Universit´e de Cergy-Pontoise Licence 2, cours MS4IP Ann´ee 2013/2014
Examen final (3h)
Notes de cours manuscrites interdites `a l’exception d’une feuille A4 recto verso.
Livres, photocopies, calculatrices ou appareils ´electroniques interdits. Veuillez num´eroter et indiquer votre num´ero de candidat sur toutes les feuilles rendues.
Justifier toutes vos r´eponses
Exercice 1.Soit
f : R3 → R3
(x, y, z) 7→ (x−y+z, y+ 2z,2x+y+ 8z) 1) Montrer quef est lin´eaire
2) Donner les d´efinitions du noyau Ker f et de l’image Imf 3) D´eterminer une base de Ker f
4) D´eterminer une base de Im f
5) D´eterminer si l’endomorphisme f est injectif, surjectif ou bijectif
Exercice 2.Soient B= (e1, e2, e3) la base canonique deR3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)∈R3 etC= (ε1, ε2, ε3) le syst`eme de vecteurs d´efini par
ε1= (1,0,1), ε2= (1,1,0), ε3= (0,0,1)∈R3. 1) Montrer queC est une base deR3
2) Calculer les matrices de passage deB vers C et de C versB 3) Montrer que
f : R3 → R3
(x, y, z) 7→ (2x−y+z, x+z, y−2z) est lin´eaire
4) Calculer explicitement les matrices MatBBf, MatCBf, MatBCf et MatCCf
Exercice 3.Soient ε1 = (1,1,1),ε2= (1,1,0) etε3= (1,0,0)∈R3. 1) Montrer queB= (ε1, ε2, ε3) est une base deR3
2) D´eterminer explicitement l’unique endomorphisme f ∈ L(R3) v´erifiant
MatBBf =
1 2 0
0 0 1
−1 2 0
Exercice 4.Etudier la diagonalisabilit´´ e surRde la matrice
A=
3 0 −1
2 4 2
−1 0 3
∈M3(R)
En cas de diagonalisabilit´e, diagonaliser explicitement cette matrice (Indica- tion : on pourra remarquer que 2 est valeur propre de la matriceA)
Exercice 5.Etudier la diagonalisabilit´´ e surRde la matrice
A=
1 −1 0
1 0 −1
−1 0 2
∈M3(R)
En cas de diagonalisabilit´e, diagonaliser explicitement cette matrice (Indica- tion : on pourra remarquer que 1 est valeur propre de la matriceA)
Exercice 6. Donner un exemple de matrice de M2(R) diagonalisable sur C mais non diagonalisable sur R. Justifier votre r´eponse
