+ Exercice 1. Convergence.

TD6 : Suites numériques ⁺ Classique et incontournable O Plus dicile

Généralités

+ Exercice 1. Convergence.

Calculer, si elles existent, les limites des suites suivantes : a. u

n

=

1 + 1

n

ⁿ

b. u

n

=

1 − 1 n

ⁿ

c. u

n

=

1 + 1 n

n²

d. u

n

=

1 + 1 n

²

ⁿ

+ Exercice 2. Suite d'entiers.

Montrer qu'une suite de nombres entiers convergente est stationnaire ie constante à partir d'un certain rang.

+ Exercice 3. Suites adjacentes.

Montrer que les suites suivantes sont adjacentes : u

_n

=

n

X

k=0

1

k! et v

_n

= u

_n

+ 1 n × n!

+ Exercice 4. Caractérisation séquentielle de la borne sup.

Soit A une partie non vide et bornée de R et M un réel.

1. Montrer que :

M = sup(A) ⇐⇒

M majore A

∃(x

n

) ⊂ A, lim(x

_n

) = M 2. Enoncer un résultat analogue pour inf(A) .

+ Exercice 5. Suites des indices pairs et des indices impairs.

Soit (u

n

) une suite réelle. Si (u

2n

) et (u

2n+1

) convergent vers la même limite l alors (u

n

) converge aussi vers l .

Exercice 6. Suite géométrique complexe.

Soit u ∈ C

^N

dénie par u

_n

= q

ⁿ

avec q ∈ C. Montrer que u converge vers 0 si et seulement si |q| < 1 .

Exercice 7. Monotonie.

Etudier la monotonie des suites suivantes :

a. u

n

= e

^ln(n)n

b. u

n

= √

n − 8 ln(n)

c. u

n

= n

²

e

⁻ⁿ

d. u

n

= (−1)

ⁿ

n

e. u

_n

=

n

X

k=1

√ 1 k − n

Exercice 8. Convergence.

Etudier la convergence des suites suivantes : a. u

n

= n sin

1 n + 1

b. u

_n

= p

n

⁴

+ n

²

+ n − n

²

− n

c. u

n

= √

n + 1 − √ n − 1 d. u

n

= ln(n + 1) − ln(n) e. u

n

=

n − 1 n + 1

ⁿ

f. u

n

= ln(n)

ⁿ¹

g. u

n

=

− 1 2

ⁿ

+ 3 h. u

n

= 4

3 − 2

ⁿ

i. u

n

= n + sin(n)

n

²

+ 1 j. u

n

= cos(n) − n

k. u

n

= ln(n) + (−1)

ⁿ

l. u

n

= n cos(n) + 2n m. u

n

= (−1)

ⁿ

cos(n) + n

²

n. u

n

= (−1)

ⁿ

√

2n + 1−n o. u

n

= √

n + 1 cos(n) − n

Exercice 9. Suites adjacentes.

Montrer que les suites suivantes sont adjacentes : a. u

n

=

n−1

X

k=1

1

k

²

(k + 1)

²

et v

n

= u

n

+ 1

3n

²

b. u

n

=

n

X

k=1

1

n + k et v

n

=

2n

X

k=n

1 k

Exercice 10. Suites récurrentes.

Etudier la monotonie des suites récurrentes suivantes : a. u

0

∈ R et u

n+1

= u

²_n

+ 1 pour tout n ∈ N.

b. u

0

≥ 1 et u

n+1

= 1 + ln(u

n

) pour tout n ∈ N.

Exercice 11. Suites arithmético-géométriques.

Etudier les suites suivantes :

a. u

0

= 1 et u

n+1

= 3u

n

− 3 pour tout n ∈ N.

b. u

0

= 2 et u

n+1

= 2u

n

+ 3 pour tout n ∈ N.

Exercice 12. Suites récurrentes d'ordre 2 .

