MVA101 - Analyse et Calcul Matriciel Examen Session 2, 10 avril 2019, durée : 3 heures
CORRIGÉ
Exercice 1 : Séries entières
Déterminer le rayon de convergence R des sèries entières suivantes et étudier, le cas échéant, la série quand
|x| = R :
a) X
n≥1
(n − 1) 2 (n + 1) n+1 x n
Corrigé : D' après le critère de D'Alembert on a n
2(n + 2)
n+2(n + 1)
n+1(n − 1)
2=
n + 1 n + 2
n+1n n − 1
21 n + 2
n→∞
−→ 0.
Donc R = +∞ .
b) X
n≥1
(−1) n ne n+1 x n
Corrigé : D' après le critère de Cauchy on a
n
r 1 ne
n+1n→∞
−→ 1 e . D'où R = e. Or, pour x = e la série devient
X
n≥1
(−1)
nne
n+1e
n= 1
e X
n≥1
(−1)
nn
qui est la série harmonique altérnée, qui converge. D' autre part, pour x = −e la série devient
X
n≥1
e
nne
n+1= 1
e X
n≥1
1 n qui est la série harmonique, qui diverge.
c) X
n≥1
cos(n) 3 n x n
Corrigé : On sait que | cos(n)| ≤ 1 . Donc pour le critère de comparaison on a R ≥ 3 , car il est plus grand du rayon de convergence de la série de terme général 1/3
n. Mais pour x = 3, ainsi que pour x = −3, la série est divergente car le terme général cos(n) ne tend pas vers 0. Donc R = 3.
Exercice 2 : Série de Fourier
Soit f la fonction paire, périodique de période 2π , dénie par f (x) = cos x
4
, pour x ∈ [0, π].
1. Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle [−3π, 3π] .
Corrigé :
−5 5 0.7
0.8 0.9 1 1.1
2. Déterminer la série de Fourier trigonométriques S(f) de f ; Corrigé : La function est paire et donc on a b
n= 0 ,
a
0= 1 π
Z
π 0cos(x/4)dx
et
a
n= 2 π
Z
π 0cos(x/4) cos(nx)dx
pour tout n ≥ 1 . Pour calculer les coecients a
non pourra utiliser l' identité 2 cos u cos v = cos(u + v) cos(u − v) . On obient
a
0= 2 √ 2
π et a
n= (−1)
n4 √ 2 π(1 − 16n
2) .
3. Étudier la convergence de cette série (simple et uniforme);
Corrigé : Comme la fonction f est continue alors on a convergence uniforme (et donc simple). De plus f (x) = S (f)(x) pour tout x.
4. Déterminer la somme de la série :
+∞
X
n=1
1 1 − 16n 2 .
Corrigé : On considère l'identité f(x) = S(f)(x) en x = π an d'obtenir
+∞
X
n=1