Rayon de convergence

Rayon de convergence

1 Premiers exemples

TrouverRdans les cas suivants :

a_n= 2ⁿ+ 3ⁿ+ 4ⁿ, a_n= 1 + 2ⁿ, a_n= n!

(2n)!, a_n= eⁿ

√n!

2 Que dire de R si

1-∀n≥1,1≤an ≤n? 2-∀n≥1,1≤an ≤2ⁿ ? 3-∀n≥1,0≤an ≤1?

3 (a

) strictement positive et croissante

On suppose(an)strictement positive et croissante ; que dire deRa ? Indications

Pan diverge, doncRa ≤1; on ne peut pas être plus précis : an=n!, ouan=aⁿ aveca≥1.

4 a

= cos n

Trouver le rayon de convergence dePa_nzⁿ, oùa_n= cosn. Indications

Pourt= 1,(an.tⁿ) = (cosn)ne tend pas vers 0 ; doncP

an diverge, doncR≤1. Pourt= 1,(an.tⁿ)est bornée, doncR≥1.

R= 1 Remarque

Pourquoi(cosn)ne tend pas vers 0 ?

sin 2n= 2.cosn.sinn Si(cosn)tendait vers 0,(sin 2n)et(cos 2n)aussi, orcos²+ sin²= 1...

5 a

= n

√n

, b

= n

, c

= (ln n)

Trouver le rayon de convergence deP

anzⁿ, oùan=n

√n.

Indications

Pantⁿ diverge pourt= 1; doncR≤1. Fixonst∈]0,1[; soitun=antⁿ =n

√n.tⁿ.

∀n >0,lnu_n =√

n.lnn+n.lnt Par croissances comparées,(lnu_n)tend vers−∞; donc(u_n)tend vers 0 ; doncR≥t.

Conclusion :

R_a = 1 On montre également queRb=Rc= 1.

6 a

= n

Trouver le rayon de convergence dePa_nzⁿ, oùa_n=n⁽⁻¹⁾ⁿ. Indications

Pourt= 1,(an.tⁿ)ne tend pas vers 0 ; doncP

an diverge, doncR≤1. Soitt∈]0,1[; soit un=an.tⁿ.

∀n≥1,0≤antⁿ≤n.tⁿ Donc(a_ntⁿ)tend vers 0 par croissances comparées ; doncR≥t.

Conclusion :

R= 1 Autre méthode

On sait queP

n.bn.zⁿ a le même rayon de convergence queP

bnzⁿ ; pour(bn) = (1), on obtient queP

n.zⁿ a pour rayon 1.

De plus, ici(an)est dominée par(n); doncR≥1.

7 Intensité variable

TrouverRdans les cas suivants :

an= (2 + (−1)ⁿ)ⁿ, an=

1 + (−1)ⁿ n

ⁿ²

8 Exemples variés...

TrouverRa dans les cas suivants : 1-an est lan−ième décimale de√

2.

2-an est le reste de la division euclidienne denpar 4.

3-

an=

ˆ ^p(n+1)π

√nπ

sin x² dx 4-

a_n =

∞

X

k=n

(−1)^k k

9 Rayon non nul

Montrer queR_a est non nul si et seulement si la suite

|a_n|ⁿ¹

est majorée.

10 f et f

Comparer les rayons de convergence def et f².

Indications

On sait que sih=f.g, alorsRh≥min (Rf, Rg); donc

Rf² ≥Rf

Un exemple oùRf² > Rf ? Cherchez encore un peu...

Réponse

f(x) = (1 +x)¹² ; on montre queRf = 1 etRf² =∞.

11 c

= a

, c

= b

Exprimer le rayonRc de la série entièreP

cnxⁿ en fonction deRa etRb si

∀n≥0, c2n =an, c2n+1=bn

Indications

Soitz∈C. (cn.zⁿ)est bornée si et seulement si an t²n

et bn t²n

le sont.

