Donner les r´ eponses de la Partie A de cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 3 On consid` ere la suite de r´ eels (u n ) n∈ N d´ efinie par :

Le sujet comporte 10 pages num´ erot´ ees de 2 ` a 11

EXERCICE I - (7 points)

Donner les r´ eponses de la Partie A de cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 3 On consid` ere la suite de r´ eels (u n ) n∈ N d´ efinie par :



 

 

u ₀ = 3 u _n+1 = 1

2 µ

u _n + 3 u _n

¶

, pour tout n ∈ N Le but de l’exercice est de montrer que la suite (u n ) _n∈N converge vers √

3.

Partie A

On ´ etudie dans cette partie la fonction f d´ efinie sur R ^∗ ₊ par : f (x) = 1

2 µ

x + 3 x

¶

, pour tout x > 0

Soit C ^f la courbe repr´ esentative de f dans le plan rapport´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e (O,~ı, ~  ).

I-A-1- Donner les limites de f aux bornes de son domaine de d´ efinition.

I-A-2-a- Calculer f ⁰ (x) o` u f ⁰ est la d´ eriv´ ee de f . I-A-2-b- Compl´ eter le tableau des variations de f .

I-A-2-c- En d´ eduire que f admet un minimum m que l’on pr´ ecisera.

I-A-3-a- Calculer lim

x→+∞

µ

f (x) − 1 2 x

¶ .

I-A-3-b- En d´ eduire que C f admet, au voisinage de + ∞ , une asymptote ∆ dont on donnera une ´ equation.

I-A-4-a- Donner l’expression de f (x) − x en fonction de x.

I-A-4-b- Etudier le signe de f (x) − x en fonction de x ∈ R ^∗ ₊ .

I-A-5- Tracer la droite D d’´ equation y = x, la droite ∆ et la courbe C ^f .

REPONSES A L’EXERCICE I (Partie A) I-A-1- lim

x→0

f (x) = + ∞ lim

x→+∞ f (x) = + ∞ I-A-2-a- f ⁰ (x) = 1

2

µ x ² − 3 x ²

¶

= 1

2 . (x − √

3)(x + √ 3) x ²

I-A-2-b- x 0 √

3 + ∞

f ⁰ (x) − 0 +

f (x) + ∞ + ∞

√ 3 I-A-2-c- m = √

3

I-A-3-a- lim

x→+∞

µ

f (x) − 1 2 x

¶

= 0

I-A-3-b- ∆ : y = 1 2 x I-A-4-a- f (x) − x = 1

2 . 3 − x ² x = 1

2 . ( √

3 − x)( √ 3 + x) x

I-A-4-b-

x 0 √

3 + ∞

signe de (f (x) − x) + 0 −

I-5-

graph

x

4 3 2 3

1 2

1

0 0

EXERCICE I - (suite)

Donner les r´ eponses ` a la Partie B de cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 5

Partie B

On rappelle que la suite (u n ) n∈ N est d´ efinie par :



 

 

u ₀ = 3 u _n+1 = 1

2 µ

u _n + 3 u n

¶

, pour tout n ∈ N

I-B-1- En utilisant la Partie A, montrer que pour tout entier n, on a : u _n ≥ √

3

I-B-2- En utilisant la Partie A et la question I-B-1- , expliquer pourquoi la suite (u n ) _n∈N est d´ ecroissante.

I-B-3-a- Expliquer alors pourquoi la suite (u n ) n∈ N admet une limite r´ eelle. On note l cette limite.

I-B-3-b- Justifier que l = √

3.

REPONSES A L’EXERCICE I (Partie B)

I-B-1- Pour tout n ∈ N , u _n ≥ √

3 car - Tout d’abord u ₀ = 3 ≥ √

3.

- Si on suppose que pour un entier p, u _p ≥ √

3, alors on a u _p+1 = f (u p ).

Or d’apr` es la question I-A-2-c-, la fonction f admet √

3 comme minimum, donc : u _p+1 = f (u p ) ≥ √

3.

