Déterminer le rayon de convergence de la série entière :

PanaMaths Décembre 2006

Déterminer le rayon de convergence de la série entière :

2

sh ch

n z

∑ n

Analyse

Les coefficients ne posent pas de problème d’existence particulier (le cosinus hyperbolique au dénominateur ne s’annule pas). Leur forme suggère d’utiliser la règle de d’Alembert.

Résolution

Pour tout entier naturel n, posons : sh₂

n ch u n

= n. On a alors :

( )

( ) ( )

( )

2 1

2

sh 1 th( 1)

ch 1 ch 1 th( 1) ch

sh th th ch 1

ch ch

n n

n n

n n

u n n

n n

u n n

n n

+

+ +

+ + +

= = = ×

+

On a la limite classique : lim th 1

x x

→+∞ = . On a donc : ^{lim th lim th}

(

)

n n n n

→+∞ = →+∞ + = .

Par ailleurs, on a l’équivalence : 1

ch 2

x ex +∞∼ .

On en déduit :

( )

1

ch 2 1

ch 1 1 2

n

n

n e

n ^+∞ e⁺ e + ∼ = .

D’où :

( )

ch 1

lim ch 1

n

n

n e

→+∞ =

+ .

Finalement :

1 1

lim ⁿ

n n

u

u e

+

→+∞ = .

On en déduit alors, d’après la règle de d’Alembert, que le rayon de convergence de la série entière est égal à e.

PanaMaths Décembre 2006

Résultat final

Le rayon de convergence de la série entière sh₂ ch

n n

nz

∑