On trouve

Rc= minp Ra,p

Rb

12 a

= ´

0

t

.sin t dt

Trouver le rayon de convergence deP

anzⁿ, oùan=´π

0 tⁿ.sintdt. Indications

On peut montrer que

an∼ πⁿ⁺² n²

13 a

= exp (n.cos n)

Trouver le rayon de convergence deP

anzⁿ, oùan= exp (n.cosn). Indications

Soitt=¹_e ; il est clair que(antⁿ)est bornée ; doncR≥ ¹_e.

Pour la suite, on admet l'existence d'une suite d'entiers naturels strictement croissante(nk)telle que (cosnk)converge vers 1. Soitt∈₁

e,+∞

. Notons

bn= ln (an.tⁿ) Alors,

b_nk =n_k(cosn_k+ lnt) est positif à partir d'un certain rang, car(cosnk+ lnt)converge vers1 + lnt >0.

Doncan_k.t^nk ≥1 à partir d'un certain rang ; doncPantⁿ diverge ; d'oùR≤t. On en déduitR≤¹_e. Finalement :

R= 1 e

14 Quelques transformations de séries entières

SoitPa_nxⁿ une série entière de rayon de convergenceR ni non nul. Que dire du rayon de convergence des séries entières suivantes :

1-Pn!anxⁿ 2-Pa_n

n!xⁿ 3-Pa2nx²ⁿ 4-P

anx²ⁿ 5-P

a2nxⁿ

15 P (n) = 2

Pourn∈N,soit

An={P ∈N[X]/P(2) =n}

1- Montrer queAn est ni ; on noteun son cardinal.

2- Montrer que

∀n≥0, u2n+1=u2n

3- Montrer que

∀n≥1, u_2n=u_2n−1+u_n 4- Montrer que

∀n≥0, u_2n=

n

X

p=0

u_k

5- Ecrire une fonction Python qui renvoieup pourp∈[0,100]; peut-on conjecturer le rayon de convergenceRdeP

un.xⁿ ? 6- Montrer que

∀n≥0, u₂n≤n+ 1 + 2^n(n−1)2 7- CalculerR.

Indications

1- SoitP ∈N[X]non nul de degréd:

P =

d

X

k=0

ak.X^k

SupposonsP(2) =n. Alors d≤net chaque ak vérie

0≤ak≤n DoncA_n est ni etu_n≤(n+ 1)ⁿ⁺¹.

2- Supposons

2n+ 1 =

d

X

k=0

a_k.2^k

Alorsa₀ est impair, et

2n= (a₀−1) +

d

X

k=1

a_k.2^k On vérie qu'on dénit ainsi une bijection entreA_2n+1et A_2n : P →P−1.

3- Supposons

2n=

d

X

k=0

ak.2^k=P(n) Remarquons quea₀ est pair.

Sia₀6= 0:

2n−1 = (a0−1) +

d

X

k=1

ak.2^k

Sia₀= 0:

n=

d−1

X

k=0

a_k+1.2^k 4- Par récurrence surnavec la question précédente.

5-_u

n+1

u_n

semble converger vers 1 ; on peut conjecturer queR= 1. 6- Il y a dansA2ⁿ les(n+ 1)polynômes 2^k.X^n−k

0≤k≤n ; examinons les autres : 2ⁿ =

n

X

k=0

ak.2^k

Nécessairement : 0≤a0≤2ⁿ−1,0≤a1≤2ⁿ⁻¹−1,...,0≤a_n−1≤2¹−1, etan= 0. Nombres de polynômes de cette forme :

n

Y

k=0

2^k = 2^n(n+1)2

Mais la valeur dea₀est déterminée par les autres. Conclusion :

∀n≥0, u2ⁿ≤n+ 1 + 2^n(n−1)2 7- On peut utiliser la question précédente, ou directement :

SoitP∈N[X]non nul de degréd: P =Pd

k=0a_k.X^k ; supposonsP(2) =n. On a vu que chaquea_k vérie 0≤a_k≤n

De plus,

d≤log₂(n) Doncun ≤(n+ 1)^1+log2(n), ce qui permet de conclure queR= 1.