- Ainsi, on a montr´ e par r´ ecurrence que pour tout n ∈ N , on a u n ≥ √ 3.

I-B-2- (u n ) n∈ N est d´ ecroissante car

Pour tout n ∈ N , u _n+1 − u _n = f (u n ) − u _n . Comme, d’apr` es I-B-1-, pour tout n ∈ N , u _n ≥ √

3, alors, d’apr` es I-A-4-b-, f (u n ) − u _n ≤ 0.

Ainsi, pour tout n ∈ N , u _n+1 − u n = f (u n ) − u n ≤ 0, Donc pour tout n ∈ N , u _n+1 ≤ u _n

I-B-3-a- (u _n ) _{n∈ N} a une limite l car elle est d´ ecroissante et minor´ ee par √

3. Or toute suite d´ ecroissante et minor´ ee converge.

I-B-3-b- l = √

3 car

On peut d´ ej` a remarquer que d’apr` es I-B-1-, on a l ≥ √ 3.

De plus lim

n→+∞ u _n+1 = lim

n→+∞ u n = l.

Ainsi, d’apr` es la d´ efinition de la suite, on a : u _n+1 = f (u _n ), Donc, la limite l doit v´ erifier : l = f (l).

D’apr` es I-A-4-a- et I-A-4-b-, l = √

3.

EXERCICE II - (4 points)

Donner les r´ eponses de cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 7

On se propose dans cet exercice de r´ esoudre l’´ equation suivante dans R : (E) : x ² + (1 − e ² ) e ^x x − e ^2+2x = 0

II-A-1-a- Mettre e ^{2 x} en facteur dans le membre de gauche de l’´ equation (E).

II-A-1-b- D´ eterminer l’expression de X en fonction de x pour que l’´ equation (E) soit ´ equiva- lente ` a l’´ equation (E ⁰ ) suivante :

(E ⁰ ) : X ² + (1 − e ² ) X − e ² = 0

II-A-2-a- D´ eterminer le r´ eel b pour que l’on ait :

(1 − e ² ) ² + 4 e ² = (1 + b) ²

II-A-2-b- D´ eterminer alors les deux solutions r´ eelles X ₁ et X ₂ de l’´ equation (E ⁰ ).

II-A-3- En d´ eduire que x est une solution de (E ) si et seulement si x v´ erifie une des ´ equa- tions :

x = − e ^g(x) ou x = e ^h(x) o` u g et h sont des fonctions que l’on d´ eterminera. Justifier la r´ eponse.

II-A-4- On consid` ere dans un rep` ere orthonorm´ e (O;~ı, ~ ), la courbe C 1 d’´ equation y = e ^x .

II-A-4-a- Par quelle transformation g´ eom´ etrique simple la courbe C ² d’´ equation y = − e ^x se d´ eduit-elle de C 1 ?

II-A-4-b- Par quelle transformation g´ eom´ etrique simple la courbe C 3 d’´ equation y = e ^2+x se d´ eduit-elle de C ¹ ?

II-A-4-c- Tracer l’allure des courbes C 2 , C 3 et la droite D d’´ equation y = x.

II-A-5- D´ eterminer graphiquement, ` a l’aide de la question II-A-4-c-, le nombre de solutions

de l’´ equation (E). Justifier la r´ eponse.

REPONSES A L’EXERCICE II II-A-1-a- (E) : e ^2x

µ x ²

e ^2x + (1 − e ² ) x e ^x − e ²

¶

= 0 II-A-1-b- X = x

e ^x II-A-2-a- b = e ²

II-A-2-b- X ₁ = − 1 X ₂ = e ²

II-A-3- g(x) = x h(x) = x + 2

car x est solution de (E) ⇐⇒ X est solution de (E ⁰ )

⇐⇒ X = x

e ^x = − 1 ou X = x e ^x = e ²

⇐⇒ x = − e ^x ou x = e ^x . e ² = e ^x+2

II-A-4-a- C 2 se d´ eduit de C 1 par une sym´ etrie axiale par rapport ` a l’axe (Ox).

