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Exercice 1 : une suite de questions

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Sup PCSI2 — Contrˆole 2005/04

◮Avant de lire l’´enonc´e, prenez connaissance des directives ´enum´er´ees en bas de la deuxi`eme page !

Exercice 1 : une suite de questions

. . . Q1 Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eralan

1 + 1 n

´n

?

Q2 Exhibez une suite (un) qui converge vers 0, et telle que (1 +un)n converge vers 1.

Q3 Exhibez une suite (vn) qui converge vers 0, et telle que (1 +vn)n diverge vers +∞.

Q4 Exhibez une suite (wn) qui converge vers 0, et telle que (1 +wn)n converge vers 0.

Q5 Soit λ >0. Exhibez une suite (xn) qui converge vers 0, et telle que (1 +xn)n converge versλ.

Q6 ⋆⋆ La suite (un) est born´ee mais ne converge pas. La suite (vn) n’est pas born´ee, mais elle ne diverge ni vers +∞, ni vers −∞. La suite de terme g´en´eral unvn peut-elle converger vers 0 ?

◮Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Les r´eponses qui ne sont pas accompagn´ees d’une preuve ou d’un contre-exemple (avec justification pr´ecise) ne seront pas prises en compte.

Toutes les suites consid´er´ees sont des suites de r´eels.

Q7 Si la suite (un) diverge vers +∞, alors⌊unng→∞un. Q8 Si la suite (un) diverge vers +∞, alors ln(2un)ng→∞ln(un).

Q9 Si la suite (un) diverge vers +∞, alors ln¡

⌊un⌋¢ g

n→∞ln(un).

Q10 Si la suite (un) diverge vers +∞, alors⌊exp(un)⌋ng→∞exp(un).

Q11 Si la suite (un) diverge vers +∞, alors exp¡

⌊un⌋¢ g

n→∞exp(un).

Q12 Si la suite (xn) converge vers 0 et siun 6xn

2 `a partir d’un certain rang, alors la suite (un) converge ´egalement vers 0.

Exercice 2 : quelques calculs

◮Les questions de cet exercice sont ind´ependantes les unes des autres.

Q1 Rappelez (sans preuves) les d´efinitions respectives de sh(x) et ch(x), puis les formules qui expriment sh(2x) et ch(2x) en fonction de sh(x) et ch(x).

Q2 Calculez Z ln(2)

0

sh(2t) ch2(t)dt. Le r´esultat sera donn´e sous forme d’une fraction irr´eductible.

Q3 Calculez la limite de la suite de terme g´en´eral Sn= 1 n

X

16k6n

sin2³kπ n

´

Q4 ⋆⋆ Donnez un ´equivalent simple deTn= X

16k6n

sin³kπ n

´

sin³(k−1)π n

´

lorsquentend vers l’infini.

Q5 ⋆⋆ Calculez la limite de la suite de terme g´en´eralxn= sin³ πp

n2+ 2008!´ .

Tournez S.V.P.

(2)

Exercice 3

◮Pourn∈N, nous noteronsfn : x>07→ X

16k6n

xk k .

◮Dans une premi`ere partie, nous ´etudions la suite de terme g´en´eralun=fn

³1 2

´ .

Q1 Dressez un tableau donnant les valeurs deu1, u2,u3et u4; bien entendu, les fractions seront r´eduites ! Q2 Quel est le sens de variation de la suite (un)n>1?

Q3 Donnez une expressiontr`es simple deSn= X

16k6n

2k. Q4 En d´eduire l’in´egalit´eun <1.

Q5 En d´eduire que la suite (un)n>1 converge et donnez un encadrement de sa limiteα.

Q6 Pourn∈N et 06x <1, justifiez l’existence de l’int´egraleI(n, x) = Z x

0

1−tn 1−t dt.

Q7 Pourn∈N et 06x <1, prouvez l’´egalit´eI(n, x) =fn(x).

Q8 L’´egalit´e pr´ec´edente reste-t-elle vraie pour x= 1 ? Q9 Justifiez l’existence de l’int´egrale J=

Z 1/2 0

dt

1−t puis calculezJ. Q10 Montrez que la suite de terme g´en´eralJ−un converge vers 0.

Q11 Finalement, quelle est la valeurexacte deα?

◮Nous nous int´eressons maintenant `a une suite de r´eels d´efinie implicitement `a partir de la suite de fonctions (fn)n>1.

Q12 Montrez quefn r´ealise une bijection deR+ sur lui-mˆeme.

Q13 En d´eduire que l’´equationfn(x) = 1 poss`ede, dansR+, une et une seule solution, que nous noteronsxn. Q14 Explicitezx1, puisx2.

Q15 Calculezf3

³2 3

´.

Q16 ⋆⋆ En d´eduire la valeur de⌊81x3⌋.

Q17 Montrez que la suite (xn)n>1 est strictement monotone.

Q18 En d´eduire que la suite (xn)n>1 converge. Nous noterons d´esormaisℓsa limite.

Q19 Avec les informations disponibles, quel encadrement pouvez-vous donner deℓ?

[Contr^ole 2005/04] Compos´e le 11 juin 2008

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