont deux intervalles réels contenant 0 et de bornes supérieures respectives R et R⁰, les rayons de convergence des séries P

anzⁿ et P

nanzⁿ⁻¹. Avec les inégalités :

∀n≥1, |anrⁿ| ≤ |nanrⁿ|=r¯

¯nanrⁿ⁻¹¯

¯ on déduit que I⁰ ⊂I et R⁰ ≤R.

Si R= 0,on a alors R⁰ = 0.

Si R > 0, pour tout réel r ∈ ]0, R[, on peut trouver un réel s ∈ ]r, R[ et posant s = r+h avec h >0, on a pour tout entier n≥1 :

sⁿ = (r+h)ⁿ= Xn

k=0

C_n^kr^n−kh^k ≥nrⁿ⁻¹h

et : ¯

¯na_nrⁿ⁻¹¯

¯≤ 1 h|a_nsⁿ|

la suite (ansⁿ)_n∈N étant bornée puisque s ∈ [0, r[ ⊂ I et en conséquence r ∈ I⁰. On a donc ]0, R[⊂I⁰, ce qui entraîne R ≤R⁰ et R=R⁰.

Corollaire 14.4 Une série entièreP

a_nzⁿet toutes ses séries dérivéesP

n(n−1)· · ·(n−p+ 1)a_nz^n−p ont toutes le même rayon de convergence.

Démonstration.Se déduit immédiatement du théorème précédent par récurrence surp≥1.

Exemple 14.1 La série géométriqueP

zⁿet toutes ses séries dérivéesP

n(n−1)· · ·(n−p+ 1)z^n−p, pourp≥1,ont toutes le même rayon de convergence1.La série primitiveP zⁿ⁺¹

n+ 1 a également son rayon de convergence égal à 1.

14.4 Fonctions développables en série entière

SiP

anzⁿ est une série entière de domaine de convergence D,on définit une fonction sur D en posant :

∀z ∈D, f(z) = X+∞

n=0

anzⁿ

et on rappelle que, dans le cas où le rayon de convergence R de cette série entière est non nul, D contient le disque ouvert D(0, R) de centre0 et de rayon R.

Réciproquement, on s’intéresse ici aux fonctions définies sur un voisinage ouvert de 0 dans le plan complexe qui peuvent s’écrire comme somme d’une série entière.

Définition 14.2 On dit qu’une fonction f définie sur un disque ouvert D(0, α) de centre0 et de rayon α >0 du plan complexe est développable en série entière au voisinage de 0 s’il existe une série entière P

a_nzⁿ et un réel r∈]0, α] tels que :

∀z ∈D(0, r), f(z) = X+∞

n=0

a_nzⁿ

Fonctions développables en série entière 295 Dans un premier temps, on constate que si une fonction est développable en série entière sur un disque ouvert D(0, r) elle est alors continue sur ce disque. En réalité elle est même indéfiniment dérivable (on peut définir la notion de dérivabilité au sens complexe, mais dans ce chapitre nous nous limiterons au cas réel).

Théorème 14.11 Une fonction f développable en série entière sur un disque ouvert D(0, r) du plan complexe est continue sur ce disque.

Démonstration. On se donne un point z0 ∈D(0, r).Pour tout z ∈D(0, r),on a : f(z)−f(z₀) =

X+∞

n=1

a_n(zⁿ−zⁿ₀) avec, pour n ≥1 :

zⁿ−zⁿ₀ = (z−z₀) Xn−1

k=0

z^n−1−kz₀^k= (z−z₀)P_n(z) ce qui donne :

f(z)−f(z0) = (z−z0) X+∞

n=1

anPn(z)

Comme |z| < r et |z₀| < r, il existe un réel t ∈ ]0, r[ tel que |z| < t et |z₀| < t et pour tout entier n ≥1,on a :

|a_nP_n(z)| ≤ |a_n| Xn−1

k=0

|z|^n−1−k|z₀|^k < n|a_n|tⁿ Une série et sa série dérivée ayant même rayon de convergence, la série P

n|a_n|tⁿ est conver- gente, donc P

anPn(z)est absolument convergente et :

|f(z)−f(z₀)| ≤ |z−z₀| X+∞

n=1

|a_nP_n(z)| ≤ ÃX+∞

n=1

n|a_n|tⁿ

!

|z−z₀|

ce qui entraîne la continuité de f en z₀.

Cette continuité de la somme d’une série entière nous permet de montrer l’unicité d’un développement en série entière.

Théorème 14.12 Si une fonction est développable en série entière au voisinage de0, alors ce développement est uniquement déterminé.

Démonstration. Supposons qu’il existe deux suites complexes (a_n)_n∈N, (b_n)_n∈N et un réel r >0tels quef(z) = ^+∞P

n=0

anzⁿ =^+∞P

n=0

anzⁿpour toutz∈D(0, r).En évaluantf en0,on déduit quef(0) =a₀ =b₀.On termine alors le raisonnement par récurrence sur n≥0.Supposant que a_k =b_k pour toutk compris entre 0et n, de :

f(z) = Xn

k=0

a_kz^k+ X+∞

k=n+1

a_kz^k

= Xn

k=0

b_kz^k+ X+∞

k=n+1

b_kz^k