Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Math´ematiques (M160).
Contrˆ ole num´ ero 2.
Dur´ee : 2h. Calculatrices et documents interdits.
La qualit´e de la r´edaction interviendra dans l’appr´eciation de la copie.
Barˆeme indicatif : 3 - 5 - 6 - 6.
Exercice 1 : Syst`emes lin´eaires.
R´esoudre les syst`emes suivants :
(S1)
x−2y+ 3z = 2 2x −y− z = 3 x− y+ z = 2
, (S2)
x+y+z = 1 3x−y+z = 3 x+ 3y+ 2z = 2
, (S3)
x + 2y −z−t = 1 3x + 7y−2z−t = 3 5x+ 12y−3z−t = 5
x + 3y +t = 1
Exercice 2 : Un sous-espace vectoriel d´etermin´e par un syst`eme d’´equation cart´esiennes.
Soit E={(x, y, z, t)∈R4, x−y+z−t= 0 et x+y−z−t= 0}.
(a) Parmi les vecteurs suivants d´eterminer ceux qui appartiennent `a E :
e1 = (1,0,0,0), u0 = (1,1,0,0), u1 = (0,1,1,0), u2= (1,0,0,1), u3= (1,−1,−1,1) (b) Montrer queE est un sous-espace vectoriel deR4.
(c) Montrer que (u1, u2) est une base de E et d´eterminer dim (E).
(d) La suite (u1, u2, u3) est-elle libre ? et la suite (u0, u1, u2) ?
Exercice 3 : Un sous-espace vectoriel d´etermin´e par une partie g´en´eratrice.
Dans R4 on consid`ere les vecteurs suivants :
u1 = (1,1,1,1), u2= (1,3,3,3), u3= (2,1,1,1), u4 = (3,4,4,4), u5 = (0,1,1,1) Soit E le sous-espace vectoriel deR4 engendr´e par (u1, u2, u3, u4, u5).
(a) La suite (u1, u2, u3, u4, u5) est-elle libre ? Donner une baseB de E.
(b) Compl´eter B en une baseB0 de R4.
(c) D´eterminer les coordonn´ees deu= (x, y, z, t) dans la baseB0 (on pourra, par exemple, com- mencer par trouver les coordonn´ees de chacun des vecteurs (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) dans la base B0).
(d) D´eterminer un syst`eme d’´equation cart´esiennes de E, c’est `a dire un syst`eme lin´eaire ho- mog`ene (S) tel que E = Sol(S).
(e) D´eterminer un suppl´ementaire deE dansR4.
Exercice 4 : Deux sous-espaces vectoriels.
SoientE ={(x, y, z, t)∈R4, x+ 2y−z−t= 0 et x−y−z+ 2t= 0}etF le sous-espace vectoriel engendr´e par v1 = (1,0,−1,0) etv2= (1,1,0,1).
(a) Donner une base deE.
(b) D´eterminer la dimension de F. Les vecteursv1 etv2 appartiennent-ils `aE ? En d´eduire que dim (E∩F)<2.
(c) Soient y1, y2 des r´eels : `a quelle condition sur y1 et y2 la combinaison lin´eaire y1v1 +y2v2
appartient-elle `aE ? D´eterminer une base et la dimension de E∩F.
(d) Quelle est la dimension deE+F ? D´eterminer un suppl´ementaire de E+F dansR4.
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