II-A-4-b- C ³ se d´ eduit de C ¹ par une translation de vecteur − 2 ~ı.

II-A-4-c-

graph2

3 3

2 2

1

1 0

−1 0

−2 C3

C2

−3

−1

−2

−3 x

II-A-5- Nombre de solutions de (E ) : une seule solution car la droite D ne coupe pas

la courbe C ³ et ne coupe qu’une seule fois la courbe C ² .

EXERCICE III - (5 points)

Donner les r´ eponses ` a cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 9

Dans le plan complexe rapport´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e (O; ~ u, ~ v), on consid` ere les points A, B, C et F d’affixe respective :

z _A = 4 + 4i , z _B = 4 , z _C = 7 , z _F = 4 + 3i.

On d´ esigne par E le point d’intersection des droites (AC) et (OF ).

Partie A

III-A-1- Faire une figure compl` ete.

III-A-2-a- Calculer z _F z A − z C

sous forme alg´ ebrique.

III-A-2-b- Que peut-on d´ eduire de la question III-A-2-a-, pour les droites (OF ) et (AC).

Justifier la r´ eponse.

III-A-3- On veut v´ erifier que le point F est le barycentre du syst` eme de points pond´ er´ es

½

(0 ; 3) , (A ; α) , (C ; 25 − α)

¾

, o` u α est un r´ eel.

III-A-3-a- Exprimer le vecteur −→ OF en fonction de α, −→ OA et −→ OC.

III-A-3-b- D´ eterminer la valeur de α.

III-A-4- Le point E d’intersection des droites (AC) et (OF ) est barycentre du syst` eme { (A ; β) , (C ; 4) } . D´ eterminer la valeur de β.

Partie B

On consid` ere les cercles suivants :

- Le cercle C ₁ , circonscrit au triangle BOF , de centre Ω ₁ et de rayon r ₁ . - Le cercle C ₂ , circonscrit au triangle OEC, de centre Ω 2 et de rayon r ₂ . - Le cercle C ₃ , circonscrit au triangle ABC, de centre Ω ₃ et de rayon r ₃ . - Le cercle C ₄ , circonscrit au triangle AEF , de centre Ω ₄ et de rayon r ₄ .

III-B-1- Donner les affixes z ₁ , z ₂ , z ₃ et z ₄ des points Ω ₁ , Ω ₂ , Ω ₃ et Ω ₄ . Calculer r ₁ , r ₂ r ₃ et r ₄ .

III-B-2- Calculer z ₃ − z ₄ et z ₂ − z ₁ sous forme alg´ ebrique.

Que peut-t-on en d´ eduire pour le quadrilat` ere Ω 1 Ω 2 Ω 3 Ω 4 ? III-B-3- Calculer z ₃ − z ₄

z ₁ − z ₄ sous forme alg´ ebrique.

Que peut-t-on en d´ eduire pour le quadrilat` ere Ω ₁ Ω ₂ Ω ₃ Ω ₄ ?

REPONSES A L’EXERCICE III III-A-1-

O

~ v

~ u

A

B C

Ω

Ω

Ω

Ω

F E

III-A-2-a- z _F

z _A − z _C = 4 + 3i

− 3 + 4i = 4 + 3i i(3i + 4) = 1

i = − i III-A-2-b- (OF ) et (AC) sont perpendiculaires car

d’apr` es III-A-2-a-, on a : z _F − z _O z A − z C

= − i, Donc ³ −→ CA, −→ OF ´

= Arg

µ z _F − z _O z _A − z _C

¶

= − π

2 , d’o` u −→ CA ⊥ −→ OF . III-A-3-a- −→ OF = α

28

−→ OA + 25 − α 28

−→ OC

III-A-3-b- α = 21 III-A-4- β = 21 III-B-1- z ₁ = 2 + 3

2 i z ₂ = 7

2 z ₃ = 11

2 + 2i z ₄ = 4 + 7 2 i r ₁ = 5

2 r ₂ = 7

2 r ₃ = 5

2 r ₄ = 1

2 III-B-2- z ₃ − z ₄ = 3

2 − 3

2 i z ₂ − z ₁ = 3

2 − 3 2 i Ω ₁ Ω ₂ Ω ₃ Ω ₄ est un parall´ elogramme.

