T.D. num´ ero 10

T.D. num´ ero 10

Alg`ebre

E.N.S. Ulm, L3, 2000–2003 Univ. Paris-Sud, M1, 2004–2007 St´ephane Fischler

Exercice 1 Repr´esentations irr´eductibles du groupe di´edral

Le but de cet exercice est de d´ecrire les repr´esentations irr´eductibles du groupe di´edral D_n d’ordre 2n, lorsque n≥3 est impair. Pour cela, on noteρ∈ D_n la rotation d’angle 2π/n, σ ∈ D_n la sym´etrie par rapport `a (Ox), et ζ le nombre complexee<sup>2iπ/n</sup>. On noteH le sous- groupe de D<sub>n</sub> engendr´e par ρ, et [D<sub>n</sub>,D<sub>n</sub>] le groupe d´eriv´e deD<sub>n</sub>(c’est-`a-dire le sous-groupe de D_n engendr´e par les commutateurs aba⁻¹b⁻¹ aveca, b∈ D_n).

1. D´emontrer queσρσ⁻¹ρ⁻¹=ρ⁻², et en d´eduire que [D_n,D_n] =H.

2. D´emontrer qu’il existe une repr´esentation non triviale de degr´e 1 deD_n, et une seule.

3. D´emontrer que pour tout k ∈ {1, . . . , n−1} il existe un unique homomorphisme ϕ_k : D_n→GL2(C) tel que

ϕ_k(ρ) =

ζ^k 0

0 ζ^−k

et ϕ_k(σ) =

0 1

1 0

.

4. D´emontrer queϕ_k est une repr´esentation irr´eductible.

5. D´emontrer que toute repr´esentation irr´eductibleϕde D_nde degr´e ≥2 est isomorphe `a l’une desϕk. (Indication : on pourra consid´erer un vecteur proprexdeϕρ, et consid´erer le sous-espace vectoriel engendr´e par x etϕσ(x))

6. D´emontrer que ϕk est isomorphe `a ϕk<sup>0</sup> si, et seulement si, k est congru `a k⁰ ou `a −k⁰ modulo n.

Exercice 2 Un groupe affine sur un corps fini

Soitp≥3 un nombre premier. On noteFp le corpsZ/pZ, et poura, b∈Fp avec a6= 0 on noteϕ_a,b l’application deFp dans lui-mˆeme qui envoiex surax+b. On noteGl’ensemble de ces applicationsϕa,b.

1. D´emontrer que G, muni de la composition des applications, est un groupe d’ordre p(p−1).

2. Ecrire une suite exacte

1 −→ Fp

−→u G −→^v F^∗p −→ 1, et d´emontrer qu’elle est scind´ee.

3. D´emontrer que le groupe d´eriv´e de G est d’ordre p, et en d´eduire qu’il y a p −1 repr´esentations de degr´e 1 deG, deux `a deux non isomorphes.

1

4. On note ρ la repr´esentation de permutation de G associ´ee `a l’action de G sur Fp (via ϕa,b·x=ϕa,b(x)), etχson caract`ere. Calculerχ(ϕa,b) pour tout couple (a, b)∈F^∗_p×Fp, puis calculer < χ, χ >.

5. D´eterminer le nombre de classes d’isomorphisme de repr´esentations irr´eductibles (de degr´e ≥1) de G.

Exercice 3 Repr´esentations d’un produit cart´esien

SoientG₁ etG₂deux groupes finis, et (V_i, ρ_i) une repr´esentation deG_i(pouri= 1,2). On appelle produit tensoriel externe de ρ₁ et ρ₂, et on note ρ₁⊗ρ₂, la repr´esentation du produit cart´esien (direct)G1×G2 dans l’espace vectoriel V1⊗V2 d´efinie pour (g1, g2)∈G1×G2 par ρ₁⊗ρ₂(g₁, g₂) = ρ₁(g₁)⊗ρ₂(g₂). On note χ (respectivement χ₁, χ₂) le caract`ere de ρ₁⊗ρ₂ (resp. de ρ₁,ρ₂).

1. Lorsque G₁ =G₂, quel est le lien entre ρ₁⊗ρ₂ etρ₁⊗ρ₂ ? Dans la suite de l’exercice, on ne suppose pas que G1=G2.

2. D´emontrer qu’on a χ(g₁, g₂) = χ₁(g₁)χ₂(g₂) pour tout (g₁, g₂) ∈G₁×G₂. En d´eduire que < χ, χ >=< χ1, χ1 >< χ2, χ2 >.

3. D´emontrer queρ₁⊗ρ₂ est irr´eductible si, et seulement si,ρ₁ etρ₂ le sont.

4. D´ecrire les classes de conjugaison de G₁×G₂ en fonction de celles de G₁ et de G₂. 5. D´emontrer que pour toute repr´esentation irr´eductible de G1×G2 il existe un unique

couple (ρ₁, ρ₂), avec ρ_i repr´esentation irr´eductible de G_i pour touti∈ {1,2}, tel que ρ soit isomorphe `aρ1⊗ρ₂.

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