Sup PCSI2 — Contrˆole 2005/04
◮Avant de lire l’´enonc´e, prenez connaissance des directives ´enum´er´ees en bas de la deuxi`eme page !
Exercice 1 : une suite de questions
. . . Q1 Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eralan=³1 + 1 n
´n
?
Q2 Exhibez une suite (un) qui converge vers 0, et telle que (1 +un)n converge vers 1.
Q3 Exhibez une suite (vn) qui converge vers 0, et telle que (1 +vn)n diverge vers +∞.
Q4 Exhibez une suite (wn) qui converge vers 0, et telle que (1 +wn)n converge vers 0.
Q5 Soit λ >0. Exhibez une suite (xn) qui converge vers 0, et telle que (1 +xn)n converge versλ.
Q6 ⋆⋆ La suite (un) est born´ee mais ne converge pas. La suite (vn) n’est pas born´ee, mais elle ne diverge ni vers +∞, ni vers −∞. La suite de terme g´en´eral unvn peut-elle converger vers 0 ?
◮Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Les r´eponses qui ne sont pas accompagn´ees d’une preuve ou d’un contre-exemple (avec justification pr´ecise) ne seront pas prises en compte.
Toutes les suites consid´er´ees sont des suites de r´eels.
Q7 Si la suite (un) diverge vers +∞, alors⌊un⌋ng→∞un. Q8 Si la suite (un) diverge vers +∞, alors ln(2un)ng→∞ln(un).
Q9 Si la suite (un) diverge vers +∞, alors ln¡
⌊un⌋¢ g
n→∞ln(un).
Q10 Si la suite (un) diverge vers +∞, alors⌊exp(un)⌋ng→∞exp(un).
Q11 Si la suite (un) diverge vers +∞, alors exp¡
⌊un⌋¢ g
n→∞exp(un).
Q12 Si la suite (xn) converge vers 0 et siun 6xn
2 `a partir d’un certain rang, alors la suite (un) converge ´egalement vers 0.
Exercice 2 : quelques calculs
◮Les questions de cet exercice sont ind´ependantes les unes des autres.
Q1 Rappelez (sans preuves) les d´efinitions respectives de sh(x) et ch(x), puis les formules qui expriment sh(2x) et ch(2x) en fonction de sh(x) et ch(x).
Q2 Calculez Z ln(2)
0
sh(2t) ch2(t)dt. Le r´esultat sera donn´e sous forme d’une fraction irr´eductible.
Q3 Calculez la limite de la suite de terme g´en´eral Sn= 1 n
X
16k6n
sin2³kπ n
´
Q4 ⋆⋆ Donnez un ´equivalent simple deTn= X
16k6n
sin³kπ n
´
sin³(k−1)π n
´
lorsquentend vers l’infini.
Q5 ⋆⋆ Calculez la limite de la suite de terme g´en´eralxn= sin³ πp
n2+ 2008!´ .
Tournez S.V.P.
Exercice 3
◮Pourn∈N∗, nous noteronsfn : x>07→ X
16k6n
xk k .
◮Dans une premi`ere partie, nous ´etudions la suite de terme g´en´eralun=fn
³1 2
´ .
Q1 Dressez un tableau donnant les valeurs deu1, u2,u3et u4; bien entendu, les fractions seront r´eduites ! Q2 Quel est le sens de variation de la suite (un)n>1?
Q3 Donnez une expressiontr`es simple deSn= X
16k6n
2−k. Q4 En d´eduire l’in´egalit´eun <1.
Q5 En d´eduire que la suite (un)n>1 converge et donnez un encadrement de sa limiteα.
Q6 Pourn∈N∗ et 06x <1, justifiez l’existence de l’int´egraleI(n, x) = Z x
0
1−tn 1−t dt.
Q7 Pourn∈N∗ et 06x <1, prouvez l’´egalit´eI(n, x) =fn(x).
Q8 L’´egalit´e pr´ec´edente reste-t-elle vraie pour x= 1 ? Q9 Justifiez l’existence de l’int´egrale J=
Z 1/2 0
dt
1−t puis calculezJ. Q10 Montrez que la suite de terme g´en´eralJ−un converge vers 0.
Q11 Finalement, quelle est la valeurexacte deα?
◮Nous nous int´eressons maintenant `a une suite de r´eels d´efinie implicitement `a partir de la suite de fonctions (fn)n>1.
Q12 Montrez quefn r´ealise une bijection deR+ sur lui-mˆeme.
Q13 En d´eduire que l’´equationfn(x) = 1 poss`ede, dansR+, une et une seule solution, que nous noteronsxn. Q14 Explicitezx1, puisx2.
Q15 Calculezf3
³2 3
´.
Q16 ⋆⋆ En d´eduire la valeur de⌊81x3⌋.
Q17 Montrez que la suite (xn)n>1 est strictement monotone.
Q18 En d´eduire que la suite (xn)n>1 converge. Nous noterons d´esormaisℓsa limite.
Q19 Avec les informations disponibles, quel encadrement pouvez-vous donner deℓ?
[Contr^ole 2005/04] Compos´e le 11 juin 2008