Universit´e de Cergy-Pontoise Licence 2, cours MS4IP Ann´ee 2011/2012
Examen final (3h)
Notes de cours manuscrites autoris´ees. Livres, photocopies, calculatrices ou appareils ´electroniques interdits. Veuillez num´eroter et indiquer votre num´ero d’´etudiant sur toutes les feuilles rendues. Justifier toutes vos r´eponses
Exercice 1.On consid`ere la matrice
A=
0 1 −1
−3 4 −3
−1 1 0
.
1) Calculer la matriceA2
2) D´eterminer deux nombres r´eels λ, µ ∈ R tels que A2 = λA+µI3, o`u I3 d´esigne la matrice identit´e de M3(R)
3) Rappeler la d´efinition d’une matrice inversible
4) En d´eduire que la matrice A est inversible et calculer explicitement son inverseA−1
Exercice 2. Soient a1 < a2 < ... < an des r´eels distincts, E le R-espace vectoriel des applications deRdans Ret pour tout 1≤j≤n,
fj : R → R
x 7→ eajex.
1) Rappeler quelle est la structure d’espace vectoriel d´efinie surEen pr´ecisant le sens donn´e `a l’addition des applications et `a la multiplication par un scalaire 2) Montrer que le syst`eme (f1, f2, ..., fn) est libre dans E
Exercice 3.On consid`ere le d´eterminant de taille n×n
∆n=
a+b b b b b ... b
b a+b b b b ... b
... ... ... ... ... ... ...
b ... b b b a+b b
b ... b b b b a+b
, a, b∈R
1) Justifier
∆n=
a+nb b b ... b ... b
a+nb a+b b ... b ... b ... ... ... ... ... ... ...
a+nb b b ... b a+b b
a+nb b b ... b b a+b
2) Montrer
∆n= (a+nb)an−1
Exercice 4.Soit B= (e1, e2, e3) la base canonique deR3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1).
On consid`ere le syst`eme de vecteursB0 = (e01, e02, e03) d´efini par e01=e1+e3, e02 =e2+e3, e03=e1+e2+e3. 1) Montrer queB0 est une base deR3
2) Calculer les matrices de passage deB vers B0 et deB0 vers B
3) Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice relativement `a la base Best donn´ee par
MatBBf =
−1 4 0
1 2 −2
3 0 2
Calculer explicitement l’application lin´eairef
4) Calculer explicitement les matrices MatBB0f, MatBB0f et MatBB00f
Exercice 5.On consid`ere la matrice suivante deM3(R)
A=
0 2 −1
3 −2 0
−2 2 1
1) Montrer que 1, 2, -4 sont valeurs propres de la matriceA 2) Justifier le fait que la matriceA soit diagonalisable dansR
3) D´eterminer explicitement P une matrice inversible de M3(R) telle que la matrice P−1AP soit diagonale. Calculer explicitement la matrice diagonale P−1AP
Exercice 6.Etudier la diagonalisabilit´´ e surRde la matrice suivante
A=
1 −1 −1
−1 1 −1
−1 −1 1
En cas de diagonalisabilit´e, diagonaliser explicitement cette matrice (on pourra remarquer que−1 est valeur propre de la matriceA).