Exprimer le terme général u

_n

en fonction de n pour les suites suivantes : a. u

₀

= 0 , u

₁

= 3 et u

_n+2

= −u

n+1

+ 2u

_n

pour tout n ∈ N.

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b. u

₀

= 5 , u

₁

= 6 et u

_n+2

= 6u

_n+1

− 9u

_n

pour tout n ∈ N.

c. u

₀

= 5 , u

₁

= 1 et u

_n+2

= −9u

n

pour tout n ∈ N.

Exercice 13. Suites convergeant vers 0 . Soit u ∈ R

^N

.

a. Si u vérie ∀n, m ∈ N

^∗

, 0 ≤ u

_n+m

≤ n + m

nm alors montrer que lim(u

_n

) = 0 . b. Si u vérie lim u

n

1 + u

_n

= 0 alors montrer que lim(u

n

) = 0 . c. Si u est bornée et vérie lim u

n

1 + u

²_n

= 0 alors montrer que lim(u

n

) = 0 .

O Exercice 14. Une suite.

Etudier la convergence de la suite dénie pour n ∈ N

^∗

par : u

n

=

n

X

k=1

√ 1 n

²

+ k .

Exercice 15.

Soit u et v deux suites à valeurs dans [0, 1] et telles que lim(u

n

v

n

) = 1 . Montrer que lim(u

_n

) = 1 et lim(v

_n

) = 1 .

O Exercice 16. Suite extraite.

Soit (u

_n

) une suite réelle croissante telle que (u

_2n

) converge. Montrer que (u

_n

) converge.

Exercice 17. Somme de suites.

Soit u, v ∈ R

^N

telles que pour tout n ∈ N, u

n

≤ a et v

n

≤ b avec a, b ∈ R. Montrer que si u + v converge vers a + b alors u converge vers a et v converge vers b .

Analyse asymptotique

+ Exercice 18. Série harmonique.

Pour n ∈ N

^∗

, on considère H

n

=

n

X

k=1

1 k .

1. Montrer que, pour tout n ∈ N

^∗

, ln 1 +

_n¹

≤

_n¹

≤ ln

1 +

_n−1¹

. 2. Donner un équivalent de H

_n

.

3. Montrer que la suite v

_n

= H

_n

− ln(n) est convergente.

Exercice 19. Equivalents.

Donner un équivalent simple des suites suivantes : a. u

n

= n

n

ⁿ¹

− 1 b. u

n

= sin

1 n

− tan 1

2n

c. u

_n

= √

n + 1 − √ n

d. u

n

= p

ln(n + 1) − ln(n)

O Exercice 20.

Pour n ∈ N

^∗

, on pose s

n

=

n

X

k=1

√ 1

k , u

n

= s

n

− 2 √

n + 1 et v

n

= s

n

− 2 √ n . 1. Montrer que u et v sont adjacentes.

2. Montrer que pour tout n ∈ N

^∗

, 1 2 √

n + 1 ≤ √

n + 1 − √ n ≤ 1

2 √ n . 3. En déduire un équivalent de s

n

.

O Exercice 21.

On considère, pour n ∈ N

^∗

, l'équation (E) : x

ⁿ

+ nx − 1 = 0 .

1. Montrer que pour tout n ∈ N

^∗

, l'équation possède (E) possède une unique solution sur ]0, +∞[ , notée x

n

.

2. Montrer que pour tout n ∈ N

^∗

, on a 0 < x

n

<

_n¹

. 3. Montrer que, ((x

n

)

ⁿ

) converge vers 0 .

4. En déduire que x

n

∼

_n¹

.

Exercice 22.

Soit u

0

∈ R et (u

n

) la suite dénie pour n ≥ 1 par : u

n+1

= e

^−un

n . 1. Montrer que lim(u

n

) = 0 .

2. En déduire que u

_n

∼

_n¹

.

+ Exercice 23.

Soit (u

n

) une suite réelle.

a. Montrer que si u

n

= O(n) alors u

n

= o(n

²

) . b. La réciproque est-elle vraie ?

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