1 Définition et rayon de convergence

Leçon 243 : Convergence des séries entières, proprié- tés de la somme. Exemples et applications.

1 Définition et rayon de convergence

Définition 1. On appelle série entière (S.E.) une série de fonctions de la forme Pa_nzⁿavecz∈Cet (a_n) une suite dansC.

Lemme 2(Abel). Soit R=sup©

rÊ0|(a_nrⁿ)bornéeª

∈[0,+∞]. Alors :

— si|z| <R, la sériePa_nzⁿconverge absolument.

— si|z| >R, la sériePa_nzⁿdiverge grossièrement.

Le nombre R est appelé rayon de convergence de la série.

Exemple 3.

1. série géométriquePzⁿ,R=1.

2. Pa_nzⁿoùa_nest lan-ième décimal dep 2,R=1.

Proposition 4(critère de D’Alembert). Si|^a_aⁿ⁺¹_n | →λ∈[0,+∞]alors R=¹_λ(avec comme convention¹₀= ∞et_∞¹ =0).

Exemple 5.

1. exp(z)=Pzⁿ

n!,R= +∞. 2. P

n!zⁿ,R=0.

Proposition 6(critère de Cauchy). Si|a_n|¹ⁿ→λ∈[0,+∞]alors R=_λ¹. Proposition 7(formule de Hadamard). _R¹=lim sup|a_n|ⁿ¹

Exemple 8.

1. P

e^nsin(n)zⁿ,R=e⁻¹.

2. siPa_nzⁿa pour rayon deCV.RalorsPa_nz²ⁿa pour rayon deCV.p R.

Remarque9. Comme lim inf|^a_aⁿ⁺¹_n | Élim sup|a_n|ⁿ¹ Élim sup|^a_aⁿ⁺¹_n |, si le critère de D’Alembert s’applique alors le critère de Cauchy s’applique aussi.

2 Régularité de la somme dans le disque de conver- gence

Proposition 10. SoientPa_nzⁿde rayon R_a,Pb_nzⁿde rayon R_betλ∈C.

1. La S.E.P(a_n+b_n)zⁿa pour rayon deCV. R_a+bÊmin(R_a,R_b)avec égalité si R_a6=R_b. De plus,∀|z| <min(R_a,R_b), on a

+∞X

n=0

(an+bn)zⁿ=

+∞X

n=0

anzⁿ+

+∞X

n=0

bnzⁿ

2. La S.E.Pλa_nzⁿa le même rayon deCV. quePa_nzⁿet∀|z| <R_a, on a

+∞X

n=0

λa_nzⁿ=λ^+∞X

n=0

a_nzⁿ

3. Soit cn =Pn

k=0a_kb_n−k, on appelle produit de Cauchy des sériesP anzⁿ et Pbnzⁿla S.E.P

cnzⁿ. Son rayon deCV. vérifie RcÊmin(Ra,R_b)et pour tout

|z| <min(R_a,R_b), on a

+∞X

n=0

cnzⁿ= µ_+∞

X

n=0

anzⁿ

¶

· µ_+∞

X

n=0

bnzⁿ

¶

Ainsi, l’ensemble des S.E. de rayon deCV.ÊR est une algèbre surC.

Exemple 11.

1. (1−z)×Pzⁿ=1 pour tout|z| <1. On voit ici queR_a= ∞,R_b=1 etR_c= ∞. 2. Soit Pa_nzⁿ de rayon deCV.R et A_n =Pn

k=0a_k. Alors ∀|z| <min(1,R), P_+∞

n=0A_nzⁿ=_1−z¹ P_+∞

n=0a_nzⁿ. On considère à présent une S.E.P

anzⁿde rayon deCV.Ret on note f(z) sa somme pourz∈D(0,R).

Proposition 12. La sériePa_nzⁿ converge normalement sur tout compacte de D(0,R). En particulier, f est continue surD(0,R).

Définition 13. On appelle série dérivée dePa_nzⁿ la S.E. P

n>0na_nzⁿ⁻¹. Son rayon deCV. est le même que celui dePa_nzⁿ.

1

Proposition 14. f estC–dérivable surD(0,R)et f⁰(z)=P_+∞

n=1na_nzⁿ⁻¹.

Corollaire 15. f est indéfinimentC–dérivable surD(0,R)et∀n∈N, an= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Corollaire 16. f admet une primitive surD(0,R)donnée par F(z)=P_+∞

n=0a_n^z_n+1ⁿ⁺¹. Exemple 17.

1. log(1+x)=

+∞X

n=1

(−1)ⁿxⁿ

n sur ]−1, 1[.

2. arctan(x)=

+∞X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+1sur ]−1, 1[.

Définition 18.SoitUun ouvert deR(resp. deC) etf :U→C. On dit quef est dé- veloppable en série entière (D.S.E.) enx₀∈Us’il existe une S.E.Pa_nzⁿde rayon deCV.R>0 telle que∀x∈U,|x−x₀| <R, on af(x)=P_+∞

n=0a_n(x−x₀)ⁿ.

Sif est développable en série entière en tout point deU, on dit quef est analy- tique surU.

Théorème 19. Les série entières sont analytiques dans leur disque de convergence.

Corollaire 20. Si U est un ouvert deRet f est analytique sur U alors f estC^∞et les coefficients de son D.S.E. en chaque x₀∈U sont donnés par a_n=^f

(n)(x0) n! . Remarque21. SurR, C^∞6⇒analytique, par exemplef(x)=

½ e^−1/x x>0 0 xÉ0 . Théorème 22. Soit U ouvert deRet f C^∞sur U . Alors f est analytique sur U ssi

∀x∈U,∃V∈V(x),∃R,M>0,∀y∈V,|f⁽ⁿ⁾(y)| Én!_R^Mn.

