1. Rayon de convergence Exercice 1. Soient X

D´ epartement de Math´ ematiques Licence 2

Universit´ e Paris 13 ann´ee 2006/07

Feuille 6 : S´ eries enti` eres.

1. Rayon de convergence Exercice 1. Soient X

n ≥ 0

a _n z ⁿ et X

n ≥ 0

b _n z ⁿ deux s´eries enti`eres de rayon de convergence respectifs R et R ⁰ . On suppose qu’il existe un entier n ₀ ∈ N tel que pour tout n ≥ n ₀ ,

| a _n | ≤ | b _n | . Montrer que R ≥ R ⁰ . Exercice 2. Soient P

a _n z ⁿ une s´erie enti`ere et deux nombres h et k tels que 0 < h <

| a _n | < k pour tout n. Quel est le rayon de convergence de la s´erie ? Exercice 3. Soit P

a _n z ⁿ une s´erie enti`ere de rayon de convergence R. Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

a ² _n z ⁿ ?

Exercice 4. Etudier la convergence des s´eries enti`eres suivantes, sans oublier la con- vergence sur le bord du disque de convergence :

1) X n + 1

n ² + 1 z ⁿ , 2) X (n + 1) ²

2 ⁿ z ⁿ , 3) X 3 ⁿ

n! z ⁿ , 4) X 1 n z ⁿ ,

5) X √

nz ⁿ , 6) X 1

n ³ z ⁿ , 7) X 1

3 + · · · + 1 4n ² − 1

z ⁿ ,

8) X ( − 1) ^{n − 1}

(2n − 1)3 ^{2n − 1} z ⁿ , 9) X 1

n ² 2 ⁿ z ⁿ , 10) X

nz ⁿ , 11) X

n ⁽⁻¹⁾

z ⁿ ,

12) X

z ^n! , 13) X

(sin n) ⁿ z ⁿ , 14) X

(1 + in)z ⁿ , 15) X √ n ln n n ² + 1 z ⁿ . Exercice 5. Soient P

a _n z ⁿ une s´erie enti`ere telle que a _n = n si n est impair ou nul et a _n = (1 + _n ¹ ) ⁿ

si n est pair strictement positif. Quel est le rayon de convergence de la s´erie?

Exercice 6. D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

a _n z ⁿ lorsque:

1) a _n = n ²

3 ⁿ + n , 2) a _n = n ⁿ

n! , 3) a _n = 1 (1 + √

n) ⁿ , 4) a _n = ( − 1) ⁿ n(n + 1) , 5) a _n = n ^1/n − 1, 6) a _n = ch(n)

n , 7) a _n = sin(π √

n ² + 1),

8) a _n = e −

1 + 1

n n

9) a _n = a ^{√ n} (a ∈ R ^∗

+ )

2

2. Calcul de sommes

Exercice 7. D´eterminer le rayon de convergence et calculer la somme des s´eries enti`eres r´eelles suivantes :

1) X

n ≥ 0

(3n + 1)x ³ⁿ , 2) X

n ≥ 0

sin n

n! x ⁿ , 3) X

n ≥ 0

(2 ⁿ + 3 ⁿ )x ⁿ , 4) X

n ≥ 0

x ³ⁿ (3n)! ,

5) X

n ≥ 0

sin n x ⁿ , 6) X

n ≥ 1

x ⁿ

1 + 2 + . . . + n , 7) X

n ≥ 0

( − 1) ⁿ ω ²ⁿ (2n)!2 ^{2n − 1} x ²ⁿ ,

8) X

n ≥ 0

( − 1) ⁿ

4n ² − 1 x ²ⁿ 9) X

n ≥ 1

1

n(n + 1)(2n + 1) x ⁿ .