a n z n une série entière de rayon de convergence ≥ 1 telle que P a n converge. On note f la somme de cette série entière sur le disque unité. On xe θ 0 ∈ £

Théorème d'Abel

Gourdon, Analyse, page 249 Théorème : Soit P

a n z ⁿ une série entière de rayon de convergence ≥ 1 telle que P a n converge. On note f la somme de cette série entière sur le disque unité. On xe θ 0 ∈ £

0, ^π ₂ £

et on pose

∆ θ

= {z ∈ C / |z| < 1 et ∃ρ > 0, ∃θ ∈ [−θ 0 , θ 0 ], z = 1 − ρe ^iθ } Alors

s→1 lim

s∈∆θ0

→ f (z) =

+∞ X

n=0

a n

Notons S = ^+∞ P

n=0

a n et R n = ^+∞ P

k=n+1

a k pour tout n ∈ N . Pour majorer |f (z) − S| , on va eectuer une transformation d'Abel en écrivant a n = R n−1 − R n pour tout n . Soit z ∈ C, |z| < 1 . On a

f(z) − S = ^+∞ P

n=1

a _n (z ⁿ − 1) = ^+∞ P

n=1

(R _n−1 − R _n )(z ⁿ − 1)

= ^+∞ P

n=0

R n (z ⁿ⁺¹ − 1) − ^+∞ P

n=1

R n (z ⁿ − 1)

= ^+∞ P

n=0

R n (z ⁿ⁺¹ − z ⁿ ) = (z − 1) ^+∞ P

n=0

R n z ⁿ

Fixons maintenant ε > 0, puis N ∈ N tel que |R n | < ε pour tout n ≥ N . D'après le calcul précédent, pour tout z ∈ C, |z| < 1,

|f (z) − S| ≤ |z − 1|

¯ ¯

¯ ¯

¯ X N

n=0

R n z ⁿ

¯ ¯

¯ ¯

¯ + ε|z − 1|

à _+∞

X

n=N +1

|z| ⁿ

!

≤ |z − 1|

à _N X

n=0

|R n |

!

+ ε |z − 1|

1 − |z|

Il existe α > 0 tel que

∀z ∈ C, |z| < 1, |z − 1| < α, |z − 1|

à _N X

n=0

|R n |

!

< ε

Maintenant, si z ∈ ∆ θ

, on peut écrire z = 1 − ρe ^iϕ avec ρ > 0 et |ϕ| ≤ θ 0 , donc |z| ² = 1 − 2ρ cos ϕ + ρ ²

et |z − 1|

1 − |z| = |z − 1|

1 − |z| ² (1 + |z|) = ρ

2ρ cos ϕ − ρ ² (1 + |z|) ≤ 2 2 cos ϕ − ρ Ansi, si ρ ≤ cos θ 0 ,

|z − 1|

1 − |z| ≤ 2 2 cos θ 0 − cos θ 0

= 2

cos θ 0

En dénitive, si z ∈ ∆ θ

et |z − 1| ≤ inf (α, cos θ 0 ), on a alors

|f (z) − S| ≤ ε + ε 2 cos θ 0 = ε

µ 1 + 2

cos θ 0

¶

d'où le résultat.

Remarque : La réciproque est fausse : lim

z→1

+∞ X

n=0

(−1) ⁿ z ⁿ = 1

2 mais P

(−1) ⁿ diverge.

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