III-B-3- z ₃ − z ₄ z ₁ − z ₄ =

3 2 − 3

2 i

− 2 − 2i = − 3 4

µ 1 − i 1 + i

¶

= − 3

8 (1 − i) ² = 3 4 i.

Ω ₁ Ω ₂ Ω ₃ Ω ₄ est un rectangle.

EXERCICE IV (4 points)

Donner les r´ eponses ` a cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 11

On se propose de d´ eterminer toutes les fonctions f , d´ efinies sur R , qui sont solutions de l’´ equation diff´ erentielle suivante :

( E ) : f ⁰ (x) − 3 f (x) = 3 1 + e ^{− 3 x} et qui v´ erifient : f (0) = 0.

Soit une fonction f , d´ efinie sur R , solution de l’´ equation diff´ erentielle ( E ). On d´ esigne par f ⁰ sa d´ eriv´ ee.

On note h la fonction d´ efinie sur R par :

h(x) = e ^{− 3 x} f (x)

On d´ esigne par h ⁰ la d´ eriv´ ee de h.

IV-1-a- Exprimer h ⁰ (x) en fonction de f ⁰ (x) et de f (x), pour tout r´ eel x.

IV-1-b- Expliquer pourquoi la d´ eriv´ ee h ⁰ de h v´ erifie, pour tout r´ eel x : h ⁰ (x) = 3 e ^{− 3 x}

1 + e ^{− 3 x} .

IV-2- D´ eterminer alors toutes les fonctions h possibles. On justifiera la r´ eponse.

IV-3- En d´ eduire toutes les fonctions f solutions de ( E ).

IV-4- D´ eterminer la fonction f ₀ , solution de ( E ), qui v´ erifie f ₀ (0) = 0.

REPONSES A L’EXERCICE IV

IV-1-a- h ⁰ (x) = − 3 e ^−3x f (x) + e ^−3x f ⁰ (x) = e ^−3x ¡

f ⁰ (x) − 3f (x) ¢ .

IV-1-b- h ⁰ (x) = 3 e ^{− 3 x}

1 + e ^{− 3 x} car :

D’apr` es IV-1-a-, on a h ⁰ (x) = e ^−3x ¡

f ⁰ (x) − 3f (x) ¢ Et d’apr` es ( E ), on a : f ⁰ (x) − 3 f (x) = 3

1 + e ^{− 3 x} ,

IV-2- h(x) = − ln ¡

1 + e ^−3x ¢

+ C o` u C est un r´ eel quelconque car : En posant u(x) = 1 + e <sup>−3x</sup> on a u <sup>0</sup> (x) = − 3 e <sup>−3x</sup> . Ainsi, d’apr` es IV-1-b-, on a : h ⁰ (x) = 3 e ^{− 3 x}

1 + e ^{− 3 x} = − u ⁰ (x) u(x) En int´ egrant cette ´ egalit´ e, on obtient :

h(x) = − ln | u(x) | + C = − ln | 1 + e ^−3x | + C = − ln ¡

1 + e ^−3x ¢ + C car pour tout r´ eel x, 1 + e ^−3x > 0.

IV-3- f (x) = e ^3x h(x) = − e ^3x ln ¡

1 + e ^−3x ¢

+ C e ^3x avec C ∈ R .

IV-4- f ₀ (x) = e ^3x h(x) = − e ^3x ln ¡

1 + e ^−3x ¢

+ ln(2) e ^3x = e ^3x ln

µ 2 1 + e ^−3x

¶

.