Application : Résolution d’E.D.O linéaires. La solution générale de l’équation x y⁰⁰+(x−2)y⁰+2y=0 esty(x)=α(1−x−^x₂²)+βe^−xoùα,β∈R.

3 Holomorphie et séries entières

Définition 23. SoitUun ouvert deCetf :U→C. On dit quef est holomorphe surUsif est continumentC–dérivable surU.

Théorème 24. Si f :U→Cest holomorphe alors f est analytique sur U . Exemple 25. D.S.E. des fractions rationnelles en 0.

Corollaire 26.

1. Si f :U→Cest analytique et ne s’annule pas sur U alors ¹_f est analytique sur U .

2. La composition de deux fonctions analytiques est analytique.

3. Si f :U→f(U)⊆Cest holomorphe et bijective alors sa réciproque est holo- morphe (conséquence du théorème d’inversion locale). Donc si f est analy- tique et bijective, son application réciproque est encore analytique.

Théorème 27(zéros isolés). Si f :U→Cest analytique non identiquement nulle et si z0∈U tel que f(z0)=0alors il existe V voisinage de z0tel que f ne s’annule pas sur V\ {z0}.

Théorème 28(principe du prolongement analytique). Soit U ouvert connexe de Cet f :U→Canalytique. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. f est identiquement nulle sur U .

2. f⁻¹({0})possède un point d’accumulation dans U . 3. ∃z₀∈U tel que∀n∈N, f⁽ⁿ⁾(z₀)=0.

Théorème 29(formule de Cauchy). Soit f :U→Canalytique et soient z₀∈U et r>0tels queD(z0,r)⊆U . Alors pour tout n∈N, on a

f⁽ⁿ⁾(z₀) n! = 1

2iπ Z

C(z₀,r)

f(z) (z−z₀)ⁿ⁺¹dz

Corollaire 30(inégalités de Cauchy). |^f(n)_n!^(z0)| Ér⁻ⁿ max

|z−z0|=r|f(z)|

Théorème 31(Liouville). Si f est analytique surCet bornée alors f est constante.

Corollaire 32(théorème de D’Alembert–Gauss). Tout polynôme P ∈C[X]non constant admet une racine dansC.

2

Théorème 33(Formule de Parseval). Soit f :U→Canalytique et soitD(z₀,r)⊆ U , alors :

+∞X

n=0

¯

¯

¯

¯ f⁽ⁿ⁾(z₀)

n!

¯

¯

¯

¯

2

r²ⁿ= 1 2π

Z 2π 0

¯¯f¡

z₀+re^iθ¢¯

¯

2dθ

Exemple 34. SiPa_nzⁿde rayon deCV.RÊ1 est bornée sur D(0, 1) et si∀n∈N, a_n∈ZalorsP

a_nzⁿest un polynôme.

4 Comportement sur le bord du disque de conver- gence

Théorème 35(Abel non tangentiel). SoitP

anzⁿune S.E. de rayon deCV. R=1et soit f sa somme. Pourθ0∈[0,^π₂[, on définit le secteur angulaire

∆θ0=D(0, 1)∩ n

1−ρe^iθ

¯

¯

¯ρ>0,|θ| Éθ0

o

Si la sériePa_nconverge alors lim

z∈∆z→1θ0

f(z)=

+∞X

n=0

a_n.

Exemple 36.

1. log(2)=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ n 2. π

4 =arctan(1)=

+∞X

n=0

(−1)ⁿ 2n+1

3. SoientPa_n etPb_n deux séries convergentes et soitPc_n leur produit de Cauchy. SiPc_nconverge alors

+∞X

n=0

c_n= µ_+∞

X

n=0

a_n

¶

· µ_+∞

X

n=0

b_n

¶

Remarque37.

1. La réciproque est fausse, par exempleP

(−1)ⁿxⁿ→¹₂maisP

(−1)ⁿdiverge.

2. L’hypothèsez ∈∆θ0 est indispensable. Par exemple, pour la série entière f(z)=P

n>0−z⁽³ⁿ⁾+z^(2·3n)

n ,f(1)=0 mais∀p∈N^∗,|f(rexp(iπ3^−p)|n’est pas borné lorsquer→1.

Théorème 38(Taubérien faible). SoitPa_nzⁿ une S.E. de rayon deCV. R=1et soit f sa somme. On suppose qu’il existe S∈Ctel quelim

x→1x<1

f(x)=S. Si a_n=o(1/n) alorsP

anconverge vers S Définition 39. SoitP

anzⁿde rayon deCV.Rfini et soit f sa somme. Un point z₀∈C(0,R) est dit régulier sif admet un prolongement analytique sur un voisi- nage dez₀. Sinon, il est dit singulier.

Remarque40. convergence sur le bord6=régularité, par exemplePzⁿ,P zⁿ n+1et P zⁿ

(n+1)(n+2).

Proposition 41. Toute série entière de rayon R fini admet un point singulier.

Théorème 42 (lacunes de Hadamard). Soit (λn) suite dans N^∗ telle que λn+1Êαλn avecα>1. SoitPa_nz^λn de rayon R fini. Alors tout point du bord du disque de convergence est singulier.

Développements

1. Théorèmes d’Abel non tangentiel et Taubérien faible.[35]

2. Théorème des lacunes de Hadamard.[42]

3

Annexe Références

— BECK, MALICKet PEYRÉ,Objectif agrégation.

— DANTZER,Mathématiques pour l’agrégation, analyse et probabilités.

— GOURDON,Les maths en tête, analyse.

— QUEFFÉLECet ZUILY,Analyse pour l’agrégation.

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